高中数学 1-3-2 函数的极值与导数双基限时训练 新人教版选修2-2

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高中数学 1-3-2 函数的极值与导数双基限时训练 新人教版选修2-2

‎【名师一号】2014-2015学年高中数学 ‎1-3-2‎ 函数的极值与导数双基限时训练 新人教版选修2-2‎ ‎1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值有(  )‎ A.1个          B.2个 C.3个 D.4个 解析 设x0为f(x)的一个极小值点,则在x0左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,由y=f′(x)的图象知,只有一个适合.‎ 答案 A ‎2.已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad等于(  )‎ A.2 B.1‎ C.-1 D.-2‎ 解析 y′=3-3x2,令y′=0,得x=±1.可判断函数y=3x-x3在x=1处取得极大值,因此极大值点的坐标为(1,2),即b=1,c=2,又ad=bc,∴ad=2.‎ 答案 A ‎3.三次函数当x=1时,有极大值,当x=3时,有极小值,且函数的图象过原点,则该三次函数为(  )‎ A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x C.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x 解析 本题若直接求解,相当于解一个大题,本题按照小题小做的原则,可采用试验找答案,显然四个函数的图象都过原点,下面分别求导函数,验证x=1和x=3都是导函数的根,对于B,y′=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当x=1和x=3时,有y′=0.而其他不适合题意.‎ 答案 B ‎4.已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是(  )‎ A.(2,3) B.(3,+∞)‎ C.(2,+∞) D.(-∞,3)‎ 解析 y′=6x2+2ax+36.依题意知6×22+‎4a+36=0,∴a=-15,∴y′=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),易知当x>3时,y′>0,∴函数的一个增区间为(3,+∞).‎ 答案 B ‎5.函数f(x)=x3-2ax2+‎3a2x在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(0,+∞) B.(-∞,3)‎ C. D. 解析 f′(x)=x2-4ax+‎3a2=(x-a)(x-‎3a),易知a≠0,∴f′(0)=‎3a2>0,Δ=(-‎4a)2-‎12a2=‎4a2>0,依题意可得解得00,解得a<-1,或a>2.‎ 答案 a>2或a<-1‎ ‎7.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+m,在R上的极大值为20,则实数m=________.‎ 解析 f′(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),‎ 当-1<x<3时,f′(x)>0,‎ 当x>3时,f′(x)<0,‎ ‎∴当x=3时,f(x)有极大值,则 f(3)=-33+3×32+9×3+m=20,‎ ‎∴m=-7.‎ 答案 -7‎ ‎8.曲线y=x2+4lnx上切线斜率的极小值为________.‎ 解析 y′=x+(x>0),令g(x)=x+,则g′(x)=1-.令g′(x)=0,得x=2.当x∈(0,2)时,g′(x)<0;当x∈(2,+∞)时g′(x)>0,∴当x=2时,g(x)有极小值g(2)=2+=4.‎ 答案 4‎ ‎9.函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,给出下列命题:‎ ‎①-3是函数y=f(x)的极值点;‎ ‎②-1是函数y=f(x)的最小值点;‎ ‎③y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增;‎ ‎④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零.‎ 以上正确命题的序号是________.‎ 解析 由f′(x)的图象知,在-3的左右两侧f′(x)符号左负右正,是极值点,故①正确;②错;在(-3,1)上f′(x)≥0,故③正确;k=f′(0)>0,故④错.‎ 答案 ①③‎ ‎10.设x=-2,x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.‎ ‎(1)求常数a,b;‎ ‎(2)判断x=-2,x=4是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.‎ 解 (1)f′(x)=3x2+2ax+b,‎ 由极值点的必要条件可知,x=-2,x=4是方程 f′(x)=0的两根.‎ ‎∴a=-3,b=-24.‎ ‎(2)f′(x)=3x2-6x-24=3(x+2)(x-4)‎ 当x<-2时,f′(x)>0,‎ 当-24时,f′(x)>0,‎ ‎∴x=-2是f(x)的极大值点,x=4是f(x)的极小值点.‎ ‎11.设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)讨论f(x)的极值.‎ 解 由已知得,f′(x)=6x[x-(a-1)],‎ 令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a-1,‎ ‎(1)当a=1时,f′(x)=6x2,‎ f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.‎ 当a>1时,f′(x)=6x[x-(a-1)].‎ f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,0)‎ ‎0‎ ‎(0,a-1)‎ a-1‎ ‎(a-1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 从表上可知,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;在(0,a-1)上单调递减;在(a-1,+∞)上单调递增.‎ ‎(2)由(1)知,当a=1时,函数f(x)没有极值.‎ 当a>1时,函数在x=0处取得极大值1,在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3.‎ ‎12.设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=‎2a,f′(2)=-b,其中常数a,b∈R.‎ ‎(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(2)设g(x)=f′(x)e-x,求函数g(x)的极值.‎ 解 ∵f(x)=x3+ax2+bx+1,‎ ‎∴f′(x)=3x2+2ax+b.‎ 令x=1,得f′(1)=3+‎2a+b,‎ 又f′(1)=‎2a,∴3+‎2a+b=‎2a,‎ ‎∴b=-3.‎ 令x=2,得f′(2)=12+‎4a+b,‎ 又f′(2)=-b,∴12+‎4a+b=-b,‎ 解得a=-.‎ ‎∴f(x)=x3-x2-3x+1.‎ 从而f(1)=-.‎ 又∵f′(1)=2×(-)=-3.‎ 故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-)=-3(x-1),‎ 即6x+2y-1=0.‎ ‎(2)由(1)知,g(x)=(3x2-3x-3)e-x,‎ ‎∴g′(x)=(-3x2+9x)e-x=-3x(x-3)e-x.‎ 令g′(x)=0,得x1=0,x2=3.‎ 当x∈(-∞,0)时,g′(x)<0,故g(x)在(-∞,0)上为减函数;‎ 当x∈(0,3)时,g′(x)>0,故g(x)在(0,3)上为增函数;‎ 当x∈(3,+∞)时,g′(x)<0,故g(x)在(3,+∞)上为减函数.‎ 从而可知,函数g(x)在x=0处取得极小值g(0)=-3,‎ 在x=3处取得极大值g(3)=15e-3.‎
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