上海市南洋模范中学2020届高三上学期期中考试数学试题

上海市南洋模范中学2020届高三上学期期中考试数学试题

南模中学高三期中数学卷 一.填空题 ‎1.已知集合==,则=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎====,‎ 所以=.‎ ‎2.三阶行列式中元素的代数余子式的值为________.‎ ‎【答案】34‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据行列式的代数余子式的定义进行计算．‎ ‎【详解】由题意，可知：‎ ‎（﹣1）1+2•[2×4﹣（﹣6）×（﹣7）]＝34．‎ 故答案为：34．‎ ‎【点睛】本题主要考查行列式的代数余子式的概念及根据行列式的代数余子式的定义进行计算．本题属基础题．‎ ‎3.已知幂函数的图像过点，则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值．‎ ‎【详解】由设f（x）＝xa，图象过点（，），‎ ‎∴（）a，解得a，‎ ‎∴log4f（2）＝log4．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值．‎ ‎4.已知向量，且在上的投影为3，则与角为______.‎ ‎【答案】【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量数量积的几何意义求得的值，然后再求出两向量的夹角．‎ ‎【详解】设，的夹角为，‎ 则，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和夹角的计算，解题的关键是熟悉有关的计算公式，用几何意义计算向量的数量积也是解答本题的关键，属于基础题．‎ ‎5.满足不等式的的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 反余弦函数的定义域为，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：‎ ‎，求解不等式有：，‎ 综上可得，不等式的解集为.‎ ‎6.函数的图像恒过定点A，若A在直线，其中，则的最小值_________‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知可得定点，代入直线方程可得，从而.‎ 考点：1、函数的定点；2、重要不等式.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.‎ ‎7.设无穷等比数列的公比为，若的各项和等于，则首项的取值范围是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意易得q，可得a1＝﹣（q）2，由二次函数和等比数列的性质可得．‎ ‎【详解】∵无穷等比数列{an}的各项和等于公比q，‎ ‎∴|q|＜1，且q，‎ ‎∴a1＝q（1﹣q）＝﹣q2+q＝﹣（q）2，‎ 由二次函数可知a1＝﹣（q）2，‎ 又等比数列的项和公比均不为0，‎ ‎∴由二次函数区间的值域可得：‎ 首项a1的取值范围为：﹣2＜a1且a1≠0‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．‎ ‎8.已知函数，的反函数为，则的值域是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，f﹣1（x），（x∈[1，4]），得函数y＝[f﹣1（x）]2+f﹣1（2x）＝x，由y＝x为[1，2]上的增函数，可得y的值域．‎ ‎【详解】依题意，f﹣1（x），（x∈[1，4]），‎ 所以函数y＝[f﹣1（x）]2+f﹣1（2x）＝x，其中x满足，即1≤x≤2，‎ 又y＝x为[1，2]上的增函数，‎ 所以函数y＝[f﹣1（x）]2+f﹣1（2x）的值域是[1，4]，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了简单函数的反函数的求法，函数的定义域，值域，属于基础题．解题时注意定义域优先的原则．‎ ‎9.在平面直角坐标系中，记曲线为点的轨迹，直线与曲线交于、两点，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由消去θ得（x+1）2+（y﹣1）2＝4，得曲线C的轨迹是以C（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值．‎ ‎【详解】由消去θ得（x+1）2+（y﹣1）2＝4，‎ ‎∴曲线C的轨迹是以C（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，‎ 又直线恒过点D，且此点在圆内部 故当时|AB|最短，‎ ‎∴|AB|＝22，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程，考查圆的弦长公式，准确计算是关键，属中档题．‎ ‎10.设等差数列满足：，公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．‎ ‎【详解】由1，‎ 得：1，‎ 即，‎ 由积化和差公式得：，‎ 整理得：1，‎ ‎∴sin（3d）＝﹣1．‎ ‎∵d∈（﹣1，0），∴3d∈（﹣3，0），‎ 则3d，d．‎ 由．‎ 对称轴方程为n，‎ 由题意当且仅当n＝9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，‎ ‎∴，解得：．‎ ‎∴首项a1的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了三角恒等变换的应用，化简原式得公差的值是关键，考查了学生的运算能力，是中档题．‎ ‎11.是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 由题意，，与都是奇函数，‎ 第一象限图象如图，当时，两图象无交点，‎ 所以与对称，零点之和为0，上，零点为8，‎ 所以，上的零点之和为8.‎ ‎12.在数列中，，，是数列的前项和，当不等式恒成立时，的所有可能取值为 .‎ ‎【答案】1或2或4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由 得，即，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，所以，由，，所以 即，当时，该不等式不成立，当时有恒成立，‎ 当时，，，这时，当时，，，这时或，当时，不成立，所以的所有可能取值为或或.‎ 考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题.‎ ‎【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力.‎ 二.选择题 ‎13.已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．‎ ‎【详解】a∈R，则“a＞1”⇒“”，‎ ‎“”⇒“a＞1或a＜0”，‎ ‎∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】充分、必要条件三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎14.已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )‎ A. 在上是增函数 B 其图象关于直线对称 C. 函数是奇函数 D. 当时，函数的值域是 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，A：时，，是减函数，故A错误；B：，故B错误；C：是偶函数，故C错误；D：时，，值域为，故D正确，故选D．‎ 考点：1．三角函数的图象变换；2．的图象和性质．‎ ‎15.已知， ，则函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得到正确选项.‎ ‎【详解】当|x|＞1时，；‎ 当|x|＜1时，1；‎ 当x＝1时，-1；‎ 当x＝﹣1时，不存在．‎ ‎∴f（x）‎ ‎∴只有A选项符合f（x）大致图像，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数解析式求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．‎ ‎16.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（　）‎ A. B. 到直线的距离不大于2‎ C. 直线过抛物线的焦点 D. 为直径的圆的面积大于 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，，可看作直线与抛物线的交点,对直线进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，设出，的坐标，可以求得，的坐标及直线的解析式；当直线的斜率存在时，利用斜截式设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，推出直线过定点，结合选项得出答案.‎ ‎【详解】当直线MN的斜率不存在时，设，‎ 由斜率之积为，可得，即，∴的直线方程为；‎ 当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，可得．‎ 设，则，‎ ‎∴，‎ 即．∴直线方程为．‎ 则直线过定点．‎ 则到直线的距离不大于2．故选B．‎ ‎【点睛】圆锥曲线与方程是高考考查的核心之一，解题时不仅要掌握圆锥曲线的几何性质，还要重点掌握直线与圆锥曲线的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，本题主要利用了设而不求的方法，在设直线方程时要注意斜率是否存在以进行分类讨论.‎ 三.解答题 ‎17.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，且．‎ ‎（1）若C=60°且b=1，求a边的值；‎ ‎（2）当时，求∠A的大小．‎ ‎【答案】（1）3；（2）A=‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理和三角形的面积公式，化简可得，又由且，即可求解；‎ ‎（2）由余弦定理及，化简可得，即可求解的大小，得到答案．‎ ‎【详解】（1）由题意知，可得，‎ ‎∴，又因为且，∴；‎ ‎（2）当时，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，得，‎ ‎∵，∴，所以，得．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎18.函数的定义域为，函数.‎ ‎（1）若时，的解集为，求；‎ ‎（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；‎ ‎（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m成立，得﹣m≥（）min，解得实数m的取值范围．‎ ‎【详解】（1）由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），‎ 故则函数f（x）＝log3（x2+2x﹣8）的定义域A＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），‎ 若m＝﹣4，g（x）＝x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B＝[﹣1，4]‎ 所以A∩B＝（2，4]； ‎ ‎（2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，‎ 即存在使得不等式﹣m成立，所以﹣m≥（）min ‎ 因为x+11≥1，‎ 当且仅当x+1＝1，即x＝0时取得等号 所以﹣m≥1，‎ 解得：m≤﹣1．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．‎ ‎19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线是以点 为圆心的圆的一部分，其中，是圆的切线，且，曲线是抛物线的一部分，，且恰好等于圆的半径.‎ ‎（1）若米，米，求与值；‎ ‎（2）若体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线方程求得，从而可得半径，即，进而解得；通过圆的方程求得点坐标，从而得到点坐标，代入抛物线方程求得；（2）求解出点坐标后，可知，可整理为，利用基本不等式可求得的最大值，从而可得的范围.‎ ‎【详解】（1）由抛物线方程得： ‎ 又，均为圆的半径 ，则 圆的方程为： ‎ ‎，则 代入抛物线方程得：，解得：‎ ‎（2）由题意知，圆半径为：，即 则点纵坐标为，代入抛物线方程可得：，即 ‎，整理可得：‎ ‎ （当且仅当时取等号）‎ ‎ ‎ 即的取值范围为：‎ ‎【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.‎ ‎20.已知椭圆过点，且右焦点为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以，椭圆C的方程为。‎ ‎(2)设A、B、P的坐标分别为。‎ 由知，。‎ 又点A在椭圆C上，则 ‎，‎ 整理得。‎ 由，同理得到 ‎。‎ 由于A、B不重合，即，故m、n是二次方程 的两根，所以m+n=-4，为定值。‎ ‎（3）依题意，直线l的方程为，即，与椭圆C的方程联立，消去y并整理，得 ‎，‎ ‎，‎ 所以，而 ‎。‎ 由已知，点P不在椭圆C的内部，得，即，所以的最小值为，故三角形QAB面积的最小值为。‎ ‎21.已知两个无穷数列和的前项和分别为、，，，对任意的，都有.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若为等差数列，对任意的，都有，证明：；‎ ‎（3）若为等比数列，，，求满足（）的的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）1或2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；‎ ‎（2）设数列{bn}的公差为d，求出Sn，Tn．由恒成立思想可得b1＜1，求出an﹣bn，判断符号即可得证；‎ ‎（3）运用等差数列和等比数列的求和公式，求得Sn，Tn，化简，推出小于3，结合等差数列的通项公式和数列的单调性，即可得到所求值．‎ ‎【详解】（1）由3Sn+1＝2Sn+Sn+2+an，得2（Sn+1﹣Sn）＝Sn+2﹣Sn+1+an，‎ 即2an+1＝an+2+an，所以an+2﹣an+1＝an+1﹣an．‎ 由a1＝1，S2＝4，可知a2＝3．‎ 所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．‎ 故{an}的通项公式为an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．‎ ‎（2）设数列{bn}的公差为d，‎ 则Tn＝nb1n（n﹣1）d，‎ 由（1）知，Snn（1+2n﹣1）＝n2．‎ 因为Sn＞Tn，所以n2＞nb1n（n﹣1）d，‎ 即（2﹣d）n+d﹣2b1＞0恒成立，‎ 所以，即，‎ 又由S1＞T1，得b1＜1，‎ 所以an﹣bn＝2n﹣1﹣b1﹣（n﹣1）d＝（2﹣d）n+d﹣1﹣b1≥2﹣d+d﹣1﹣b1＝1﹣b1＞0．‎ 所以an＞bn，得证．‎ ‎（3）由（1）知，Sn＝n2．因为{bn}为等比数列，‎ 且b1＝1，b2＝3，‎ 所以{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列．‎ 所以bn＝3n﹣1，Tn（3n﹣1）．‎ 则3，‎ 因为n∈N*，所以6n2﹣2n+2＞0，所以3．‎ 而ak＝2k﹣1，所以1，即3n﹣1﹣n2+n﹣1＝0（*）．‎ 当n＝1，2时，（*）式成立；‎ 当n≥2时，设f（n）＝3n﹣1﹣n2+n﹣1，‎ 则f（n+1）﹣f（n）＝3n﹣（n+1）2+n﹣（3n﹣1﹣n2+n﹣1）＝2（3n﹣1﹣n）＞0，‎ 所以0＝f（2）＜f（3）＜…＜f（n）＜…，‎ 故满足条件的n的值为1和2．‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查不等式的证明，注意运用恒成立思想和作差法，或反证法，考查数列的单调性的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．‎ ‎ ‎