【数学】2020届一轮复习苏教版矩阵与变换学案

【数学】2020届一轮复习苏教版矩阵与变换学案

选修4－2　矩阵与变换A ‎[最新考纲]‎ ‎1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．‎ ‎2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．‎ ‎3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质．‎ ‎4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．‎ ‎5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.‎ 知 识 梳 理 ‎1．矩阵的乘法规则 ‎(1)行矩阵[a‎11　‎a12]与列矩阵的乘法规则：‎ ‎[a‎11　‎a12]＝[a11×b11＋a12×b21]．‎ ‎(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：‎ ＝.‎ 设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则 ‎①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ；‎ ‎③A(λ1α＋λ2β)＝λ‎1Aα＋λ‎2Aβ.‎ ‎(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：‎ ＝‎ 性质：①一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)；③矩阵的乘法不满足消去律．‎ ‎2．矩阵的逆矩阵 ‎(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.‎ ‎(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A＝(detA＝ad－bc≠0)，它的逆矩阵为 A－1＝.‎ ‎(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组的系数矩阵A＝可逆，那么该方程组有唯一解＝－1，‎ 其中A－1＝.‎ ‎3．二阶矩阵的特征值和特征向量 ‎(1)特征值与特征向量的概念 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．‎ ‎(2)特征多项式与特征方程 设λ是二阶矩阵A＝的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝，则A＝λ，‎ 即满足二元一次方程组 故⇔＝(*)‎ 则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ＝0.记f(λ)＝为矩阵A＝的特征多项式；方程＝0，即f(λ)＝0称为矩阵A＝的特征方程．‎ ‎(3)特征值与特征向量的计算 如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ是特征方程f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0的一个根．‎ 解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解 记ξ1＝，ξ2＝.‎ 则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A＝的特征值，ξ1＝，ξ2＝为矩阵A的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．‎ 诊 断 自 测 ‎1. ＝________.‎ ‎ 解析　＝＝.‎ ‎ 答案　 ‎2．若A＝，B＝，则AB＝________.‎ 解析　AB＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎ 答案　 ‎3．设A＝，B＝，则AB的逆矩阵为________．‎ 解析　∵A－1＝，B－1＝ ‎∴(AB)－1＝B－‎1A－1＝ ＝.‎ 答案　 ‎4．函数y＝x2在矩阵M＝变换作用下的结果为________．‎ 解析　 ＝＝⇒x＝x′，y＝4y′，‎ 代入y＝x2，得y′＝x′2，即y＝x2.‎ 答案　y＝x2‎ ‎5．若A＝，则A的特征值为________．‎ 解析　A的特征多项式f(λ)＝ ‎＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，‎ ‎∴A的特征值为λ1＝7，λ2＝－4.‎ 答案　7和－4‎ 考点一　矩阵与变换 ‎【例1】 (2018·苏州市自主学习调查)已知a，b是实数，如果矩阵M＝ 所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值．‎ 解　设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x′，y′)，则 ＝，‎ 所以 因为点(x′，y′)，在直线x＋2y＝1上，所以 ‎(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即 所以 规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．‎ ‎【训练1】 已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A′(0,3)，B′(1，－1)，试求变换S对应的矩阵T.‎ 解　设T＝，则T：→＝ ＝＝，解得 T：→＝ ＝＝，‎ 解得综上可知T＝.‎ 考点二　二阶逆矩阵与二元一次方程组 ‎【例2】 已知矩阵M＝所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13,5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标．‎ 解　依题意得由M＝，得|M|＝1，‎ 故M－1＝.‎ 从而由＝得＝＝＝，故∴A(2，－3)为所求．‎ 规律方法 ‎ 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB)－1＝B－‎1A－1性质的应用．‎ ‎【训练2】 已知矩阵A＝，‎ ‎ (1)求矩阵A的逆矩阵；‎ ‎ (2)利用逆矩阵知识解方程组 解　(1)法一　设逆矩阵为A－1＝，‎ 则由＝，得 解得A－1＝.‎ 法二　由公式知若A＝＝，‎ ‎(2)已知方程组 可转化为 即AX＝B，其中A＝，X＝，B＝，且由(1)，‎ 得A－1＝.‎ 因此，由AX＝B，同时左乘A－1，有 A－1AX＝A－1B＝＝.‎ 即原方程组的解为 考点三　求矩阵的特征值与特征向量 ‎【例3】 已知a∈R，矩阵A＝对应的线性变换把点P(1,1)变成点P′(3,3)，求矩阵A的特征值以及每个特征值的一个特征向量．‎ 解　由题意 ＝＝，‎ 得a＋1＝3，即a＝2，矩阵A的特征多项式为 f(λ)＝＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)，‎ 令f(λ)＝0，所以矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝3.‎ ‎①对于特征值λ1＝－1，‎ 解相应的线性方程组得一个非零解 因此，α＝是矩阵A的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量；‎ ‎②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组 得一个非零解 因此，β＝是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．‎ 规律方法 已知A＝，求特征值和特征向量，其步骤为：‎ ‎(1)令f(λ)＝＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；‎ ‎(2)列方程组 ‎(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量．‎ ‎【训练3】 (2018·扬州质检)已知矩阵M＝，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．‎ 解　由矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝‎ ‎(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M的特征值．‎ 设矩阵M的特征向量为，‎ 当λ1＝2时，由M＝2，‎ 可得 可令x＝1，得y＝1，‎ ‎∴α1＝是M的属于λ1＝2的特征向量．‎ 当λ2＝4时，由M＝4，‎ 可得 取x＝1，得y＝－1，‎ ‎∴α2＝是M的属于λ2＝4的特征向量．‎ 用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程 ‎【典例】 二阶矩阵M对应的变换T将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．‎ ‎(1)求矩阵M；‎ ‎(2)设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．‎ ‎[审题视点]　(1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解．‎ ‎(2)知道直线l在变换T作用下的直线m，求原直线，可用坐标转移法．‎ 解　(1)设M＝，则＝，‎ ＝，‎ 所以且解得 所以M＝.‎ ‎(2)因为＝＝且m：x′－y′＝4，‎ 所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，‎ 即x＋y＋2＝0，∴直线l的方程是x＋y＋2＝0.‎ ‎[反思感悟]　(1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．‎ ‎(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 .‎ ‎(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误．‎ ‎【自主体验】‎ ‎ (2018·南京金陵中学月考)求曲线2x2－2xy＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M＝，N＝ .‎ 解　MN＝＝.‎ 设P(x′，y′)是曲线2x2－2xy＋1＝0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P′(x，y)，‎ 则＝＝，‎ 于是x′＝x，y′＝x＋，‎ 代入2x′2－2x′y′＋1＝0，得xy＝1.‎ 所以曲线2x2－2xy＋1＝0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy＝1.‎