河北省2020届高三上学期一轮复习收官考试数学（理）试题

河北省2020届高三上学期一轮复习收官考试数学（理）试题

河北省“五个一”名校联盟高三一轮复习收官考试 数学(理)试卷 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题 1.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先化简集合 A,B,再求 得解. 【详解】由题得 ， . 所以 . 故选 B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的 求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2.已知复数 z 满足 ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将 化为 后,两边取模即可求得答案. 【详解】因为 , 所以 , 所以 . { }1| 2 1xA x −= ≥ { }3| log ,B y y x x A= = ∈ B A= ( )0,1 [ )0,1 ( ]0,1 [ ]0,1 B A { }1 0| 2 2 { | 1}xA x x x−= ≥ = ≥ { }| 0B y y= ≥ { | 0 1}B A x x= ≤ < 1 2 1i iz − = + z = 5 2 3 2 2 10 2 3 1 2 1i iz − = + 1 2 1 iz i −= + 1 2 1i iz − = + 1 2 1 iz i −= + 1 2 |1 2 | 1 4 5 10| | | |1 |1 | 21 1 2 i iz i i − − += = = = =+ + + 故选:C 【点睛】本题考查了复数的模的运算,化为 后,两边取模,根据模的运算性质求解,不 需要进行复数的除法运算,这样可以减少运算,本题属于基础题. 3.已知函数 ，若 ，则（ ） A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. b＜a＜c D. a＜c＜b 【答案】A 【解析】 【分析】 由于 为增函数,故只需判断 中自变量的大小关系即可. 【详解】由题, 为增函数,且 , ,故 , 所以 ,故 . 故选 A. 【点睛】本题主要考查指数函数的单调性,当 为增函数时,自变量越大则函数值越大. 4.我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比 如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚 硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬 币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则 一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据提示三分法，考虑将硬币分为 组，然后将有问题的一组再分为 组，再将其中有问题 的一组分为 ，此时每组仅为 枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】第一步将 27 枚硬币分为三组，每组 9 枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若 天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的 9 枚金币再分成三组，每组 3 枚，任取 2 组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假 币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每 1 2 1 iz i −= + ( ) 2xf x = ( ) ( ) ( )0.2 22 , , lo 52 ga f b f c f= = = ( ) 2xf x = ( )f x ( ) 2xf x = 0.2 12 2 2< = 2 22 log 4 log 5= < 0.2 22 2 log 5< < ( ) ( ) ( )0.2 22 2 lo 5gf f f< < a b c< < ( )f x 3 3 3 1 组 1 枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平 衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用 3 次天平. 故选 B. 【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提 示信息，由此入手会方便很多. 5.如图，直线 l 的解析式为 y=-x+4，它与 x 轴和 y 轴分别相交于 A，B 两点．平行于直线 l 的 直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动．它与 x 轴和 y 轴 分别相交于 C，D 两点，运动时间为 t 秒(0≤t≤4)，以 CD 为斜边作等腰直角三角形 CDE(E， O 两点分别在 CD 两侧)．若△CDE 和△OAB 的重合部分的面积为 S，则 S 与 t 之间的函数关 系的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 分别计算出 和 时, S 与 t 之间的函数关系,再结合四个选项即可判断出答 案. 0 2t≤ ≤ 2 4t< ≤ 【详解】当 时, , 当 时, , 分析四个选项可知,选 C. 故选:C 【点睛】本题考查了求分段函数的解析式,考查了函数的图象的识别,属于基础题. 6.如图所给的程序运行结果为 ，那么判断框中应填入的关于 的条件是( ) A. ？ B. ？ C. ？ D. ？ 【答案】B 【解析】 【分析】 程序运行结果为 ,执行程序,当 时,判断条件成立,当 时,判断条件不成立, 输出 ,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始 , 判断条件成立,得到 , ; 判断条件成立,得到 , ; 判断条件成立,得到 , ; 判断条件成立,得到 , ; 判断条件成立,得到 , ; 判断条件不成立,输出 ,退出循环,即 符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本 题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题. 0 2t≤ ≤ 21 2S t= 2 4t< ≤ 2 2 21 1 3(2 4) 8 82 2 2S t t t t= − − = − + − 41S = k 7k ≥ 6k ≥ 5k ≥ 6k > 41S = 6k = 5k = 41S = 10, 1k S= = 1 10 11S = + = 10 1 9k = − = 11 9 20S = + = 9 1 8k = − = 20 8 28S = + = 8 1 7k = − = 28 7 35S = + = 7 1 6k = − = 35 6 41S = + = 6 1 5k = − = 41S = 6k ≥ 7.下列判断正确的是（ ） A. “ ”是“ ”的充分不必要条件 B. 函数 的最小值为 2 C. 当 时，命题“若 ，则 ”为真命题 D. 命题“ ， ” 否定是“ ， ” 【答案】C 【解析】 【分析】 求解对数不等式之后即可考查选项 A 是否正确，利用换元法可确定选项 B 中函数的最小值， 利用原命题与逆否命题的关系可判断 C 选项是否正确，否定全称命题即可确定选项 D 是否 正确. 【详解】逐一考查所给命题的真假： 对于选项 A：由 可得 ，即 ， 故“ ”是“ ”的必要不充分条件，则题中的命题为假命题； 对于选项 B：令 ， 由对勾函数的性质可知函数 单调递增，其最小值为 ，则题中 的命题为假命题； 对于选项 C：考查其逆否命题：“若 ，则 ”， 很明显该命题为真命题，则题中的命题为真命题； 对于选项 D：命题“ ， ”的否定是“ ， ”， 则题中的命题为假命题； 故选 C. 【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判 断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假. 的 2x < − ln( 3) 0x + < 2 2 1( ) 9 9 f x x x = + + + , Rα β ∈ sin sinα β≠ α β≠ 0x∀ > 2019 2019 0x + > 0 0x∃ ≤ 02019 2019 0x + ≤ ln( 3) 0x + < 0 3 1x< + < 3 2x− < < − 2x < − ln( 3) 0x + < ( )2 9 3t x t= + ≥ ( ) ( )1 3f t t tt = + ≥ ( ) 103 3f = α β= sin sinα β= 0x∀ > 2019 2019 0x + > 0 0x∃ > 02019 2019 0x + ≤ 8.若两个非零向量 ， 满足 ，则向量 与 的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先将条件平方，进而得 ，利用夹角公式求解即可. 【详解】将 平方得： ， 解得： . . 所以向量 与 的夹角是 . 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，利用向量的数量积求向量的夹角，本题的解题 关键是将条件平方得向量的长度关系及数量积的值，属于基础题. 9.如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简 介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣 角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁 四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动 作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬” 且乙不模仿“扶”的概率是（ ） a b 2a b a b a+ = − =    a b+  a b−  6 π 2 π 2 3 π 5 6 π 2 2 0 3 a b b a  ⋅ = =    2a b a b a+ = − =    2 2 2 2 22 2 4a a b b a a b b a+ ⋅ + = − ⋅ + =      2 2 0 3 a b b a  ⋅ = =    2 2 2 ( ) ( ) 1cos , 4 2| || | a b a b a ba b a b aa b a b + ⋅ − −< + − >= = = − + −            a b+  a b−  2 3 π A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 依题意，基本事件的总数为 24，设事件 A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事 件 A 包含 1 2 14 个基本事件，故 P（A）可求． 【详解】依题意，基本事件的总数为 24，设事件 A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿 “扶”， ①若甲模仿“扶”，则A 包含 1 6 个基本事件； ②若甲模仿“捡”或“顶”则 A 包含 2 8 个基本事件， 综上 A 包含 6+8＝14 个基本事件， 所以 P（A） ， 故选 B． 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，分类讨论的思想，属于基础题． 10.设 是双曲线 C： 的右焦点，O 为坐标原点，过 的直线交双曲 线的右支于点 P，N，直线 PO 交双曲线 C 于另一点 M，若 ，且 ， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设 双 曲 线 的 左 焦 点 为 F1 ， 则 MF2PF1 为 平 行 四 边 形 ， 根 据 双 曲 线 定 义 可 得 ，在△MF1F2 中利用余弦定理得出 a，c 的关系即可求出离心率． 【详解】设双曲线的左焦点为 F1，由双曲线的对称性可知四边形 MF2PF1 为平行四边形． 3 4 7 12 1 2 5 12 4 4A = 3 3A× + 2 22 A× × = 4 4A = 3 3A× = 2 22 A× × = 14 7 24 12 = = 2F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2F 2 23MF PF= 2 60MF N∠ = ° 5 2 7 2 1 2, 3MF a MF a= = ∴ ． 设 ，则 ， ∴ ，即 ． ∵ ， 又 ， 在△MF1F2 中，由余弦定理可得： ， 即 ， ∴双曲线的离心率 e ． 故选 D． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于 中档题． 11.设函数 ， 有且仅有一个零点，则实数 a 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由题意得到方程 在 上仅有一个实根；令 ，得到函数 1 2 1, / /MF PF MF PN= 2PF m= 2| | 3MF m= 2 12 2a MF MF m= − = 1 2, 3MF a MF a= = 2 1 260 , 60MF N F MF° °∠ = ∴∠ = 1 2 2F F c= 2 2 24 9 2 3 cos60c a a a a °= + − ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 74 7 , 4 cc a a = ∴ = 7 2 c a = = ( ) 2 sinxf x e a x= − ( )0,x π∈ 42e π 42 2 e π 22 2 e π 22e π 2sin = xe ax ( )0,x π∈ ( ) sin = xeg x x 与 直 线 在 上 仅 有 一 个 交 点 ； 用 导 数 的 方 法 判 断 单调性，求出最值，结合图像，即可得出结果. 【详解】因 函数 ， 有且仅有一个零点； 所以方程 在 上仅有一个实根； 即方程 在 上仅有一个实根；令 ， 则函数 与直线 在 上仅有一个交点； 因为 ， 由 得 ，因为 ，所以 ； 由 得 ，因为 ，所以 ； 所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增； 因此 作出函数 的大致图像如下： 为 ( ) sin = xeg x x 2y a= ( )0,x π∈ ( ) sin = xeg x x ( ) 2 sinxf x e a x= − ( )0,x π∈ 2 sin 0− =xe a x ( )0,x π∈ 2sin = xe ax ( )0,x π∈ ( ) sin = xeg x x ( ) sin = xeg x x 2y a= ( )0,x π∈ ( )2 2 sin cos( ) sin cossin sin −′ = = − x x xe e x eg x xx x ( ) 0g x′ > sin cos 0− >x ( )0,x π∈ 4 π π< > 1 2 1tan 2PF F∠ = 2 1tan 2PF F∠ = − 15 2 P x 1 2 1tan 2PF F∠ = 2 1tan 2PF F∠ = − 1PF 2PF P 3 2c = P 2 2 2b a c= − 2a a c> P x 因为 ,所以 ,直线 的方程为: , 因为 ,所以 ,直线 的方程为: , 联立 ,解得 ,即 , 又△PF1F2 的面积为 1,所以 ,所以 , 所以 , 将 代入到 , 得 ,又 , 所以 ,整理得 , 所以 , 解得 或 , 因为 ,所以 舍去, 1 2 1tan 2PF F∠ = 1 1 2PFk = − 1PF 1 ( )2y x c= − + 2 1tan 2PF F∠ = − 2 2PFk = − 2PF 2( )y x c= − − 1 ( )2 2( ) y x c y x c  = − +  = − − 5 3 4 3 x c y c  =  = − 5 4( , )3 3P c c− 1 42 12 3c c× × = 3 2c = 5 3 2 3( , )6 3P − 5 3 2 3( , )6 3P − ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 2 2 5 3 2 3( ) ( )6 3 1a b − + = 2 2 2 2 3 4b a c a= − = − 2 2 25 4 1312 3( )4 a a + = − 4 2 7512 50 04a a− + = 2 25(3 )(4 15) 04a a− − = 2 5 12a = 2 15 4a = 2 2 3 4a c> = 2 5 12a = 所以 ,所及 . 故答案为: . 【点睛】本题考查了直线方程的点斜式,考查了三角形的面积公式,考查了椭圆的标准方程,考 查了运算求解能力,利用直线 ,直线 的方程解得点 的坐标,代入椭圆方程是解题关 键,属于中档题. 三、解答题 17.已知 的内角 的对边分别为 ，若 . （1）求角 C； （2）BM 平分角 B 交 AC 于点 M，且 ，求 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用降次公式化简 ，再用正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正 弦公式进行化简，由此求得 的值，进而求得 的大小. （2）设 ，求得 ，然后利用 以及二倍角公式列 方程，解方程求得 的值. 【详解】（1）由题 又 （2）记 ，则 ，在 中， ， 在 中， ，即 即 或 （舍） . 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查二倍角公式和降次公式，考查化归与 转化的数学思想方法，属于中档题. 2 15 4a = 15 2a = 15 2 1PF 2PF P ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 1cos 2 2 2 A b c = + 1, 6BM c= = cos ABM∠ 2C π= 3cos 4ABM∠ = 2 1cos 2 2 2 A b c = + cosC C BABM M C α∠∠ == CB cos BCABC AB ∠ = cos ABM∠ 1 cos 1 cos2 2 2 A b bAc c + = + ∴ = cos sin sin sin( ) sin cos cos sinA C B A C A C A C∴ = = + = + sin cos 0A C∴ = (0, ) sin 0 cos 0 2A A C C ππ∈ ∴ ≠ ∴ = ∴ = ABM α∠ = MBC α∠ = Rt MCB∆ cosCB α= Rt ACB∆ cos BCABC AB ∠ = coscos2 6 αα = 2 cos2cos 1 6 αα − = 3cos 4 α∴ = 2 3 − 3cos 4ABM∴ ∠ = 18.在四棱锥 中， ， ， 是 的中点， 是等边三角形，平面 平面 . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 大小的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）取 的中点为 ，连结 ， ， ，设 交 于 ，连结 .根据题 意可得到四边形 与四边形 均为菱形，即可说明 ，再由题意说明 平面 ，即 ，又 ，即可说明 ，即可说明 平面 . （Ⅱ）取 的中点为 ，以 为空间坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系 .令 ，则可写出 ， .即可 求出平面 的法向量 ，再由（1）知平面 的法向量 ，代入公式 即可求出二面角 的平面角的余弦值，方可求出二面角 大小的正弦值. 【详解】解：（Ⅰ）取 的中点为 ，连结 ， ， ，设 交 于 ，连 结 . P ABCD− AD BC∥ 1 2AB BC CD AD= = = G PB PAD∆ PAD ⊥ ABCD CD ⊥ GAC P AG C− − 10 5 AD O OP OC OB OB AC H GH ABCO OBCD CD AC⊥ PO ⊥ ABCD PO CD⊥ GH PO CD GH⊥ CD ⊥ GAC BC E O OE OD OP x y z O xyz− 4=AD AP AG PAG n AGC CD cos n CD n CD θ ⋅ = −   P AG C− − P AG C− − AD O OP OC OB OB AC H GH ∵ ， ∵四边形 与四边形 均为菱形 ∴ ， ∵ ∵ 为等边三角形， 为 中点 ∴ ∵平面 平面 且平面 平面 . 平面 且 ∴ 平面 ∵ 平面 ∴ ∵ ， 分别为 ， 的中点∴ ∴ 又∵ ， 平面 平面 （Ⅱ）取 的中点为 ，以 为空间坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 . 设 ，则 ， ， ， ， . ， . 设平面 的一法向量 . AD BC∥ 1 2AB BC CD AD= = = ABCO OBCD OB AC⊥ OB CD∥ CD AC⊥ PAD∆ O AD PO AD⊥ PAD ⊥ ABCD PAD  ABCD AD= PO ⊂ PAD PO AD⊥ PO ⊥ ABCD CD ⊂ ABCD PO CD⊥ H G OB PB GH PO GH CD⊥ GH AC H= AC GH ⊂ GAC CD ⊥ GAC BC E O OE OD OP x y z O xyz− 4=AD ( )0,0,2 3P ( )0, 2,0A − ( )3,1,0C ( )0,2,0D 3 1, , 32 2G  −    ( )0,2,2 3AP = 3 3, , 32 2AG  =      PAG ( , , )n x y z= 由 . 令 ，则 . 由（Ⅰ）可知，平面 的一个法向量 . ∴二面角 的平面角的余弦值 . 二面角 大小的正弦值为 . 【点睛】本题考查线面垂直的证明、二面角的正弦值，其中证明线面垂直一般情况有两种思 路：一，根据线面垂直的判定定理，在平面内找两条相交直线与这条直线垂直；二、通过面 面垂直的性质定理，构造两平面垂直，且直线在平面内且垂直于两平面的相交直线，则直线 就垂直于另一个平面．二面角的正弦值一般通过向量法，先求其余弦值，再求正弦值．属于 中档题． 19.设函数 为常数 (1)若函数 在 上是单调函数，求 的取值范围； (2)当 时，证明 . 【答案】(1) ；(2) 证明见解析. 【解析】 【分析】 （ 1 ） 对 函 数 求 导 ， 单 调 分 单 调 增 和 单 调 减 ， 利 用 或 在 上恒成立，求得实数 的取值范围； （2）利用导数研究函数的单调性，求得结果. 【详解】（1）由 得导函数 ，其中 . 当 时， 恒成立， 0 0 n AP n AG  ⋅ =  ⋅ =   2 2 3 0 3 3 3 02 2 y z x y z  + =⇒  + + = 3y z x z  = −⇒  = 1z = ( )1, 3,1n = − AGC ( )3,1,0CD = − P AG C− − 2 3 15cos 52 5 n CD n CD θ ⋅ = − = − = −   P AG C− − 10 5 ( ) sin , (0, ),2f x ax x x a π= − ∈ ( )f x 0, 2 π     a 1a ≤ 31( ) 6f x x≤ ] [( ,0 1, )−∞ ∪ +∞ ( ) cos 0f x a x′ = − ≥ ( ) cos 0f x a x′ = − ≤ 0, 2 π     a ( ) sinf x ax x= − ( ) cosf x a x= −′ 0 cos 1x< < 1a ≥ ( ) 0f x′ > 故 在 上是单调递增函数，符合题意； 当 时， 恒成立， 故 在 上是单调递减函数，符合题意； 当 时，由 得 ， 则存在 ，使得 . 当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 在 上是不是单调函数，不符合题意. 综上， 的取值范围是 . （2）由（1）知当 时， ， 即 ，故 . 令 ， 则 ， 当 时， ，所以 在 上是单调递减函数， 从而 ，即 . 【点睛】该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调求参 数的取值范围，利用导数证明不等式，属于中档题目. 20.某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料 成本 （元）与生产该产品的数量 （千件）有关，经统计得到如下数据： ( ) sinf x ax x= − 0, 2 π     0a ≤ ( ) 0f x′ < ( ) sinf x ax x= − 0, 2 π     0 1a< < ( ) cos 0f x a x′ = − = cosx a= 0 0, 2x π ∈   0cosx a= 00 x x< < ( )0 0f x′ < 0 2x x π< < ( )0 0f x′ > ( )f x ( )00, x 0 , 2x π     ( )f x 0, 2 π     a ] [( ),0 1,−∞ ∪ +∞ 1a = ( ) ( )sin 0 0f x x x f= − > = sinx x< 2 2sin 2 2 x x <    ( ) ( ) 3 31 1sin , 0,6 6 2g x f x x ax x x x π = − = − − ∈   ( ) 2 2 2 2 21 1 1cos 1 2sin 1 2 12 2 2 2 2 x xg x a x x a x a x a = − − = − + − < − + −′ = −   1a ≤ ( ) 1 0g x a −′ = ≤ ( )g x 0, 2 π     ( ) ( )0 0g x g< = ( ) 31 6f x x≤ y x 1 2 3 4 5 6 7 8 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了散点图. 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型 和指数函 数模型 分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为 ， 与 的相关系数 . 参考数据（其中 ）： 183.4 0.34 0.115 1.53 360 22385.5 61.4 0.135 （1）用反比例函数模型求 关于 的回归方程； （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 0.01），并用其估计产量 为 10 千件时每件产品的非原料成本； （3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研 数据，若该产品单价定为 100 元，则签订 9 千件订单的概率为 0.8，签订 10 千件订单的概 率为 0.2；若单价定为 90 元，则签订 10 千件订单的概率为 0.3，签订 11 千件订单的概率为 x y by a x = + dxy ce=  0.296.54 xy e−= ln y x 1 0.94r = − 1 i i u x = 8 1 i i i u y = ∑ u 2 u 8 2 1 i i u = ∑ 8 1 i i y = ∑ 8 2 1 i i y = ∑ 0.61 6185.5× 2e− y x 0.7.已知每件产品的原料成本为 10 元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单 价应选择 100 元还是 90 元，请说明理由. 参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜 率和截距的最小二乘估计分别为： ， ，相关系数 . 【答案】（1） （2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】 (1)首先可令 并将 转化为 ，然后根据题目所给数据以及线性回归 方程的相关计算出 以及 ，即可得出结果； (2)计算出反比例函数模型的相关系数 并通过对比即可得出结果； (3)可分别计算出单价为 元和 元时产品的利润，通过对比即可得出结果． 【详解】（1）令 ，则 可转化为 ， 因为 ，所以 ， 则 ，所以 ， 所以 关于 的回归方程为 ； （2） 与 的相关系数为： ( )1 1,u υ ( )2 2,u υ ( ),n nu υ uυ α β= +  1 22 1 n i i i n i i u nu u nu υ υ β = = − = − ∑ ∑  a uυ β= − 1 2 22 2 1 1 n i i i n n i i i i u nu r u nu n υ υ υ υ = = = − =   − −     ∑ ∑ ∑  10011y x = + 1u x = by a x = + y a bu= + b a r 100 90 1u x = by a x = + y a bu= + 360 458y = = 8 1 8 2 2 1 8 183.4 8 0.34 45 61 1001.53 8 0.115 0. ˆ 618 i i i i i u y uy b u u = = - - ´ ´= = = =- ´- å å  45 100 0.34 11a y bu= − = − × =  11 100y u= + y x  10011y x = + y 1 x ， 因为 ，所以用反比例函数模型拟合效果更好， 当 时， （元）， 所以当产量为 10 千件时，每件产品的非原料成本为 元； （3）①当产品单价为 元，设订单数为 千件： 因为签订 9 千件订单的概率为 0.8，签订 10 千件订单的概率为 0.2， 所以 ， 所以企业利润为 （千元）， ②当产品单价为 元，设订单数为 千件： 因为签订 10 千件订单的概率为 0.3，签订 11 千件订单的概率为 0.7， 所以 ， 所以企业利润为 （千元）， 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择 元. 【点睛】本题考查了线性回归方程的相关性质，主要考查了线性回归方程的求法、函数模型 的对比以及通过线性回归方程解决实际问题，考查了计算能力，是中档题． 21.已知中心在原点的椭圆 C1 和抛物线 C2 有相同的焦点(1，0)，椭圆 C1 过点 ，抛 物线 的顶点为原点． 8 1 2 8 8 2 2 2 2 1 1 61 61 0.9961.40.61 6185.5 8 8 i i i i i i i u y nuy r u u y y = = = − = = = ≈ ×  − −     ∑ ∑ ∑ 1 2r r< 10x = 100 11 2110y = + = 21 100 x ( ) 9 0.8 10 0.2 9.2E x = ´ + ´ = 100100 9.2 9.2 21 626.89.2 æ öç ÷´ - ´ + =ç ÷è ø 90 y ( ) 10 0.3 11 0.7 10.7E y = ´ + ´ = 10. 10090 710.7 10.7 21 638.3æ öç ÷´ - ´ + =ç ÷è ø 90 31, 2G     2C (1)求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程； (2)设点 P 为抛物线 C2 准线上的任意一点，过点 P 作抛物线 C2 的两条切线 PA，PB，其中 A、B 为切点． 设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2 为定值； ②若直线 AB 交椭圆 C1 于 C，D 两点，S△PAB，S△PCD 分别是△PAB，△PCD 的面积，试问： 是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由. 【答案】(1) 抛物线 的标准方程为 ,椭圆 的方程为: ,(2)①证明见 解析,②有,最小值为 【解析】 【分析】 (1)利用 可得抛物线的标准方程,根据 和点 在椭圆上列方程组可求得 和 , 从而可得标准方程; (2)①利用△=0 以及韦达定理可得结论; ②先求出直线过定点 ,将问题转化为 ,即求 得最小 值,当直线 的斜率存在时,联立直线与抛物线,利用弦长公式求出 和 ,然后求 比值,此时大于 ,当直线 的斜率不存在时,直接求出 和 可得比值为 .从而 可得结论. PAB PCD S S   2C 2 4y x= 1C 2 2 14 3 x y+ = 4 3 12 p = 1c = P 2a 2b (1,0) PAB PCD S S   1 | | | |2 1 | || |2 d AB AB CDd CD ⋅ = = ⋅ | | | | AB CD AB | |AB | |CD 4 3 AB | |AB | |CD 4 3 【详解】(1)因为抛物线 C2 有相同的焦点(1，0),且顶点为原点,所以 ,所以 , 所以抛物线 的标准方程为 , 设椭圆方程为 ,则 且 ,解得 , 所以椭圆 的方程为: . (2)①证明:设 ,过点 与抛物线 相切的直线为 , 由 ,消去 得 , 由△= ,得 , 则 ②设 由①得 ,则 , 所以直线 的方程为 ,所以 , 即 ,即直线 恒过定点 , 设点 到直线 的距离为 , 所以 , 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 , 设 , 12 p = 2p = 2C 2 4y x= 2 2 2 2 1x y a b + = 1c = 2 2 2 2 1 1 9 14 a b a b  − = + = 2 24, 3a b= = 1C 2 2 14 3 x y+ = ( 1, )P t− P 2 4y x= ( 1)y t k x− = + 2 ( 1) 4 y t k x y x − = +  = x 2 4 4 4 0ty yk k − + + = 24 4( ) 4( 4) 0t k k − − + = 2 1 0k tk+ − = 1 2 1k k = − 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 1 2 ,y k = 2 2 2y k = 1 22 2 1 2 1 1,x xk k = = AB 2 1 1 1 2 1 ( )y yy y x xx x −− = −− 2 1 1 2 2 2 1 2 2 ( 1)1 1 k ky y x k k − − = − − 1 2 2 ( 1)y xk k = − −+ AB (1,0) P AB d PAB PCD S S   1 | | | |2 1 | || |2 d AB AB CDd CD ⋅ = = ⋅ AB AB ( 1)y k x= − 3 3 4 4( , ), ( , )C x y D x y 由 ,消去 得 , 时,△ 恒成立, , 由 消去 得 △ 恒成立, 则 . 所以 , 当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 , 此时 , , , 所以 的最小值为 . 【点睛】本题考查了求抛物线和椭圆的标准方程,考查了直线与抛物线相切,考查了直线与椭 圆相交的问题,考查了三角形的面积公式,考查了分类讨论思想,考查了弦长公式,属于难题. 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． （1）曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； 2 4 ( 1) y x y k x  =  = − y 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 0k ≠ 0> 2 2 2 2 2 1 4 16 16| | (1 )( ) (1 ) kAB k x x k k += + − = + ⋅ 2 2 4(1 )k k += 2 2 14 3 ( 1) x y y k x  + =  = − y 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 0> 2 2 2 2 3 4 2 2 144 144| | (1 )( ) (1 ) (3 4 ) kCD k x x k k += + − = + ⋅ + 2 2 12(1 ) 3 4 k k += + 2 2 2 2 4(1 ) 12(1 ) 3 4 PAB PCD k S k kS k + = + +   2 2 2 3 4 1 4 4 3 3 3 k k k += = + > AB AB 1x = | | 4AB = | | 3CD = PAB PCD S S   4 3 = PAB PCD S S   4 3 xOy C 2 2 2 8 1 3(1 ) 1 kx k ky k  = + − = + k O x l cos( ) 3 24 πρ θ + = C l （2）求曲线 上的点到直线 的距离的取值范围． 【答案】（1） ： ， ；（2） 【解析】 【分析】 （1）消掉参数 ，从而得到曲线 C 上的点 满足的等量关系即可得曲线 的普通方程， 再由 ，化直线的极坐标方程为直角坐标方程即可得解. （2）将曲线 的普通方程化为参数方程得 （ 为参数），再利用点到直线的 距离公式运算即可得解. 【详解】解：（1） ，平方后得 ， 又 ， 的普通方程为 ． ，即 ， 将 代入即可得到 ． （2）将曲线 化成参数方程形式为 （ 为参数）， 则 ，其中 ， 所以 ． 【点睛】本题考查了曲线的普通方程，参数方程、极坐标方程的互化及点到直线的距离 ，重点考查了运算能力，属中档题. 23.已知 正数,且 ,证明: (1) ； 为 C l C 2 2 1( 3)16 9 x y y+ = ≠ − : 6l x y− = 2 11 2 2 2d≤ ≤ k ( , )x y C cos sin x y ρ θ ρ θ =  = C 4cos 3sin x y α α =  = α 2 2 2 2 4 1: 1 3 1 x k kC y k k  = + − = + 2 2 116 9 x y+ = 2 63 ( 3,3]1y k = − + ∈ −+ C 2 2 1( 3)16 9 x y y+ = ≠ − cos( ) 3 24 πρ θ + = cos sin 6ρ θ ρ θ− = cos , sinx yρ θ ρ θ= = : 6l x y− = C 4cos 3sin x y α α =  = α 4cos 3sin 6 5cos( ) 6 2 2 d α α α ϕ− − + −= = 3tan 4 ϕ = 2 11 2 2 2d≤ ≤ , ,a b c 2a b c+ + = 4 3ab bc ac+ + ≤ (2) . 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）将 a+b+c＝2 平方，然后将基本不等式 三式 相 加 ， 进 行 证 明 ； （ 2 ） 由 ，三式相乘进行证明. 【详解】(1)将 a+b+c＝2 平方得: ， 由基本不等式知: ， 三式相加得: ， 则 所以 ，当且仅当 a＝b＝c＝ 时等号成立 (2)由 ，同理 则 ， 即 当且仅当 时等号成立 【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题. 2 2 2 8a b c b c a − − −⋅ ⋅ ≥ 2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc a c ac+ ≥ + ≥ + ≥ 2 2 ,a b c bc b b b − += ≥ 2 2 2 2,b a c ac c b a ba c c c a a a − + − += ≥ = ≥ 2 2 2 2 2 2 4a b c ab ab ac+ + + + + = 2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc a c ac+ ≥ + ≥ + ≥ 2 2 2a b c ab bc ac+ + ≥ + + 2 2 24 2 2 2 3 3 3a b c ab bc ac ab bc ac= + + + + + ≥ + + 4 3ab bc ac+ + ≤ 2 3 2 2a b c bc b b b − += ≥ 2 2 2 2,b a c ac c b a ba c c c a a a − + − += ≥ = ≥ 2 2 2 2 2 2 8a b c bc ac ba b c a b c a − − −⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ = 2 2 2 8a b c b c a − − −⋅ ⋅ ≥ 2 3a b c= = =