2020届二轮复习第12讲　椭圆课件（34张）（江苏专用）

2020届二轮复习第12讲　椭圆课件（34张）（江苏专用）

第 12 讲 椭圆 第12讲　椭圆 1.已知椭圆   +   =1( m > n >0)的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 , P 是以椭圆短轴为直 径的圆上任意一点,则   ·   = 　　　     . 答案 　2 n - m 解析　 在椭圆   +   =1( m > n >0)中, b 2 = n , c 2 = m - n ,   ·   =(   +   )·(   -   )=|   | 2 -|   | 2 = b 2 - c 2 = n -( m - n )=2 n - m . 2.已知椭圆 C :   +   =1的上、下顶点分别为 A 1 , A 2 ,点 P 在 C 上,且直线 PA 2 斜率 的取值范围是[-2,-1],那么直线 PA 1 斜率的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　由题意,得 A 1 (0,   ), A 2 (0,-   ),设 P ( x , y ),则     =   =   =   =-   .所以   =-   ∈   . 3.在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为   +   =1( a >0, b >0),右焦点为 F ,右 准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d 1 ,点 F 到 l 的距离为 d 2 . 若 d 2 =   d 1 ,则椭圆的离心率为 　　　     . 答案        解析 　由题意,得 l : x =   , d 2 =   - c =   .由等面积法可求得 d 1 =   .若 d 2 =   d 1 ,则   =     ,整理得   a 2 - ab -   b 2 =0,两边都除以 a 2 ,得     +   -   =0.所以   =   . 所以离心率 e =   =   . 题型一　椭圆的定义 例1 　定圆 M :( x +   ) 2 + y 2 =16,动圆 N 过点 F (   ,0)且与圆 M 相切,记圆心 N 的轨迹 为 E . (1)求轨迹 E 的方程; (2)设点 A , B , C 在 E 上运动, A 与 B 关于原点对称,且| AC |=| BC |,当△ ABC 的面积最 小时,求直线 AB 的方程. 解析 　(1)∵ F (   ,0)在圆 M :( x +   ) 2 + y 2 =16内, ∴圆 N 内切于圆 M . ∵| NM |+| NF |=4>| FM |,∴点 N 的轨迹 E 为焦点在 x 轴上的椭圆,且2 a =4, c =   ,∴ a = 2, b =1, ∴轨迹 E 的方程为   + y 2 =1. (2)①当 AB 为长轴(或短轴)时, S △ ABC =2. ②当直线 AB 的斜率存在且不为0时, 设直线 AB 的方程为 y = kx . 由   解得   =   ,   =   . ∴| OA | 2 =   +   =   . 将上式中的 k 替换为-   ,得| OC | 2 =   . S △ ABC =2 S △ AOC =| OA |·| OC | =   ·   =   . ∵   ≤   =   ,当且仅当1+4 k 2 = k 2 +4,即 k = ± 1时,等号成立, 此时△ ABC 的面积最小,∴ S △ ABC ≥   . ∵2>   ,∴△ ABC 面积的最小值是   , 此时直线 AB 的方程为 y = x 或 y =- x . 【方法归纳】　利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行 转化.一般地,解决与到焦点的距离有关的问题时,首先应考虑用定义来解题, 求椭圆的标准方程主要有定义法和待定系数法,有时还可根据已知条件选用 代入法. 1-1　 已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ,离心率为   ,过 F 2 的直线 l 交 C 于 A , B 两点.若△ AF 1 B 的周长为4   ,则 C 的方程为 　　　　　     . 答案        +   =1 解析 　由椭圆的定义可知,△ AF 1 B 的周长为4 a ,所以4 a =4   , a =   .又由 e =   =   ,得 c =1,所以 b 2 = a 2 - c 2 =2.所以 C 的方程为   +   =1. 题型二　直线与椭圆的位置关系 例2     (2019南京三模,18)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :   +   =1( a > b > 0)经过点   ,离心率为   . A , B 分别是椭圆 C 的上、下顶点, M 是椭圆 C 上异 于 A , B 的一点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 Q 在直线 x - y +2=0上,且   =3   ,求△ QMA 的面积; (3)如图,过点 M 作斜率为1的直线交椭圆 C 于另一点 N ,交 y 轴于点 D ,且 D 点在线 段 OA 上(不包括端点 O , A ),直线 NA 与直线 BM 交于点 P ,求   ·   的值. 解析 　(1)因为椭圆经过点   ,离心率为   , 所以   +   =1,   =1- e 2 =   ,解得 a 2 =2, b 2 =1, 所以椭圆 C 的方程为   + y 2 =1. (2)由(1)知 B (0,-1),设 M ( x 0 , y 0 ), Q ( x , y ). 由   =3   ,得( x , y +1)=3( x 0 , y 0 +1), 则 x =3 x 0 , y =3 y 0 +2. 又因为 Q 在直线 x - y +2=0上,所以 y 0 = x 0 .① 因为点 M 在椭圆 C 上,所以   +   =1, 所以| x 0 |=   ,从而| x |=   , 所以 S △ QMA = S △ QAB - S △ MAB =   × 2 ×   -   × 2 ×   =   . (3)解法一:由(1)知, A (0,1), B (0,-1). 设 D (0, m ),0< m <1, M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ). 因为直线 MN 的斜率为1,所以直线 MN 的方程为 y = x + m , 联立   消去 y ,得3 x 2 +4 mx +2 m 2 -2=0, 所以 x 1 + x 2 =-   , x 1 x 2 =   . 所以直线 MB 的方程为 y =   x -1, 直线 NA 的方程为 y =   x +1, 联立解得 y P =   .② 将 y 1 = x 1 + m , y 2 = x 2 + m 代入②,得 y P =   =   =   =   . 所以   ·   =(0, m )·( x P , y P )= my P = m ·   =1. 解法二:由(1)知, A (0,1), B (0,-1). 设 M ( x 0 , y 0 ),则   +   =1. 因为直线 MN 的斜率为1, 所以直线 MN 的方程为 y = x - x 0 + y 0 , 则 D (0, y 0 - x 0 ),联立得   消去 y ,得3 x 2 -4( x 0 - y 0 ) x +2( x 0 - y 0 ) 2 -2=0, 所以 x N + x 0 =   , 所以 x N =   , y N =-   , 所以直线 NA 的方程为 y =   x +1=   x +1, 直线 MB 的方程为 y =   x -1, 联立解得 y P =   . 又因为   +   =1, 所以 y P =   =   , 所以   ·   =(0, y 0 - x 0 )·( x P , y P )=( y 0 - x 0 )   =1. 【方法归纳】　解决直线与椭圆位置关系的相关问题,其常规思路是先把直 线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解 决相关问题,涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单. 题型三　椭圆与圆的综合 例3 　(1)(2018江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 过点   ,焦点为 F 1 (-   ,0), F 2 (   ,0),圆 O 的直径为 F 1 F 2 . (1)求椭圆 C 及圆 O 的方程; (2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P . ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标; ②直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点,若△ OAB 的面积为   ,求直线 l 的方程. 解析 　(1)因为椭圆 C 的焦点为 F 1 (-   ,0), F 2 (   ,0),所以可设椭圆 C 的方程为   +   =1( a > b >0). 又点   在椭圆 C 上,所以   解得   所以椭圆 C 的方程为   + y 2 =1. 因为圆 O 的直径为 F 1 F 2 ,所以其方程为 x 2 + y 2 =3. (2)①设直线 l 与圆 O 相切于 P ( x 0 , y 0 )( x 0 >0, y 0 >0), 则   +   =3. 所以设直线 l 的方程为 y =-   ( x - x 0 )+ y 0 ,即 y =-   x +   . 由   消去 y , 得(4   +   ) x 2 -24 x 0 x +36-4   =0.(*) 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,且   +   =3, 所以 Δ =(-24 x 0 ) 2 -4(4   +   )(36-4   )=48   (   -2)=0. 因为 x 0 , y 0 >0,所以 x 0 =   , y 0 =1. 因此,点 P 的坐标为(   ,1). ②如图,因为△ OAB 的面积为   , 所以   | AB |·| OP |=   , 从而| AB |=   .设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). 由(*)得 x 1,2 =   . 所以| AB | 2 =( x 1 - x 2 ) 2 +( y 1 - y 2 ) 2 =   ·   . 因为   +   =3,所以| AB | 2 =   =   , 即2   -45   +100=0. 解得   =   (   =20舍去),则   =   .因此,点 P 的坐标为   .综上,直线 l 的方 程为 y =-   x +3   . 【方法归纳】　对于圆与椭圆这类问题的求解,首先,要注意理解直线和圆、 椭圆等基础知识及其联系,其次,要对问题的条件进行全方位的审视,特别是 题中各个条件之间的相互关系及隐含条件,再次,要掌握解决问题常用的思想 方法,如数形结合,化归与转化等思想方法.对于某些涉及线段长度关系的问 题,可以通过解方程、求坐标,用距离公式计算长度的方法来解,也可以利用 一元二次方程,使相关的点的同名坐标为方程的根,由根与系数的关系求出两 根间的关系或者有关线段长度间的关系,从而解决问题. 3-1     (2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :   +   =1 ( a > b >0)的焦点为 F 1 (-1,0), F 2 (1,0).过 F 2 作 x 轴的垂线 l ,在 x 轴的上方, l 与圆 F 2 :( x -1) 2 + y 2 =4 a 2 交于点 A ,与椭圆 C 交于点 D .连接 AF 1 并延长交圆 F 2 于点 B ,连接 BF 2 交椭 圆 C 于点 E ,连接 DF 1 .已知 DF 1 =   . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求点 E 的坐标. 解析　 本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性 质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题 能力和运算求解能力. (1)设椭圆 C 的焦距为2 c . 因为 F 1 (-1,0), F 2 (1,0),所以 F 1 F 2 =2, c =1. 又因为 DF 1 =   , AF 2 ⊥ x 轴, 所以 DF 2 =   =   =   . 因此2 a = DF 1 + DF 2 =4,从而 a =2. 由 b 2 = a 2 - c 2 ,得 b 2 =3. 因此,椭圆 C 的标准方程为   +   =1. (2)解法一:由(1)知,椭圆 C :   +   =1, a =2. 因为 AF 2 ⊥ x 轴,所以点 A 的横坐标为1. 将 x =1代入圆 F 2 的方程( x -1) 2 + y 2 =16,解得 y = ± 4. 因为点 A 在 x 轴上方,所以 A (1,4). 又 F 1 (-1,0),所以直线 AF 1 : y =2 x +2. 由   得5 x 2 +6 x -11=0, 解得 x =1或 x =-   . 将 x =-   代入 y =2 x +2,得 y =-   . 因此 B   . 又 F 2 (1,0),所以直线 BF 2 : y =   ( x -1). 由   得7 x 2 -6 x -13=0,解得 x =-1或 x =   . 又因为 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点,所以 x =-1. 将 x =-1代入 y =   ( x -1),得 y =-   . 因此 E   . 解法二:由(1)知,椭圆 C :   +   =1. 如图,连接 EF 1 . 因为 BF 2 =2 a , EF 1 + EF 2 =2 a ,所以 EF 1 = EB , 从而∠ BF 1 E =∠ B . 因为 F 2 A = F 2 B ,所以∠ A =∠ B . 所以∠ A =∠ BF 1 E ,从而 EF 1 ∥ F 2 A . 因为 AF 2 ⊥ x 轴,所以 EF 1 ⊥ x 轴. 因为 F 1 (-1,0),由   解得 y = ±   . 又因为 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点,所以 y =-   . 因此 E   .