【数学】2019届一轮复习苏教版立体几何学案

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专题08 立体几何 一、柱体、锥体、台体的表面积 圆柱（底面半径为r，母线长为l）‎ 圆锥（底面半径为r，母线长为l）‎ 圆台（上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l）‎ 侧面展开图 底面面积 ‎ ‎ 侧面面积 ‎ ‎ 表面积 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积 柱体 ‎(S为底面面积，h为高)，(r为底面半径，h为高)‎ 锥体 ‎(S为底面面积，h为高)， (r为底面半径，h为高)‎ 台体 ‎(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，‎ ‎(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)‎ ‎【必记结论】（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等．‎ 三、平面的基本性质 图形 文字语言 符号语言 ‎1‎ 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内 Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α ‎2‎ 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα ‎3‎ 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 若点直线a，则A和a确定一个平面 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ‎⇒有且只有一个平面，使，‎ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 ‎⇒有且只有一个平面，使，‎ ‎4‎ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 Pα，且Pβ⇒α∩β=l，Pl，且l是唯一的 ‎5‎ ‎———l1‎ ‎———l2‎ ‎———l 平行于同一直线的两条直线平行 l1∥l，l2∥l⇒l1∥l2‎ 四、球的表面积和体积 ‎1．球的表面积和体积公式 设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为．学- ‎ ‎2．球的切、接问题的常见结论 ‎（1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是．‎ ‎（2）若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的外接球半径是．‎ ‎（3）若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是．‎ ‎（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．‎ ‎（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．‎ 五、空间两直线的位置关系 空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：‎ ‎（1）从有无公共点的角度分类：学 + ‎ ‎ ‎ ‎（2）从是否共面的角度分类：‎ ‎ ‎ 注：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线（不同在任何一个平面内，没有公共点）．‎ 六、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 ‎1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 ‎（1）直线和平面位置关系的分类 ‎①按公共点个数分类：‎ ‎②按是否平行分类：‎ ‎③按直线是否在平面内分类：‎ ‎（2）平面和平面位置关系的分类 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：‎ ‎（1）两个平面平行——没有公共点；‎ ‎（2）两个平面相交——有一条公共直线． ‎ ‎2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面相交 ‎1个 直线与平面平行 ‎0个 直线在平面内 无数个 平面与平面平行 ‎0个 平面与平面相交 无数个 ‎【常用结论】①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．‎ 七、直线与平面平行的判定与性质 ‎1．直线与平面平行的判定定理 文字语言 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．‎ 简记为：线线平行⇒线面平行 图形语言 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 作用 证明直线与平面平行 ‎2．直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，‎ 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行⇒线线平行．‎ 图形语言 符号语言 作用 ‎①作为证明线线平行的依据；②作为画一条直线与已知直线平行的依据．‎ 八、平面与平面平行的判定与性质 ‎1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．‎ 简记为：线面平行⇒面面平行 图形语言 符号语言 a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒α∥β 作用 证明两个平面平行 ‎2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．‎ 简记为：面面平行⇒线线平行 图形语言 符号语言 作用 证明线线平行 ‎3．平行问题的转化关系 ‎【常用结论】（1）如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．‎ ‎（2）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线．‎ ‎（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．‎ ‎（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．‎ ‎（5）如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．‎ ‎（6）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．‎ ‎（7）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．‎ 九、直线与平面垂直 ‎1．直线与平面垂直的判定定理 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．‎ 简记为：线线垂直⇒线面垂直 图形语言 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α 作用 判断直线与平面垂直 ‎2．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行．简记为：线面垂直⇒线线平行．‎ 图形语言 符号语言 ‎⇒‎ 作用 ‎①证明两直线平行；②构造平行线．‎ ‎【常用结论】（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．‎ ‎（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．‎ ‎（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．‎ ‎（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．‎ 十、平面与平面垂直 ‎1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．简记为：线面垂直⇒面面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，⇒α⊥β 作用 判断两平面垂直 ‎2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．‎ 简记为：面面垂直⇒线线平行 图形语言 符号语言 作用 证明直线与平面垂直 ‎【常用结论】（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．‎ ‎（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．‎ ‎（3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．‎ ‎3．垂直问题的转化关系 ‎1．已知直线a和平面α，β，，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是________________．‎ ‎2．一个正方体的体积为，则这个正方体的内切球的表面积是________________．‎ ‎3．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是________________．‎ ‎4．一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为，则球的表面积为________________．‎ ‎5．已知直线和平面，满足．则“”是“”的________________条件．‎ ‎6．如图所示，在四棱锥中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当DM⊥________________时，平面MBD⊥平面PCD．‎ ‎7．已知 α，β是两个不重合的平面，下面说法错误的是________________．‎ ‎①平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β；‎ ‎②平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β；‎ ‎③若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；‎ ‎④平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β．‎ ‎8．若直线aα，给出下列结论：①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α 内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a平行的直线．其中成立的个数是________________．‎ ‎9．如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使三点重合于点G，现给出下列五个结论：‎ ‎①SG⊥平面EFG； ②SD⊥平面EFG； ③GF⊥平面SEF；‎ ‎④EF⊥平面GSD； ⑤GD⊥平面SEF．‎ 其中正确的是________________．‎ ‎10．将若干毫升水倒入底面半径为4cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为8cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是________________cm．‎ ‎11．在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是________________．‎ ‎12．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB=AF∶FD=1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，求证：EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形．‎ ‎13．如图，在正方体中，E为棱的中点，F为棱BC的中点．‎ ‎（1）求证：直线AE⊥直线DA1；‎ ‎（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG？并说明理由．‎ ‎14．如图所示，在三棱柱中，分别是的中点． ‎ ‎（1）求证：四点共面；‎ ‎（2）求证：平面平面BCHG．‎ ‎（1）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，确保不重复、不遗漏．‎ ‎（2）求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积．‎ ‎（3）求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：①若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．‎ ‎（4）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决．球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：．‎ ‎（5）对于求解空间几何体表面积和体积的最值问题，①根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；②利用基本不等式或建立关于表面积和体积的函数关系式进行求解，注意利用函数的方法或者利用导数方法解决．学 ！ ‎ ‎（6）对于线面平行的基本问题，应注意：①判定定理与性质定理中易忽视的条件；②结合题意构造图形作出判断；③举反例否定结论或反证法证明．‎ ‎（7）在应用直线与平面垂直的判定定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线．‎ ‎（8）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．‎ ‎（9）在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．‎ ‎1．如图，直角梯形中，，，，若将直角梯形绕边旋转一周，则所得几何体的表面积为________________．‎ ‎2．对于不重合的两条直线和不重合的两个平面，下列命题不正确的是________________．‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若，则；‎ ‎④若，则．‎ ‎3．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：‎ ‎①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；‎ ‎②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；‎ ‎③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；‎ ‎④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．‎ 其中真命题的个数是________________．‎ ‎4．如图，直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E．要使AB1⊥平面C1DF，则线段B‎1F的长为________________．‎ ‎5．已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：‎ ‎①若，则； ②若，则；‎ ‎③若，则； ④若，则．‎ 其中所有正确的命题是________________．‎ ‎6．若半径为2的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积为时，圆柱的体积为________________．‎ ‎7．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________________．‎ ‎8．如图，四棱锥中，，，，，分别为线段，，的中点，与交于点，是线段上一点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面．‎ ‎9．如图1所示，在中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将沿DE折起到的位置，使A‎1F⊥CD，如图2所示．‎ ‎（1）求证：；学！ ‎ ‎（2）线段上是否存在点Q，使平面？说明理由．‎ ‎1．【答案】相交、平行或异面 ‎【解析】依据题意，b，c分别为a在α，β内的射影，可判断b，c相交、平行或异面均可．‎ ‎2．【答案】‎ ‎【解析】由正方体体积为8可知边长为2，所以内切圆半径为1，球的表面积为 ‎ ‎3．【答案】‎ ‎【解析】设球半径为，则．‎ ‎【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎6．【答案】PC ‎【解析】由相关定理可知，BD⊥PC．当DM⊥PC时，则有PC⊥平面MBD．‎ 而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．所以应填PC．‎ ‎7．【答案】①②③‎ ‎【解析】对于①②，如图1，不能保证α，β无公共点，故①②错误．‎ 对于③，当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图2，故③错误．‎ 对于④，平面α内所有直线都与平面β平行，说明α，β一定无公共点，则α∥β．故④正确．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【名师点睛】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交．判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点．解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出判断．‎ ‎8．【答案】0‎ ‎【解析】∵直线aα，∴a∥α或a∩α=A．‎ 如图，显然①②③④都有反例，所以应选A．‎ ‎【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维．‎ ‎9．【答案】①④‎ ‎【解析】因为SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF=G，所以SG⊥平面GEF，故①正确;‎ 过平面外一点，垂直于该平面的只有一条直线，所以②错误;‎ 因为∠GFE=45°，所以③错误;‎ 根据①得SG⊥EF，易得GD⊥EF，又SG∩GD=G，所以EF⊥平面GSD，故④正确;‎ 由①知，⑤显然错误．‎ ‎10．【答案】4‎ ‎【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高为h cm，则水面圆的半径为htan30°=，‎ 则由π×42×8=×()2×πh，解得h=4．‎ ‎11．【答案】‎ ‎【解析】要使球的体积最大，必须使球的半径最大．‎ 由题意知球面与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，‎ 此时球的体积为． ‎ ‎13．【答案】（1）证明见解析；（2）所求G点即为A1点，理由见解析．‎ ‎【解析】（1）连接，由正方体的性质可知，，‎ 又，∴⊥平面，‎ 又平面，∴．‎ ‎（2）所求G点即为A1点，证明如下：‎ 由（1）可知，‎ 取CD的中点H，连接AH，EH，‎ 由，可证DF⊥平面AHE，‎ ‎∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE．‎ 又，∴AE⊥平面，即AE⊥平面DFG．‎ ‎14．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）∵G，H分别是的中点，‎ ‎∴GH是的中位线，∴．‎ 又∵，∴GH∥BC，∴四点共面．‎ ‎（2）∵E，F分别是AB，AC的中点，∴．‎ ‎∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG．‎ ‎∵，∴四边形是平行四边形，∴．‎ ‎∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴∥平面BCHG．‎ ‎∵，∴平面平面BCHG．‎ ‎1．【答案】‎ ‎【解析】由题意知所得几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，‎ 则表面积为．‎ ‎2．【答案】①②③‎ ‎【解析】对于①，直线m可能在平面内，不正确；‎ 对于②，直线可以与m相交，②不正确；‎ 对于③，直线可能在平面内，③不正确；‎ 易知④正确，故命题不正确的是①②③．‎ ‎3．【答案】0‎ ‎【解析】∵a⊥b，b⊥c，∴a与c可以相交、平行、异面，故①错．‎ 若a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故②错．‎ 若a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交、平行，故③错．‎ 同理，④错，故真命题的个数为0．‎ ‎4．【答案】‎ ‎【解析】设B1F=x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF．‎ 由已知可以得，矩形中，，‎ 又，所以，故．‎ ‎5．【答案】①④‎ ‎【解析】借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面可能垂直，如图(2)所示；‎ 对于③，平面可能垂直，如图(3)所示；‎ 对于④，由可得，因为，所以过n作平面γ，且，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为，所以．故④正确．‎ ‎7．【答案】‎ ‎【解析】绘制圆柱的轴截面如下图所示，‎ 由题意可得，结合勾股定理，底面半径，‎ 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是．‎ ‎【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎8．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）如图，连接，‎ ‎∵，，∴，，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴为的中点．‎ 又是的中点，∴，‎ 又平面，平面，∴平面．‎ ‎（2）如图，连接，，‎ ‎∵，分别是，的中点，∴，‎ 又平面，平面，∴平面．‎ 又是的中点，是的中点，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴平面．‎ 又，∴平面平面，‎ 又平面，∴平面．‎ ‎9．【答案】（1）见解析；（2）线段上存在点Q，使⊥平面DEQ．理由见解析．‎ ‎（2）线段上存在点Q，使⊥平面DEQ．理由如下：‎ 如图所示，分别取A‎1C，A1B的中点P，Q，连接DP，QE，PQ，则PQ∥BC．‎ 又DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP．‎ 由（1）知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A‎1C．‎ 又P是等腰三角形DA‎1C底边A‎1C的中点，所以A‎1C⊥DP．‎ 又DP∩DE=D，DP⊂平面DEP，DE⊂平面DEP，‎ 所以A‎1C⊥平面DEP．从而A‎1C⊥平面DEQ．‎ 故线段A1B上存在点Q，使A‎1C⊥平面DEQ．‎ 个人总结 ‎________________________________________________________________________________________________________________________‎