【数学】2020届一轮复习人教B版 不等式选讲 学案
不等式选讲
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2018
含绝对值不等式的解法及绝对值不等式恒成立问题
含绝对值不等式的解法及绝对值不等式恒成立问题
含绝对值函数的图象与绝对值不等式恒成立问题
2017
含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围
基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法
含绝对值不等式的解法、函数最值的求解
2016
含绝对值不等式的解法、分段函数的图象及应用
含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式及应用
含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质
(1)不等式选讲是高考的选考内容之一,考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等,命题的热点是绝对值不等式的求解,以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解.
(2)此部分命题形式单一、稳定,难度中等,备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.
含绝对值不等式的解法 保分考点·练后讲评
1.解不等式|x+3|<|2x-1|.
解:由已知,可得|x+3|<|2x-1|,
即|x+3|2<|2x-1|2,
∴3x2-10x-8>0,解得x<-或x>4.
故所求不等式的解集为∪(4,+∞).
2.(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=
当x<-1时,由2x+4≥0,解得-2≤x<-1;
当-1≤x≤2时,显然满足题意;
当x>2时,由-2x+6≥0,解得2
a⇔x<-a或x>a.
(2)平方法:两边平方去掉绝对值符号.
(3)零点分区间法:含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.
(4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.
(5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.
保分考点·练后讲评
1.已知f(x)=|x-1|+|x|,且α>1,β>1,f(α)+f(β)=2,求证:+≥.
证明:因为α>1,β>1,f(α)+f(β)=2α-1+2β-1=2,
所以α+β=2.
所以+=(α+β)
=≥=,
当且仅当α=2β=时取等号.
2.已知函数f(x)=|x+1|.
(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M;
(2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(a)-f(-b).
解:(1)由题意,|x+1|<|2x+1|-1,
①当x≤-1时,
不等式可化为-x-1<-2x-2,
解得x<-1;
②当-1<x<-时,
不等式可化为x+1<-2x-2,
此时不等式无解;
③当x≥-时,
不等式可化为x+1<2x,解得x>1.
综上,M={x|x<-1或x>1}.
(2)证明:因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|,
所以要证f(ab)>f(a)-f(-b),
只需证|ab+1|>|a+b|,
即证|ab+1|2>|a+b|2,
即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,
即证a2b2-a2-b2+1>0,
即证(a2-1)(b2-1)>0.
因为a,b∈M,所以a2>1,b2>1,
所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立.
3.已知a,b∈R,且a+b=1,求证:(a+2)2+(b+2)2≥.
证明:法一:(放缩法)因为a+b=1,
所以(a+2)2+(b+2)2≥22=[(a+b)+4]2=当且仅当a+2=b+2,即a=b=时,等号成立.
法二:(反证法)假设(a+2)2+(b+2)2<,
则a2+b2+4(a+b)+8<.
因为a+b=1,则b=1-a,所以a2+(1-a)2+12<.
所以2<0,这与2≥0矛盾,故假设不成立.所以(a+2)2+(b+2)2≥.
[解题方略] 证明不等式的常用方法
不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等.
(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显,则考虑用分析法.
(2)利用放缩法证明不等式,就是舍掉式中的一些正项或负项,或者在分式中放大或缩小分子、分母,还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子,从而达到证明不等式的目的.
(3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题,则考虑用反证法.用反证法证明不等式的关键是作出假设,推出矛盾.
与绝对值不等式有关的最值问题
[析母题]
[典例] 已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,a∈R.
(1)若不等式f(x)+|x-1|≥2对任意的x∈R恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a<2时,函数f(x)的最小值为a-1,求实数a的值.
[解] (1)f(x)+|x-1|≥2可化为+|x-1|≥1.
∵+|x-1|≥,
∴≥1,
∴a≤0或a≥4,
∴实数a的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞).
(2)当a<2时,易知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|的零点分别为和1,且<1,
∴f(x)=
易知f(x)在上单调递减,在上单调递增,
∴f(x)min=f=-+1=a-1,解得a=,又<2,∴a=.
[练子题]
1.在本例条件下,若f(x)≤|2x+1|的解集包含,求a的取值范围.
解:由题意可知f(x)≤|2x+1|在上恒成立,
当x∈时,f(x)=|2x-a|+|x-1|
=|2x-a|+x-1≤|x+1|=x+1,
∴|2x-a|≤2,即2x-2≤a≤2x+2,
∴(2x-2)max=4,
(2x+2)min=5,
因此a的取值范围为[4,5].
2.函数f(x)不变,若存在实数x,使不等式f(x)-3|x-1|≥2能成立,求实数a的取值范围.
解:∵f(x)-3|x-1|=|2x-a|-2|x-1|
=|2x-a|-|2x-2|≤|a-2|.
∴|a-2|≥2.
∴a≤0或a≥4.
∴实数a的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞).
[解题方略]
解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略
不等式恒成立问题
不等式f(x)>A在区间D上恒成立,等价于在区间D上f(x)min>A.
不等式f(x)A成立,等价于在区间D上f(x)max>A.
在区间D上存在实数x使不等式f(x)A在区间D上恰成立,等价于不等式f(x)>A的解集为D.
不等式f(x)
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