2020届二轮复习复数教案（全国通用）

2020届二轮复习复数教案（全国通用）

‎2020届二轮复习 复数 教案（全国通用）‎ 类型一：复数的有关概念 ‎【例1】为何实数时，复数分别是 (1) 实数； (2) 纯虚数； (3)零.‎ ‎【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。‎ ‎【答案】：‎ ‎ (1)当即或时，复数是实数；‎ ‎ (2) 当即当时，复数是纯虚数；‎ ‎ 　(3)当即时，复数是零。‎ ‎【总结升华】‎ 复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：‎ ‎()；是纯虚数（）； ‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】设,（）,且是纯虚数，求、应满足的条件。‎ ‎【答案】设()，则即 ‎∴即 ‎∴,消去参数即得：.‎ ‎【例2】设复数满足（i是虚数单位），则的实部是_________‎ ‎【思路点拨】利用待定系数法，结合复数运算可求。‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】设，则，所以，复数的实部是1.‎ ‎【总结升华】本题考查的是复数的运算，解题的关键是设出复数的代数形式，然后运算求得复数，找出实部.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知复数满足且,则复数（ ）‎ A.必为纯虚数　　　 B.是虚数但不一定是纯虚数 C.必为实数　　　 　 D.可能是实数也可能是虚数 ‎【答案】‎ ‎[法1] 设（），有,.‎ 则，故应选C。‎ ‎[法2] ∵,∴.‎ ‎[法3] ∵，∴ .‎ 类型二：复数相等 ‎【例3】复数z1＝＋(10-a2)i，z2＝‎ 若是实数，求实数a的值.‎ ‎【思路点拨】是实数，将化简成a+bi形式可得。‎ ‎【解析】‎ ‎∵是实数，‎ ‎∴a2＋‎2a-15＝0，解得a＝-5或a＝3.‎ 又(a＋5)(a-1)≠0，∴a≠-5且a≠1，故a＝3.‎ ‎【总结升华】两个复数相等，a+bi=c+di.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】若(x－i)i＝y＋2i，x、y∈R，则复数 x＋yi＝(　　)‎ A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，xi＋1＝y＋2i，故x＝2，y＝1，‎ 即x＋yi＝2＋i.‎ ‎【例4】已知集合M=｛（a+3）+（b2-1）i, 8｝,集合N=｛3，（a2-1）+(b+2)｝同时满足M∩NM，M∩N≠Φ，求整数a,b ‎【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。‎ ‎【解答】‎ ‎…………………………①‎ 或…………………………………………②‎ 或…………………………③‎ 由①得a=-3,b=±2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。∴a=-3，b=2‎ 由②得a=±3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，∴a=3,b=-2;‎ 由③得,此方程组无整数解。‎ 综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。‎ ‎【总结升华】利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.‎ ‎【解析】设z2=a+2i(a∈R)，由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又已知z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(‎2a+2)+(4-a)i是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z2=4+2i.‎ ‎【例5】实数m分别取什么数值时？复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i ‎(1)与复数2－12i相等；‎ ‎(2)与复数12＋16i互为共轭复数；‎ ‎(3)对应的点在x轴上方．‎ ‎【思路点拨】利用复数相等定义。‎ ‎【解析】(1)根据复数相等的充要条件得 解之得m＝－1.‎ ‎(2)根据共轭复数的定义得 解之得m＝1.‎ ‎(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15＞0，‎ 解之得m＜－3或m＞5.‎ ‎【总结升华】利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,b∈R)。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】若a、b∈R，i为纯虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　)‎ A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1‎ C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根据两复数相等的充要条件得a＝1，b＝－1.‎ 类型三：复数的代数形式的四则运算 ‎【例6】计算：计算 ‎【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。‎ ‎【解析】‎ ‎【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用进行运算。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】‎ ‎【答案】：原式=‎ ‎ 　　　 ‎ ‎【例7】‎ ‎【解析】原式= ‎ ‎【总结升华】复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用.‎ 举一反三：‎ ‎【变式高清视频复数例题3】已知复数z1，满足(z1－2)(1＋i)＝1－i，复数z2的虚部为2，‎ 且z1·z2是实数，求z2.‎ ‎【思路点拨】利用复数的乘除运算求z1，再设z2＝a＋2i(a∈R)，‎ 利用z1·z2是实数，求a.‎ ‎【解析】由(z1－2)(1＋i)＝1－i，得z1－2＝＝－i，即z1＝2－i.‎ 设z2＝a＋2i(a∈R)，‎ ‎∴z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(‎2a＋2)＋(4－a)i.‎ ‎∵z1·z2∈R. ∴a＝4. ‎ ‎∴z2＝4＋2i.‎ ‎【例8】已知z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，且|z2|＝求z2.‎ ‎【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.‎ z1＝z2(2＋i)，(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，‎ ‎∵|z2|＝‎ ‎∴|z2(5＋5i)|＝50，‎ ‎∴z2(5＋5i)＝±50，‎ ‎【总结升华】1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.‎ ‎(2)记住以下结论，可提高运算速度：‎ ‎①(1±i)2=±2i；‎ ‎⑤i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N).‎ ‎2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】复数z＝的共轭复数是（ ） ‎ ‎（A）2+i （B）2－i （C）－1+i （D）－1－i ‎【解析】选D ，故的共轭复数为.‎ ‎【变式2】若复数满足（为虚数单位），则为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】选.A 因为，所以 ‎.‎ 类型三：复数的几何意义 ‎【例9】已知复数()，若所对应的点在第四象限，求的取值范围.‎ ‎【思路点拨】 在复平面内以点表示复数（），所对应的点在第四象限等价于的实部大于零而虚部小于零。‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴ ，解得.‎ ‎∴的取值范围为.‎ ‎【总结升华】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知是复数，和均为实数，且复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】：设()‎ ‎∴，由题意得，‎ ‎，由题意得，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ 根据已知条件有，解得，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【变式2】集合，，为虚数单位，R，则为 （ ）‎ ‎（A）（0，1） （B）， （C）， （D），‎ ‎【解析】选C.‎ ‎，所以；‎ 因为，所以，即，又因为，R，所以，即；所以，故选C.‎ 类型四：化复数问题为实数问题 ‎【例10】设，求满足且的复数.‎ ‎【思路点拨】设（）代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得、的两个方程。‎ ‎【解析】设（），则 ‎∴即，∴或 ‎（1）当时，，∴，∴或 当不合题意舍去，∴时 ‎（2）当时，‎ 又∵，∴‎ 由，解得，，∴‎ 综上，或 ‎【总结升华】‎ 复数定义：“形如（）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】设复数满足则＝（ ）。‎ ‎ A、0 B、‎1 C、 D、2‎ ‎【答案】：设（），则即 ‎ ∴，解得,∴，∴ ，故选C。‎ ‎【变式2】已知复数，求实数使 ‎【答案】：∵, ∴‎ ‎ ‎ ‎ ∵, ∴，解得或 ‎【变式3】令,求使方程成立的复数.‎ ‎【答案】：令()，则原方程化为:‎ 即，‎ ‎∴ ，解之有或(舍去）‎ ‎∴当时，复数.‎ ‎【例11】求使关于的方程至少有一个实根的实数.‎ ‎【思路点拨】 根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。‎ ‎【解析】设为方程的一个实根，则有 即 ‎∴，解得.‎ ‎【总结升华】设出实根，化虚为实，再利用两复数相等。 ‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知方程有实根，求实数.‎ ‎【答案】：设实根为, 则 ‎,即 ‎∴ ，解得 ‎∴ 为所求.‎ ‎【变式2】已知，方程的两根为、，求.‎ ‎【答案】：∵，∴ 方程的实系数一元二次方程可以用来判定方程有无实根。‎ ‎ (1)当，即时，方程的根、为实数根，‎ ‎ 由韦达定理 ‎ 又∵‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ①当时，,‎ ‎ ②当时，.‎ ‎ (2)当,即时，方程的根、为虚根。‎ ‎ ‎ ‎【例12】已知，对于任意均有成立，试求实数的取值范围。‎ ‎【思路点拨】求出及，利用问题转化为时不等式恒成立问题。‎ ‎【解析】∵，∴‎ ‎∴对恒成立。‎ 当，即时，不等式成立；‎ 当时，，解得 综上，实数的取值范围：.‎ ‎【总结升华】本题利用复数的性质求模之后，转化为求含参数的二次不等式的参数取值范围。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知, (), 且，求的取值范围.‎ ‎【答案】：∵,.‎ ‎∴, 解之得.‎ ‎【变式2】已知：。求实数.‎ ‎【答案】：‎ ‎ 　　　‎ ‎ 　　　 ‎ ‎ 　　　 即 或.‎ ‎【变式3】设是虚数，是实数，且.‎ ‎（1）求的值及的实部的取值范围；‎ ‎（2）设，求证：为纯虚数；‎ ‎（3）求的最小值。‎ ‎【答案】：‎ ‎（1）解：设（，)，则 ‎∵是实数， ∴‎ ‎∵，∴，即， ‎ ‎∵即 ‎∴的实部的取值范围是：.‎ ‎（2）证明：‎ ‎∵，， ∴为纯虚数.‎ ‎（3）解：‎ ‎∵， ∴‎ ‎∴ ‎ ‎（当且仅当即时，上式取等号）‎ ‎∴的最小值1.‎