【数学】2019届一轮复习人教A版数列与不等式学案
4. 数列与不等式
■要点重温…………………………………………………………………………·
1．等差数列及其性质
(1){an}等差数列⇔an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1 (n≥2) ⇔2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)
⇔an＝an＋b⇔Sn＝An2＋Bn.
(2)等差数列的性质
①an＝am＋(n－m)d；
②当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.
③Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0.
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．
[应用1] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为( )
A．15 B．20
C．25 D．30
[答案] A
2．等比数列及其性质
(1){an}等比数列⇔ ⇔＝q(q为常数，q≠0)(a1≠0)⇔an＝a1·qn－1.
[应用2] x＝是a、x、b成等比数列的( )
【导 号：07804176】
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
[解析] 若x＝a＝0，x＝成立，但a、x、b不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a、x、b成等比数列，则x2＝ab⇔x＝±，所以x＝不一定成立，必要性不成立．所以选D.
[答案] D
(2)等比数列的性质
当m＋n＝p＋q时，则有am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝a.
[应用3] (1)在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________.
(2)各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.
[答案] (1)512 (2)10
(3)求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q＝1和q≠1两种情形讨论求解．
[应用4] 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．
[解析] ①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，
∴S3＋S6＝S9成立．
②当q≠1时，由S3＋S6＝S9
得＋＝
∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.
∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.
[答案] 1或－1
3．求数列通项的常见类型及方法
(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．
[应用5] 如图10(1)，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图10(2)，如此继续下去，得图10(3)……，试探求第n个图形的边长an和周长Cn.
图10(1) 图10(2) 图10(3)
[答案] an＝，Cn＝×(3×4n－1)
(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．
(3)叠加法(迭加法)：
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1；
叠乘法(迭乘法)：
＝··……·.
[应用6] 已知a1＝1，an＋1＝2nan，求an.
[答案] an＝2
(4)已知Sn与an的关系，利用关系式an＝求an.
[应用7] 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则an＝________.
[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝3.
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1.
所以an＝.
[答案]
(5)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式．
[应用8] 已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为an＝________.
[解析] 令x＝2，y＝2n－1，则f(xy)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得＝1＋(n－1)×1＝n，
即an＝n·2n.
[答案] n·2n
4．数列求和的方法
(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；
(2)分组求和法；
(3)倒序相加法；
(4)错位相减法；
(5)裂项法．
如：＝－；＝.
[应用9] 求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1.
[答案] Sn＝
(6)并项法
数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．
[应用10] 数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n项和，则S21的值为________.
【导 号：07804177】
[答案]
5．研究数列{an}的单调性的方法：
(1)an＋1－an ，如an＝2n－4n－5；
(2) ，an＝；
(3)an＝f(n)增减性，转化为研究函数f(x)的增减性，如an＝.
[应用11] 若an＝，求数列{an}中的最大项．
[答案] a3＝
6．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，同时要注意“同号可倒”，即a>b>0⇒<；a
.
[应用12] 若实数a，b∈R且a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2>b2 B．>1
C．2a>2b D．lg(a－b)>0
[解析] 根据函数的图象(图略)与不等式可知：当a>b时，2a>2b，故选C.
[答案] C
7．用基本不等式“≥ (a，b>0)”求最值(或值域)时，要注意到条件“一正、二定、三相等”；在解答题，遇到利用基本不等式求最值的问题，要交待清楚取等号的条件．常用技巧：
(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑．
(2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元．
(3)当题中等号条件不成立，可考虑从函数的单调性入手求最值．
[应用13] (1)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
[解析] 由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4，
当且仅当＝时取等号．
[答案] D
(2)已知0＜x＜1＜y，则logxy＋logyx的值域是________.
【导 号：07804178】
[答案] (－∞，－2]
(3)函数f(x)＝的值域是________．
[答案]
8．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点与点(－2,2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点到点(1,1)的距离的平方等．同时解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负．
[应用14] 若实数x，y满足，且x2＋y2的最大值等于34，则正实数a的值等于( )
A． B．
C． D．3
[解析] 做出可行域，如图所示，x2＋y2表示点(x，y)与(0,0)距离的平方，由图知，可行域中的点B离(0,0)最远，故x2＋y2的最大值为＋32＝34⇒a＝，故选B.
[答案] B
9．解答不等式恒成立问题的常用方法
(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x的取值为全体实数时，一般应用此法．
(2)从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化最小值大于零．
(3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出 ．
(4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形．
[应用15] 如果kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，则实数k的取值范围是________.
【导 号：07804179】
A．－1≤k≤0 B．－1≤k<0
C．－1 B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．sin x>sin y D．x3>y3
D [因为0y.采用赋值法判断，A中，当x＝1，y＝0时，<1，A不成立．B中，当x＝0，y＝－1时，ln 10且a6>|a5|，Sn是数列的前n项的和，则下列说法正确的是( )
A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6…均大于0
B．S1，S2，…S5均小于0，S6，S7，…均大于0
C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11…均大于0
D．S1，S2，…S11均小于0，S12，S13…均大于0
C [由题意可知a6＋a5>0，故S10＝＝>0，
而S9＝＝＝9a5<0，故选C.]
6．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为( )
【导 号：07804181】
A．3 690 B．3 660
C．1 845 D．1 830
D [当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1；
当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3.
所以a2k＋1＋a2k－1＝2，所以a2k＋1＋a2k＋3＝2，
所以a2k－1＝a2k＋3，所以a1＝a5＝…＝a61.
所以a1＋a2＋a3＋…＋a60
＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)
＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)
＝＝30×61＝1 830.]
7．已知a，b都是负实数，则＋的最小值是( )
A． B．2(－1)
C．2－1 D．2(＋1)
B [＋＝
＝1－
＝1－≥1－＝2(－1)．]
8．已知定义域为R的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意x∈[0，＋∞)，均满足：xf′(x)>－2f(x)．若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(2x)0，而g(x)＝x2f(x)也为偶函数，所以g(2x)f(－m2＋2m－2)，则m的取值范围是________．
1－≤m< [由题设可得2－a＋3＝0，即a＝5，故f(－m2－1)>f(－m2＋2m
－2)可化为f(m2＋1)>f(m2－2m＋2)，又1≤m2＋1≤3,1≤m2－2m＋2≤3，故m2＋10恒成立，则实数x的取值范围是________．
(－∞，1)∪(3，＋∞) [设f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则f(a)>0对∀a∈[－1,1]成立等价于 ，即 ，解之得x<1或x>3，即实数x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．]
12．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________.
【导 号：07804182】
(2－，2＋) [由指数函数图象可得f(a)＞－1，所以g(b)＞－1，即－b2＋4b－3＞－1，解得2－＜b＜2＋.]
13．设x，y满足约束条件 ，若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为6，则＋的最小值为________．
[根据题意，画出可行域(图略)．将z＝ax＋by变形为：y＝－x＋(a>0，b>0)进行平移，当 ，即 时，z＝ax＋by(a>0，b>0)取最大值6，所以4a＋6b＝6(a>0，b>0)，所以＋＝(4a＋6b)＝≥＝＝(当且仅当 时取“＝”)，所以最小值为.]
14．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝4，{an}的前3项和为7.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(2n－3)2n＋3，设数列{bn}的前n项和为Sn，求证：＋＋…＋≤2－.
[解] (1)设数列{an}的公比为q，由已知得q>0，且∴
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)证明：当n＝1时，a1b1＝1，且a1＝1，解得b1＝1.
当n≥2时，anbn＝(2n－3)2n＋3－(2n－2－3)2n－1－3＝(2n－1)·2n－1.
∵an＝2n－1，∴当n≥2时，bn＝2n－1.
∵b1＝1＝2×1－1满足bn＝2n－1，
∴数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N*)．
∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴Sn＝n2.
∴当n＝1时，＝1＝2－.
当n≥2时，＝<＝－.
∴＋＋…＋≤2－＋－＋…＋－
＝2－.
15．已知数列{an}满足：a1＝，a2＝，2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足：b1<0,3bn－bn－1＝n(n≥2，n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn.
(1)求证：数列{bn－an}为等比数列；
(2)求证：数列{bn}为递增数列；
(3)若当且仅当n＝3时，Sn取得最小值，求b1的取值范围.
【导 号：07804183】
[解] (1)证明：∵2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)．
∴{an}是等差数列．
又∵a1＝，a2＝，
∴an＝＋(n－1)·＝，
∵bn＝bn－1＋(n≥2，n∈N*)
∴bn＋1－an＋1＝bn＋－＝bn－＝
＝(bn－an)．
又∵b1－a1＝b1－≠0，∴{bn－an}是b1－为首项，以为公比的等比数列．
(2)证明：∵bn－an＝·，an＝.
∴bn＝·＋.
当n≥2时，bn－bn－1＝－.
又b1<0，∴bn－bn－1>0.
∴{bn}是单调递增数列．
(3)∵当且仅当n＝3时，Sn取最小值．
∴，
即，∴b1∈(－47，－11)．
