【数学】2020届一轮复习北师大版参数方程学案

【数学】2020届一轮复习北师大版参数方程学案

第二节　参数方程 ‎[考纲传真]　1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．‎ ‎1．曲线的参数方程 ‎(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数．‎ 相对于参数方程，我们直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)＝0叫作曲线的普通方程．‎ ‎(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．‎ ‎2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的 轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a＞b＞0)‎ (φ为参数)‎ 根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：‎ 过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.‎ ‎(1)弦长l＝|t1－t2|；‎ ‎(2)弦M‎1M2‎的中点⇒t1＋t2＝0；‎ ‎(3)|M‎0M1||M‎0M2‎|＝|t1t2|.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数． (　　)‎ ‎(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量． (　　)‎ ‎(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆． (　　)‎ ‎(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为. (　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)‎ A．在直线y＝2x上　　　　　 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 B　[由得 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.‎ 曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，‎ 所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]‎ ‎3．直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率________．‎ ‎－3　[将直线l的参数方程化为普通方程为y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.]‎ ‎4．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．‎ y＝2－2x2(－1≤x≤1)　[由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．]‎ ‎5．(教材改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则a＝________.‎ ‎3　[直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.]‎ 参数方程与普通方程的互化(题组呈现)‎ ‎1．将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎(1)(t为参数)；‎ ‎(2)(θ为参数)．‎ ‎[解]　(1)∵2＋2＝1，∴x2＋y2＝1.‎ ‎∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.‎ 又x＝，∴x≠0.‎ 当t≥1时，0＜x≤1；当t≤－1时，－1≤x＜0，‎ ‎∴所求普通方程为x2＋y2＝1，其中或 ‎(2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，‎ ‎∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.‎ ‎∵0≤sin2θ≤1，‎ ‎∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，‎ ‎∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．‎ ‎2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．‎ ‎[解]　圆的半径为，‎ 记圆心为C，‎ 连接CP，‎ 则∠PCx＝2θ，‎ 故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，‎ yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．‎ 所以圆的参数方程为 (θ为参数)．‎ ‎[规律方法]　消去参数的方法 (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.‎ (2)利用三角恒等式消去参数.‎ (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.‎ 易错警示：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解.‎ 参数方程的应用(例题对讲)‎ ‎【例1】　(2019·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.‎ ‎(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．‎ ‎[解]　(1)由消去θ，‎ 得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ 又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝，‎ 所以l的参数方程为 即(t为参数)．‎ ‎(2)把直线l的参数方程 代入x2＋y2＝16，‎ 得2＋2＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，‎ 所以t1t2＝－11，‎ 由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝‎ ‎|t1t2|＝11.‎ ‎[规律方法]　(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决.‎ (2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.‎ ‎ 已知△ABC中，C＝45°，边AB，BC的垂直平分线的交点为O，且△ABC外接圆的半径是1.‎ ‎(1)建立适当的坐标系，求△ABC外接圆的参数方程；‎ ‎(2)若存在实数p，q使＝p＋q，求p＋q的取值范围．‎ ‎[解]　(1)因为线段AB，BC的垂直平分线的交点为O，则O为△ABC的外心，且点C在优弧AB上，建立如图所示的平面直角坐标系．‎ 则易得△ABC外接圆的参数方程是(θ为参数)．‎ ‎(2)由(1)知点C的坐标可以表示为(cos θ，sin θ).‎ 由A(0,1)，B(1,0)，C(cos θ，sin θ)及＝p＋q，得p＝sin θ，q＝cos θ.‎ 于是p＋q＝sin，‎ 又θ＋∈，‎ 所以p＋q∈[－，1)．‎ 故p＋q的取值范围是[－，1)．‎ 极坐标、参数方程的综合应用(例题对讲)‎ ‎【例2】　在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ ‎[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)法一：由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得y＝x·tan α.‎ 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.‎ 由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.‎ 又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝，即＝，‎ 整理得k2＝，解得k＝±，即l的斜率为±.‎ 法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ‎＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ ‎[规律方法]　处理极坐标、参数方程综合问题的方法 (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ (2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的. ‎ ‎(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎[解]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；‎ 消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)，‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，‎ 联立得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．‎ 故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，‎ 所以交点M的极径为.‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．‎ ‎[解]　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.‎ 当cos α≠0时，l的直角坐标方程为 y＝tan α·x＋2－tan α，‎ 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.‎ 又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ ‎[解]　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.‎ 当α＝时，l与⊙O交于两点．‎ 当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.‎ 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 .‎