江苏省泰州市黄桥中学2020届高三上学期11月月考数学（理）试题
江苏省黄桥中学2019年秋学期高三第一次质量检测
数学试卷（理）
一、填空题；
1.命题“，都有”的否定是______.
【答案】，有
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题写出原命题的否定.
【详解】全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“，有”.
【点睛】本小题主要考查写出全称命题的否定，属于基础题.
2.已知集合，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】
先解一元一次不等式可得，再利用交集的运算即可得解.
【详解】解：由，解得 ，则，
又，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查了集合的交集的运算，属基础题.
3.已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由同角三角函数的基本关系式，求得，进而可求得的值，得到答案．
【详解】由题意，因为，，所以，
则，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式的化简求值，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
4.函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
要使根式有意义，则需，再解对数不等式即可得解，特别要注意对数的真数大于0.
【详解】解：要使函数有意义，则需，
则，即，解得：，
即函数的定义域为： ，
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数定义域的求法，重点考查了对数不等式的解法，属基础题.
5.设，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
将函数由内到外依次代入，即可求解
【详解】，
,
故答案为
【点睛】本题主要考查了求函数的值，要遵循由内到外去括号的原则，将对应的值依次代入，属于基础题。
6.函数在点处的切线的倾斜角是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求函数的导函数，再由导数的几何意义可得，再结合倾斜角的范围求解即可.
【详解】解：因为，所以，
则，
设直线的倾斜角为，则，
又，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数的导函数的求法，重点考查了导数的几何意义，属基础题.
7.命题A：|x－1|＜3，命题B：(x＋2)(x＋a)＜0；若A是B的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是 .
【答案】(－∞,－4)
【解析】
【详解】对于命题A：∵|x－1|＜3，∴-2
4,即实数a的取值范围是(－∞,－4)
8.已知函数且，则______
【答案】-15
【解析】
【分析】
分别代入和，利用正弦函数的奇偶性化简解析式，再两式相加，即可求解．
【详解】由题意，因为，
可得，
又由，
两式相加得，
则，
故答案：
【点睛】本题主要考查了正弦函数的奇偶性的应用，其中解答中利用正弦函数的奇偶性，合理运算是解答解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9.已知，，，则从小到大排列是 ．（用“”连接）
【答案】
【解析】
试题分析：由对数函数图象知，，，所以.
考点：三角函数的单调性、对数函数的图象.
10.在平面直角坐标系中，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度后得到的图象经过坐标原点，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数图像的平移变换可得，图像平移后的解析式只需将原解析式中的用替换，再结合所求解析式求解三角方程即可.
【详解】解：将函数的图象上所有点向右平移个单位长度后得到的图象所对应的解析式为，由该图像经过坐标原点，
则，即，即，，
又，则当时 ，取最小值，
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数图像的平移变换及解三角方程，重点考查了运算能力，属基础题.
11.已知函数在区间上单调递增，则的最大值是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数的增区间为，再观察函数的“含0增区间”为则有再列不等式组求解即可.
【详解】解：由， 令，解得，
即函数的增区间为，
又函数在区间上单调递增，
则
则 ，解得，
即的最大值是，
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数单调性的求法，重点考查了已知函数单调区间求参数的范围，属中档题.
12.已知，则值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据的值，分别求出的值，再求和即可.
【详解】解：因为，所以
，，
则，
故答案为：.
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，重点考查了角的拼凑，属中档题.
13.已知，函数，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
画出函数的图像，对分成，等种情况，研究零点个数，由此求得的取值范围.
【详解】令，画出函数的图像如下图所示，由图可知，
（1）当或时，存在唯一，使，而至多有两个根，不符合题意.
（2）当时，由解得，由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根；由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.由于上述四个实数根互不相等，故时，符合题意.
（3）当时，由解得，由化简得，其判别式为负数，没有实数根；由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.故当时，不符合题意.
（4）当时，由，根据图像可知有三个解，不妨设.
即
即.
i）当时，，故①②③三个方程都分别有个解，共有个解，不符合题意.
ii)当时，，①有个解，②③分别有个解，共有个解，不符合题意.
iii）当时，，①无解，②③分别有个解，共有个解，符合题意.
iv）当时，，①无解，②有个解，③有两个解，共有个解，不符合题意.
v）当时，，①无解，②无解，③至多有个解，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查复合函数零点问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，难度较大，属于难题.
14.已知函数,若函数在区间上存在两个不同的极值点，且，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
要求实数的取值范围，从条件“函数在区间上存在两个不同的极值点”入手，将此条件转化为方程有两个不等正实数解，结合进行求解即可得解.
【详解】解：因为函数,所以，又函数在区间上存在两个不同的极值点
，即方程有两个不等正实数解，则 ，解得 ，①
由题意可知，
解得： ，即，②
联立①②得：实数的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数与导数综合应用，重点考查了化归与转化思想，函数与方程思想及运算求解能力，属综合性较强的题型.
二、解答题；
15.设函数的定义域为，函数，的值域为．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件解二次不等式和求值域求出集合求解；（2）借助题设运用充分必要条件的结论推断求解.
试题解析：
（1）由，解得，所以，
又函数在区间上单调递减，所以，
即
当时，，所以
（2）首先要求，而“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，从而， 解得
考点：二次不等式及集合求交计算和子集的包含关系等有关知识的综合运用.
16.在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边上有一点.
（1）求的值；
（2）若，且，求角的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数的定义求得的值，然后利用二倍角公式求得的值，进而求得的值.（2）先求得的范围，由此求得的值，利用以及两角差的正弦公式，求得的值，由此求得的值.
【详解】解：（1）角的终边上有一点P∴，
∴
∴
（2）由，得
∵
∴
则
因，则.
【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，属于中档题.
17.设函数.
（1）求函数在上的单调递减区间；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）先求函数的增区间为，再求其与区间的交集即可；
（2）先由三角恒等变换可得，再利用三角函数求值域求解即可.
【详解】解：（1）因为，
所以，
令，解得：，
即函数的减区间为，
又 ，
故函数在上的单调递减区间为；
（2）因为
，
又，即，
故函数的值域为.
【点睛】本题考查了三角函数单调性的求法及三角函数值域的求法，重点考查了三角恒等变换，属中档题.
18.如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为,
（1）按下列要求写出函数的关系式：
① 设，将表示成的函数关系式；
② 设，将表示成的函数关系式，
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值。
【答案】（Ⅰ），；
（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（1）①通过求出矩形的边长，求出面积的表达式；②利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式；（2）利用（1）②的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据的范围确定矩形面积的最大值.
试题解析：（1）①因为，所以，
所以，．
②当时，，则，又，
所以，
所以，（）．
（2）由②得，，
当时，取得最大值为．
考点：1.三角函数中的恒等变换；2.两角和与差的正弦函数.
【方法点睛】本题主要考查的是函数解析式的求法，三角函数的最值的确定，三角函数公式的灵活运用，计算能力，属于中档题，此题是课本题目的延伸，如果（2）选择（1）①中的解析式，需要用到导数求解，麻烦，不是命题者的本意，因此正确的选择是选择（1）②中的解析式，化成一个角的一个三角函数的形式，根据的范围确定矩形面积的最大值,此类题目选择正确的解析式是求解容易与否的关键.
19.已知函数．
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）令是函数图象上任意两点，且满足求实数的取值范围；
（3）若，使成立，求实数的最大值．
【答案】（1）当时，；当时，.（2）（3）.
【解析】
试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间位置关系分类讨论函数单调性：当时，在上单调递增，当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，最后根据单调性确定函数最小值（2）先转化不等式不妨取，则，即恒成立，即在上单调递增，然后利用导数研究函数单调性：在恒成立.最后利用变量分离转化为对应函数最值，求参数.（3）不等式有解问题与恒成立问题一样，先利用变量分离转化为对应函数最值，的最大值，再利用导数求函数的最值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性：在上单调递增，进而确定函数最值
试题解析：解（1），令，则，
当时，在上单调递增，
最小值为；
当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，
的最小值为.
综上，当时，；当时，.
（2）,对于任意的，不妨取，则,
则由可得，
变形得恒成立，
令，
则在上单调递增，
故在恒成立，
在恒成立.
，当且仅当时取，
.
（3），
.
，，使得成立.
令，则，
令，则由可得或（舍）
当时，则在上单调递减；
当时，则在上单调递增.
在上恒成立.
在上单调递增.
，即.
实数的最大值为.
考点：利用导数研究函数单调性，利用导数求函数最值
【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.
20.已知函数，其中为常数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若是的一条切线，求的值；
（3）已知，为整数，若对任意，都有恒成立，求的最大值.
【答案】(1)答案见解析；(2)0；(3)2.
【解析】
分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设切点为则：，从而可得结果；（3）恒成立等价于对恒成立，构造函数，通过导函数的符号判断函数的单调性求解函数的最值，然后可得结果.
详解：（1）函数的定义域为．
若时，则，所以在上单调递增；
若时，则当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增．
（2）设切点为则：，解得．
（3）当时，对任意，都有恒成立等价于对恒成立．
令，则，
由（1）知，当时，在上递增．
因为，所以在上存在唯一零点，
所以在上也存在唯一零点，设此零点为，则．
因为当时，，当时，，
所以在上的最小值为，所以，
又因为，所以，所以．
又因为为整数且，所以的最大值是．
点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
