2018年北京市顺义区高考一模试卷数学文

2018年北京市顺义区高考一模试卷数学文

2018 年北京市顺义区高考一模试卷数学文 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项) 1.已知全集 U=R，集合 A={x|-3＜x＜3}，则 CUA=( ) A.(-3，3) B.[-3，3] C.(-∞，-3)∪(3，+∞) D.(-∞，-3]∪[3，+∞) 解析：U=R，A={x|-3＜x＜3}；∴CUA=(-∞，-3]∪[3，+∞). 答案：D 2.若复数 1 mi i   在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( ) A.(-∞，-1) B.(-1，1) C.(1，+∞) D.(-1，+∞) 解析：∵         1 11 1 1 1 2 2 m i im i m m i i i i       ＝ 在复平面内对应的点在第四象限， ∴ 1 0 2 1 0 2 m m      ＞ ， ＜ ， 解得 m＞1.∴实数 m 的取值范围是(1，+∞). 答案：C 3.执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为( ) A.13 8 B. 8 5 C. 5 3 D. 3 2 解析：模拟程序的运行，可得 k=1，s=2 不满足条件 k＞3，执行循环体，k=2，s= 不满足条件 k＞3，执行循环体，k=3，s= 不满足条件 k＞3，执行循环体，k=4，s= . 满足条件 k＞3，退出循环，输出 s 的值为 . 答案：B 4.已知点 P(x，y)的坐标满足条件 2 3 9 0 2 3 9 0 10 xy xy y          ， ， ， 且点 P 在直线 3x+y-m=0 上.则 m 的取值 范围是( ) A.[-9，9] B.[-8，9] C.[-8，10] D.[9，10] 解析：画出不等式组 2 3 9 0 2 3 9 0 10 xy xy y          ， ， ， 表示的平面区域，如图所示； 则目标函数 3x+y-m=0 转化为 m=3x+y， 目标函数过点 A 时，取得最小值，过点 B 时取得最大值； 由 2 3 9 0 1 xy y       ， ， 求得 A(-3，1)，由 2 3 9 0 1 xy y      ， ， 求得 B(3，1)， 则 m=3x+y 的最小值为 3×(-3)+1=-8，最大值为 3×3+1=10；∴m 的取值范围是[-8，10]. 答案：C 5.设直线 l 过原点，倾斜角为α ，圆 C 的方程为 x2+(y-2)2=1.则“α = 3  ”是“直线 L 与圆 C 相切”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：∵直线 l 过原点，倾斜角为α ，α = 3  ，∴直线 l 的方程为 y= 3 x， 圆 x2+(y-2)2=1 的圆心 C(0，2)，半径 r=1， 圆心 C(0，2)到直线 y= 3 x 的距离 d= 2 4 =1，直线 l 与圆相切， ∴ “ ” 3  “直线 l 与圆 C 相切”； 直线 l 过原点，倾斜角为α 的直线方程为 y=tanα x， ∵直线 l 与圆 C 相切，∴ 2 2 1 1 tan    ，解得 tanα = 3 或 tanα =- ， ∴α = 3  或α = 2 3  . ∴“直线 l 与圆 C 相切” “ 3   或α = 2 3  ”. ∴“α = 3  ”是“直线 l 与圆 C 相切”的充分而不必要条件. 答案：A 6.已知 x，y∈R，且 0＜x＜y＜1，则( ) A.x-1＜y-1＜1 B.1＜lgx＜lgy C. 11 22 xy            ＜ ＜2 D.0＜sinx＜siny 解析：∵x，y∈R，且 0＜x＜y＜1， ∴ 11 xy ＞ ＞1，lgx＜lgy＜0， 1 1 1 2 2 2 xy            ＞ ＞ ，0＜sinx＜siny. 答案：D 7.已知 ab， 是单位向量， 3 2 ab ，则 a tb (t∈R)的最小值为( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 3 2 D.1 解析： 是单位向量， ；∴ 2 22222 1 3a tb a t a b t b t t        ； ∵t2+ 3 t+1 的最小值为 4 3 1 44   ；∴ 的最小值为 . 答案：B 8.某食品保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718… 为自然对数的底数，k，b 为常数).若该食品在 0℃的保鲜时间是 192 小时，在 22℃的保鲜 时间是 48 小时，则该食品在 33℃的保鲜时间是( ) A.16 小时 B.20 小时 C.24 小时 D.28 小时 解析：y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b 为常数). 当 x=0 时，eb=192， 当 x=22 时 e22k+b=48，∴e22k= 48 1 192 4  ，e11k= 1 2 ，eb=192 当 x=33 时，e33k+b=(ek)33·(eb)=( 1 2 )3×192=24. 答案：C 二、填空题(本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分) 9.已知双曲线 2x m -y2=1 的一个焦点为(-2 2 ，0)，则该双曲线的方程为 . 解析：双曲线 -y2=1 的一个焦点为(-2 ，0)，即 c=2 ， 则有 c2=m+1=8，解可得：m=1，则双曲线的标准方程为： 2 7 x -y2=1. 答案： -y2=1 10.在△ABC 中，AC=1，BC=3，A+B=60°，则 AB= . 解析：∵AC=1，BC=3，A+B=60°，∴由正弦定理可得： 31 sin sin 60()AA   ， 整理可得： 3 3 3sin cos sin 22 A A A，可得：sinA= 33 5 cosA， ∵sin2A+cos2A=1，可解得：cosA= 5 13 26 ， ∴由余弦定理可得：32=AB2+12-2×1×AB× ，整理可得：AB2- 5 13 13 AB-8=0， ∴解得：AB= 2 13 ，或 16 13 13  (舍去). 答案： 11.某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直 方图，其中自习时间的范围是[12.5，25]，样本数据分组为[12.5，15)，[15，17.5)，[17.5， 20)，[20，22.5)，[22.5，25].根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 20 小 时的人数是 . 解析：根据直方图，得这 200 名学生中每周的自习时间不少于 20 小时的频率为(0.08+0.04) ×2.5=0.3. ∴这 200 名学生中每周的自习时间不少于 20 小时的人数是 200×0.3=60(人). 答案：60 12.已知 x+y=3，则 2x+2y 的最小值是 . 解析：已知 x+y=3，则： 32 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2x y x y x y       . 答案：4 2 13.已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱 锥的体积为 m3. 解析：由主视图可知棱锥高为 6，由俯视图和侧视图可知底面平行四边形的长为 4，高为 2， ∴四棱锥的体积 V= 1 3 ×4×2×6=16. 答案：16 14.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后刘老师和四名学生 了解考试情况.四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好.” 乙说：“我们四人中有人考得好.” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好.” 丁说：“我没考好.” 结果四名学生中有两人说对了，则这四名学生中说对了的是 两人. 解析：甲与乙的关系是对立事件，二人说的话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是 对的，所以丁错误，可得丙正确，此时，乙正确. 答案：乙、丙 三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.已知函数 f(x)=sin(2x+ 6  )-2cos2x. (I)求 f( )的值； (II)求 f(x)在区间[ 36  ， ]上的最大值. 解析：(I)将 x= 带入计算即可. (II)利用和与差公式以及辅助角公式化简，求解内层范围，可得答案. 答 案 ： (I) 由 题 意 ， 2 2( ) ( ) 3 3 1sin 2 2 cos sin 2 1 6 6 6 6 2 2 2 2 f                    ； (II)由函数   sin 2 2 cos 2 sin 2 cos cos 2 sin cos 2) 1 6 6 6 (f x x x x x x         31sin 2 cos 2 1 sin 2 1 2 2 6 ()x x x       ， ∵x∈[ 36  ， ]上，∴2x- 66 []5 6    ， ， 故当 2x- 66  时，函数 f(x)取得最大值为 111 22    . 16.已知{an}是等差数列，{bn}是单调递增的等比数列，且 a2=b2=3，b1+b3=10，b1b3=a5. (I)求{an}的通项公式； (II)设 ( ), ( ), 5 5 n n n an c bn     ＞ ，求数列{cn}的前 n 项和. 解析：(Ⅰ)由 2 13 3 10 b bb    ， ， 解得 1 1 3 b q    ， ， 由 2 1 3 5 3a b b a    ， ， 解得 1 1 2 a d    ， ， 由此能求出 an. (Ⅱ)设数列{cn}的前 n 项和为 Sn，求出 an=2n-1，bn=b1qn-1=3n-1，由此能求出数列{cn}的前 n 项和. 答案：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q， ∵{an}是等差数列，{bn}是单调递增的等比数列，且 a2=b2=3，b1+b3=10，b1b3=a5. ∴由 2 13 3 10 b bb    ， ， 得 1 2 11 3 10 bq b b q    ， ， 解得 1 1 3 b q    ， ， 由 2 1 3 5 3a b b a    ， ， 得 1 1 3 49 ad ad    ， ， 解得 1 1 2 a d    ， ， ∴an=2n-1. (Ⅱ)设数列{cn}的前 n 项和为 Sn， 由(Ⅰ)可知 an=2n-1，bn=b1qn-1=3n-1， 当 n≤5 时，Sn=a1+a2+…+an=  1 2 nn a a =n2， 当 n＞5 时， Sn=a1+a2+a3+a4+a5+b6++b7+…+bn=    5 615 15 3 243 3 19325 2 1 2 2 n nnbqaa q       . 综上，数列{cn}的前 n 项和 Sn= 2 5 3 193 5 2 nn n n       ， ， ， ＞ ． 17.为了解市民对 A，B 两个品牌共享单车使用情况的满意程度，分别从使用 A，B 两个品牌 单车的市民中随机抽取了 100 人，对这两个品牌的单车进行评分，满分 60 分.根据调查，得 到 A 品牌单车评分的频率分布直方图，和 B 品牌单车评分的频数分布表： 根据用户的评分，定义用户对共享单车评价的“满意度指数”如下： (Ⅰ)求对 A 品牌单车评价“满意度指数”为 0 的人数； (Ⅱ)从该市同时使用 A，B 两个品牌单车的用户中随机抽取 1 人进行调查，试估计其对 A 品 牌单车评价的“满意度指数”比对 B 品牌单车评价的“满意度指数”高的概率； (Ⅲ)如果从 A，B 两个品牌单车中选择一个出行，你会选择哪一个？说明理由. 解析：(Ⅰ)由对 A 品牌单车评分的频率分布直方图，求出对 A 品牌评价“满意度指数”为 0 的频率，由此能求出对 A 品牌评价“满意度指数”为 0 的人数. (Ⅱ)设“对 A 品牌单车评价的‘满意度指数’比对 B 品牌单车评价的‘满意度指数’高”为 事件 C，设“对 A 品牌单车评价的‘满意度指数’为 1”为事件 A1，“对 A 品牌单车评价的‘满 意度指数’为 2”为事件 A2，“对 B 品牌单车评价的‘满意度指数’为 0”为事件 B0，“对 B 品牌单车评价的‘满意度指数’为 1”为事件 B1，用频率估计概率，根据相互独立事件概率 乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出该用户对 A 品牌单车评价的“满意度指数”比对 B 品牌单车评价的“满意度指数”高的概率. (Ⅲ)如果从用户对 A、B 两个品牌评价的“满意度指数”的期望角度看，分别求出 A、B 品牌 “满意度指数”的分布列和期望，由 E(X)＜E(Y)，得选择 B 品牌的单车出行. 答案：(Ⅰ)由对 A 品牌单车评分的频率分布直方图，得： 对 A 品牌评价“满意度指数”为 0 的频率为(0.003+0.005+0.012)×10=0.2， ∴对 A 品牌评价“满意度指数”为 0 的人数为 100×0.2=20 人. (Ⅱ)设“对 A 品牌单车评价的‘满意度指数’比对 B 品牌单车评价的‘满意度指数’高”为 事件 C， 设“对 A 品牌单车评价的‘满意度指数’为 1”为事件 A1， “对 A 品牌单车评价的‘满意度指数’为 2”为事件 A2， “对 B 品牌单车评价的‘满意度指数’为 0”为事件 B0， “对 B 品牌单车评价的‘满意度指数’为 1”为事件 B1， 用频率估计概率得： P(A1)=0.4，P(A2)=0.4，P(B0)=1 3 6 100  =0.1，P(B1)=14 40 100  =0.55， ∵事件 Ai 与 Bj 相互独立，其中 i，2，j=0，1， ∴P(C)=P(A1B0+A2B0+A2B1)=0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55=0.3. ∴该用户对 A 品牌单车评价的“满意度指数”比对 B 品牌单车评价的“满意度指数”高的概 率为 0.3. (Ⅲ)如果从用户对 A、B 两个品牌评价的“满意度指数”的期望角度看， A 品牌“满意度指数”X 的分布列为： B 品牌“满意度指数”Y 的分布列为： ∵E(X)=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2， E(Y)=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25， E(X)＜E(Y)，∴会选择 B 品牌的单车出行. 18.如图，在三棱锥 S-ABC 中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，又 SA=AB=1，SB=BC. (Ⅰ)求证：平面 SBC⊥平面 SAB； (Ⅱ)如果 DE 垂直平分 SC，且分别交 AC、SC 于 D、E.求证：SC⊥平面 BDE； (Ⅲ)在第(Ⅱ)问的条件下，求三棱锥 E-BCD 的体积. 解析：(Ⅰ)由 SA⊥底面 ABC，得 SA⊥BC，结合 AB⊥BC，可得 BC⊥平面 SAB，进一步得到平 面 SBC⊥平面 SAB； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，三角形 SBC 为等腰直角三角形，结合已知可得 SC=2，再由 E 为 SC 的中点， 可得 BE⊥SC.又 DE⊥SC，由线面垂直的判定可得 SC⊥平面 BDE； (Ⅲ)由(Ⅱ)知，SC⊥平面 BDE，则 SC⊥BD，又 SA⊥底面 ABC，得 SA⊥BD，可得 BD⊥平面 SAC， 即 BD⊥AC，然后利用等积法求三棱锥 E-BCD 的体积. 答案：(Ⅰ)∵SA⊥底面 ABC，BC  平面 ABC，∴SA⊥BC， 又 AB⊥BC，SA∩AB=A， ∴BC⊥平面 SAB，则平面 SBC⊥平面 SAB； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，三角形 SBC 为等腰直角三角形， 又 SB=BC= 2 ，∴SC=2， 又 E 为 SC 的中点，∴BE⊥SC. 又 DE⊥SC，DE∩BE=E，∴SC⊥平面 BDE； (Ⅲ)由(Ⅱ)知，SC⊥平面 BDE，又 BD 平面 SAC，∴SC⊥BD， 又 SA⊥底面 ABC，BD 平面 ABC，∴SA⊥BD， 又 SA∩SC=S，∴BD⊥平面 SAC， ∴BD⊥AC，∴ 6 2 3 3 3 3 3 BD CD DE  ， ， . VE-BCD=VB-CDE= 1 1 6 1 3 2· 1 3 3 3 2 3 18CDES BD       . ∴三棱锥 E-BCD 的体积为 2 18 . 19.已知函数 f(x)=x(lnx-1)+lnx+1. (Ⅰ)求曲线 y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)若不等式 x2+x(m-f'(x))+1≥0 恒成立，求实数 m 的取值范围. 解析：(Ⅰ)求出函数的导数，计算 f′(1)，f(1)的值，求出切线方程即可； (Ⅱ)求出函数的导数，问题等价于 m≥lnx-x，令 g(x)=lnx-x，根据函数的单调性求出 m 的 范围即可. 答案：(Ⅰ)∵f′(x)=lnx+ 1 x ，故 f′(1)=1，又 f(1)=0， 故切线方程是 y=x-1，即 x-y-1=0； (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f′(x)=lnx+ 1 x ， 故不等式 x2+x(m-f′(x))+1≥0 可化为：x2+mx-xlnx≥0，而 x＞0， 故上式等价于 m≥lnx-x， 令 g(x)=lnx-x，则 g′(x)=1 x x  ， 当 g′(x)=0 时，x=1， 则 x，g′(x)，g(x)的变化如下： 故 x=1 是 g(x)的最大值点，即 g(x)≤g(1)=-1，故 m≥-1， 综上，实数 m 的范围是[-1，+∞). 20.已知椭圆 E： 22 22 xy ab  =1(a＞b＞0)，两点 P1(0， 3 )，P2(1，- 3 2 )在椭圆上. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程及焦点坐标； (Ⅱ)设直线 l 不经过点 P1(0， )且与椭圆 E 相交于 M，N 两点，直线 P1M 与直线 P1N 的斜 率分别为 k1，k2，若 k1+k2=- .求证：直线 l 恒过某定点. 解析：(Ⅰ)将两点代入即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程及焦点坐标； (Ⅱ)分类讨论，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及 直线的斜率公式，即可求得 m=-2k- 3 ，即可证明直线 l 恒过定点. 答案：(Ⅰ)由题意可知：b= 3 ，由 P2(1，- 3 2 )在椭圆上，代入，解得 a=2，c2=a2-c2=3， ∴椭圆 E 的方程： 22 43 xy =1，则焦点坐标 F1(-1，0)，F2(1，0)； (Ⅱ)①当直线 l 斜率不存在时，设 l 的方程：x=t(t≠0)，M(t，yM)，N(t，-yM)， 则 12 333MMyykk tt        ，解得 t=2， 此时直线过椭圆 E 的右顶点，不存两个交点，所以这种情况不成立， ②当直线 l 斜率存在时，设 l：y=kx+m，(m≠ )，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由题意可知：k≠0，m≠- ， 联立 223 4 12 y kx m xy    ， ， 整理得：(3+4k2)x+8kmx+4m2-12=0， 2 1 2 1 222 8 4 12 3 4 3 4 km mx x x x kk      ， ，(m≠± )，x1≠0，x2≠0， 则    2 1 2 1 2 112 12 1 2 1 2 3333x kx m x x kx m xyykk x x x x               2 1 2 1 2 2 12 2 8 23 233423 4 12 3 34 km kx x m x x kkkm mxx m k             ， ∴ 23 3 3 k m   ，整理得 m=-2k- 3 ，此时△=-192 k，存在 k 使得△＞0， ∴直线 l 的方程为：  2 3 2 3y kx k k x      ，当 x=2，y=- 3 ， ∴直线 l 恒过定点(2，- ).