黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

高二下学期期中文科数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知复数 z 满足(2 - i) z = 5 ，则 z = （‎ A. 2 + i B. 2 - i ‎）‎ C. -2 - i D. -2 + i ‎2. 曲线 y = (x3 - 3x)× ln x 在点(1,0) 处的切线方程为（‎ ‎）‎ A. 2x + y - 2 = 0‎ ‎B. x + 2y -1 = 0‎ ‎C. x + y -1 = 0 D.‎ ‎4x + y - 4 = 0‎ 3. 某中学有高中生3000 人，初中生2000 人，男、女生所占的比例如图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是( )‎ 高中生 初中生 A．12 B．15 C． 20 D． 21‎ 4. 函数 y = f (x) 的导函数 y = f ¢( x) 的部分图象如图所示，给出下列判断：‎ ‎①函数 y = f ( x) 在区间[-3, - 1] 单调递增 ②函数 y = f ( x) 在区间[- 1 , 3] 单调递减 ‎2 2‎ ‎③函数 y = f ( x) 在区间(4, 5) 单调递增 ④当 x = 2 时，函数 y = f ( x) 取得极小值 ‎⑤当 x =- 1 时.函数 y = f ( x) 取得极大值.则上述判断中正确的是( )‎ ‎2‎ A．①② B．②③ C．③④⑤ D．③‎ 5. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2017‎ 年 1 月至 2019 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A. 年接待游客量逐年增加 B. 各年的月接待游客量高峰期大致在 8 月 C.2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 万人 D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 4. 某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表:‎ xi ‎0.2‎ ‎1‎ ‎2.2‎ ‎3.2‎ yi ‎1.1‎ ‎2.1‎ ‎2.3‎ ‎3.3‎ ‎4.2‎ 若依据表中数据画出散点图，则样本点(xi , yi )(i =1, 2,3, 4,5) 都在曲线 y = x +1 附近波动. 但由于某种原因表中一个 x 值被污损，将方程 y = x +1作为回归方程，则根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为 （ ）‎ A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5‎ 5. 齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（ ）‎ A. ‎4‎ ‎9‎ ‎B. 5‎ ‎9‎ ‎C. 2‎ ‎3‎ ‎D. 7‎ ‎9‎ 6. 高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了 n 座城市作实验基地，这 n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为 x1 ，‎ x2 ，„， xn ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）‎ A． x1 ， x2 ，„， xn 的标准差 B． x1 ， x2 ，„， xn 的平均数 C. x1 ， x2 ，„， xn 的最大值 D． x1 ， x2 ，„， xn 的中位数 3. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结 果 n=‎ A．4 B．5 C．2 D．3‎ 4. 甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说： “丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去， 我就去．”则以下推论可能正确的是 A．乙、丙两个人去了 B．甲一个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 ìx ³ 0‎ í ‎0‎ 5. 不等式组 ï £ y £ 1 所表示的平面区域为 Ω，用随机模拟方法近似计算 Ω 的面积，先 î ï y ³ x2‎ 产生两组(每组 100 个)区间[0,1]上的均匀随机数 x1，x2，…，x100 和 y1，y2，…，y100，由此得到 100 个点(xi，yi)(i＝1,2，…，100)，再数出其中满足 y < x2 (i＝1,2，…，100)的 i i 点数为 33，那么由随机模拟方法可得平面区域 Ω 面积的近似值为 A．0.33 B．0.76 C．0.67 D．0.57‎ 6. 已知函数 f (x) 在 R 上都存在导函数 f ¢(x) ，对于任意的实数都有 ‎f (-x) 2 x = e ‎，当 f (x)‎ x < 0 时，f (x) + f ¢(x) > 0 ，若 a = 2 f (ln 2) ，b = ‎f (-1) 1 1‎ ‎，c = f (ln )‎ ‎，则a ，b ，‎ c 的大小关系是 A. a > c > b ‎B. a > b > c ‎e C. c > b > a ‎4 4‎ D. c > a > b 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）‎ 4. 某中学为了了解学生年龄与身高的关系，采用分层抽样的方法分别从高一 400 名，高二 ‎300 名，高三 250 名学生中共抽取 19 名学生进行调查，从高一、高二、高三抽取的学生 人数分别为a,b,c ，若圆 A:(x - a)2 + ( y - b)2 = c2 与圆 B : (x - m)2 + ( y - 3 m)2 = 25 外切，‎ ‎4‎ 则实数m 的值为 .‎ 5. 如图，y=f(x)是可导函数，直线 l:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线，令 g(x)=xf(x),其中 g' (x) 是 g(x)的 导数，则 g' (3) = .‎ 6. 杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他 1261 年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11 世纪中叶（约公元 1050 年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：‎ 基于上述规律，可以推测，当n = 23 时，从左往右第 22 个数为 .‎ 7. 已知a ³ 0 ，函数 f (x) = (x2 - 2ax)ex .若 f (x) 在[-1,1]上单调递减，则a 的取值范围是 .‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，曲线C : x2 - y2 = 2 ，曲线C 的参数 ‎1 2‎ ìx = 2 + 2 cosq î 方程为 í y = 2sinq ‎（q 为参数）．以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ （1） 求曲线C1 ， C2 的极坐标方程；‎ （2） 在极坐标系中，射线q = p 与曲线C ，C 分别交于 A ，B 两点（异于极点O ），‎ ‎．． 6 1 2‎ 定点 M (3, 0) ，求DMAB 的面积 18. ‎（本小题 12 分） 哈尔滨市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后 50 天该海鲜的日需求量 x （10 £ x £ 20 ，‎ 单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示.该海鲜每天进货 1 次，每销售 1 公斤可获利 40 元；若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损 10 元；若供不应求，可从其它商 店调拨，调拨的海鲜销售 1 公斤可获利 30 元.假 设商店该海鲜每天的进货量为 14 公斤，商店销售该海鲜的日利润为 y 元.‎ （1） 求商店日利润 y 关于日需求量 x 的函数表达式.‎ （2） 根据频率分布直方图，‎ ‎①估计这 50 天此商店该海鲜日需求量的平均数.‎ ‎②假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于 620 元的概率.‎ ‎19.（本小题 12 分） 已知关于 x 的不等式 x + 3 + x + m ³ 2m 的解集为 R ．‎ ‎（1）求m 的最大值；‎ ‎（2）已知 a > 0 ， b > 0 ， c > 0 ，且 a + b + c = 1，求2a2 + 3b2 + 4c2 的最小值及此时a ，‎ b ， c 的值．‎ 20. ‎（本小题 12 分） 为迎接 2022 年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随 机抽取了 100 名学生，将他们的比赛成绩（满分为 100 分）分为 6 组：[40,50) ，‎ ‎[50,60) ，[60,70) ，[70,80) ，[80,90) ，[90,100] ，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求a 的值；‎ ‎（Ⅱ）估计这 100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；‎ ‎（Ⅲ）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀”，比赛 成绩低于 80 分为“非优秀”．请将下面的 2×2 列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？‎ 优秀 非优秀 合计 男生 ‎40‎ 女生 ‎50‎ 合计 ‎100‎ 参考公式及数据： K 2‎ ‎- 2‎ = n(ad bc)‎ ‎, n = a + b + c + d ‎(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )‎ P(K 2 ³ K )‎ ‎0‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ K0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 20. ‎（本小题 12 分 ） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 M (2,1) 在抛物线C: x2 = ay 上，直线l: y = kx + b (b ¹ 0) 与抛物线C 交于 A ， B 两点，且直线OA ，OB 的斜率之和为 ‎-1．‎ （1） 求a 和k 的值；‎ （1） 若b > 1，设直线l 与 y 轴交于 D 点，延长 MD 与抛物线C 交于点 N ，抛物线C 在点 N 处的切线为n ， l 与 x 轴围成的三角形面积为 S ，求 S 的最小值．‎ 20. ‎（本小题 12 分） 已知函数 f (x) = x2 - a ln x -1.‎ ‎（1）当a = 1时，证明： f (x) > 0 在(1, +¥) 上恒成立；‎ ‎（2）若函数 f (x) 有唯一零点，求实数 a 的取值范围.‎