2018届二轮复习导数的概念及运算学案（全国通用）

2018届二轮复习导数的概念及运算学案（全国通用）

考试内容 等级要求 导数的概念 A 导数的几何意义 B 导数的运算 B 利用导数研究函数的单调性与极值 B 导数在实际问题中的应用 B ‎ 3.1　导数的概念及运算 考情考向分析　导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为填空题或解答题的第(1)问，低档难度．‎ ‎1．导数的概念 ‎(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.‎ ‎(2)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．‎ ‎2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．‎ ‎3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝C(C为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xα(α为常数)‎ f′(x)＝αxα－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1)‎ f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，a≠1)‎ f′(x)＝ ‎4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0)．‎ 知识拓展 ‎1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．‎ ‎2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．‎ ‎3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　)‎ ‎(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　×　)‎ ‎(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　)‎ ‎(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P26习题T2]若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝ .‎ 答案　2e 解析　∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.‎ ‎3．[P24练习T3]曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为 ．‎ 答案　2x－y＋1＝0‎ 解析　∵y′＝，∴y′|x＝－1＝2.‎ 故所求切线方程为2x－y＋1＝0.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝ .‎ 答案　－1‎ 解析　函数y＝kx＋ln x的导函数为y′＝k＋，由导数y′|x＝1＝k＋1＝0，得k＝－1.‎ ‎5．有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为 ．‎ 答案　 ‎6．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝ .‎ 答案　－ 解析　因为f(x)＝f′sin x＋cos x，‎ 所以f′(x)＝f′cos x－sin x，‎ 所以f′＝f′cos－sin，‎ 即f′＝－1，所以f(x)＝－sin x＋cos x，‎ f′(x)＝－cos x－sin x.‎ 故f′＝－cos－sin＝－.‎ ‎7．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝ .‎ 答案　1‎ 解析　∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，‎ 又f(1)＝a＋2，‎ ‎∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，‎ 又点(2,7)在切线上，可得a＝1.‎ 题型一　导数的计算 ‎1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0＝ .‎ 答案　1‎ 解析　由题意得，f′(x)＝2 018＋ln x＋x×＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.‎ ‎2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝ .‎ 答案　－2‎ 解析　f′(x)＝4ax3＋2bx，‎ ‎∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，‎ ‎∴f′(－1)＝－2.‎ ‎3．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝ .‎ 答案　－4‎ 解析　∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，‎ ‎∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.‎ ‎∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.‎ 思维升华 导数计算的技巧 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．‎ 题型二　导数的几何意义 命题点1　求切线方程 典例 (1)曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为 ．‎ 答案　2x＋y＋1＝0‎ 解析　根据题意可知切点坐标为(0，－1)，‎ f′(x)＝＝，‎ 故切线的斜率k＝f′(0)＝＝－2，‎ 则直线的方程为y－(－1)＝－2(x－0)，‎ 即2x＋y＋1＝0.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ．‎ 答案　x－y－1＝0‎ 解析　∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，‎ ‎∴设切点为(x0，y0)．‎ 又∵f′(x)＝1＋ln x，‎ ‎∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.‎ ‎∴由 解得x0＝1，y0＝0.‎ ‎∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.‎ 引申探究　‎ 本例(2)中，若曲线y＝xln x上点P的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是 ．‎ 答案　(e，e)‎ 解析　y′＝1＋ln x，令y′＝2，即1＋ln x＝2，‎ ‎∴x＝e，∴点P的坐标为(e，e)．‎ 命题点2　求参数的值 典例 (1)(2017·南通三模)若直线y＝2x＋b为曲线y＝ex＋x的一条切线，则实数b的值是 ．‎ 答案　1‎ 解析　设切点的横坐标为x0，由曲线y＝ex＋x，得y′＝ex＋1，所以依题意切线的斜率为k＝＋1＝2，得x0＝0，所以切点为(0,1)．又因为切线y＝2x＋b过切点(0,1)，故有1＝2×0＋b，解得b＝1.‎ ‎(2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝ .‎ 答案　－2‎ 解析　∵f′(x)＝，‎ ‎∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.‎ 又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.‎ g′(x)＝x＋m，‎ 设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，‎ 则有∴m＝－2.‎ 命题点3　导数与函数图象 典例 (1) 已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是 ．‎ 答案　x－y－2＝0‎ 解析　由题图可知，f′(2)＝1，∴切线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.‎ ‎(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ .‎ 答案　0‎ 解析　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.‎ ‎∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，‎ ‎∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，‎ 又由题图可知f(3)＝1，‎ ‎∴g′(3)＝1＋3×＝0.‎ 思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：‎ ‎(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．‎ ‎(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．‎ ‎(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．‎ 跟踪训练 (1)已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1，0)的切线方程是 ．‎ 答案　y＝0或4x＋y＋4＝0‎ 解析　设切点坐标为(x0，x)，‎ ‎∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，‎ ‎∴x＝2x0(x0＋1)，‎ 解得x0＝0或x0＝－2，‎ ‎∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，‎ 即y＝0或4x＋y＋4＝0.‎ ‎(2)设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝ .‎ 答案　－1‎ 解析　∵y′＝，∴‎ 由条件知＝－1，∴a＝－1.‎ 求曲线的切线方程 典例 若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．‎ 错解展示：‎ 现场纠错 解　易知点O(0,0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上．‎ ‎(1)当O(0,0)是切点时，‎ 由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，‎ 即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.‎ 由得x2－2x＋a＝0，‎ 依题意Δ＝4－4a＝0，得a＝1.‎ ‎(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则y0＝x－3x＋2x0，k＝y′|＝3x－6x0＋2， ①‎ 又k＝＝x－3x0＋2， ②‎ 联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，‎ 故直线l的方程为y＝－x.‎ 由得x2＋x＋a＝0，‎ 依题意知Δ＝－4a＝0，得a＝.‎ 综上，a＝1或a＝.‎ 纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况．‎ ‎1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为 ．‎ 答案　3(x2－a2)‎ 解析　f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a)‎ ‎＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)．‎ ‎2．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为 ．‎ 答案　(2，＋∞)‎ 解析　由题意可知x>0，且f′(x)＝2x－2－.‎ 令f′(x)>0，则2x－2－>0，∴2x2－2x－4>0，‎ 解得x<－1或x>2.又x>0，∴x>2，‎ 即f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．‎ ‎3．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为 ．‎ 答案　(1,3)或(－1,3)‎ 解析　f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上．‎ ‎4．若直线y＝x是曲线y＝x3－3x2＋px的切线，则实数p的值为 ．‎ 答案　1或 解析　∵y′＝3x2－6x＋p，设切点为P(x0，y0)，‎ ‎∴ 解得或 ‎5．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为 ．‎ 答案　 解析　y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，‎ 设切点为(x0，ln x0)，则y′|＝，‎ 切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，‎ 因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，‎ 解得x0＝e，故此切线的斜率为.‎ ‎6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是 ．‎ 答案　2秒末和4秒末 解析　s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义知v＝s′(t)，‎ 令s′(t)＝0，得t＝2或4，‎ 即2秒末和4秒末的速度为零．‎ ‎7．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为 ．‎ 答案　3‎ 解析　f′(x)＝a＝a(1＋ln x)，‎ 由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.‎ ‎8．已知曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，则a＝ .‎ 答案　1－e 解析　因为f′(x)＝ln x＋1，‎ 所以曲线f(x)＝xln x在x＝e处的切线斜率为k＝2，‎ 则曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线方程为y＝2x－e.‎ 由于切线与曲线y＝x2＋a相切，‎ 故y＝x2＋a可联立y＝2x－e，‎ 得x2－2x＋a＋e＝0，‎ 所以由Δ＝4－4(a＋e)＝0，解得a＝1－e.‎ ‎9．(2017·江苏南京一中模拟)已知曲线y＝x2＋aln x(a＞0)上任意一点处的切线的斜率为k，若k的最小值为4，则此时切点的坐标为 ．‎ 答案　(1,1)‎ 解析　函数y＝x2＋aln x(a＞0)的定义域为{x|x＞0}，y′＝2x＋≥2＝4，则a＝2，当且仅当x＝1时，“＝”成立，将x＝1代入曲线方程，得y＝1，故所求的切点坐标是(1,1)．‎ ‎10. 已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．‎ ‎(1)若f(1)＝1，则f(－1)＝ ；‎ ‎(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为 ．(用“<”连接)‎ 答案　(1)1　(2)h(0)

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