2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 解析版

内蒙古杭锦后旗奋斗中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知某一随机变量ξ的概率分布列如图所示，且E(ξ)＝6.3，则a的值为(　　)‎ ξ ‎4‎ a ‎9‎ P ‎0.5‎ ‎0.1‎ b A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先根据分布列概率和为1得到b的值，再根据E(X)=6.3得到a的值.‎ 详解：根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.‎ 因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，‎ 所以a=7.‎ 故答案为：C.‎ 点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质：①，；②.‎ ‎2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A．24 B．48‎ C．60 D．72‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.‎ ‎【考点】排列、组合 ‎【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．‎ 视频 ‎3．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者,其中至少有1名女生的选法共有　(　　)‎ A．36种 B．30种 C．42种 D．60种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：从名男生和名女生中选出名志愿者，共有种结果，其中包括不合题意的没有女生的选法，其中没有女生的选法有，∴至少有名女生的选法有故选A．‎ 考点：计数原理的应用.‎ ‎4．展开式中的系数为（ ）‎ A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：分析展开式中的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数．‎ 详解：当选择1时，展开式选择的项为 ‎ ‎；当（选择时，展开式选择的项为 ‎ 所以（展开式中的系数为 ‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查了二项式定理的运用；解题的关键是明确展开式得到的两种情况．‎ ‎5．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】D ‎【解析】4项工作分成3组,可得：=6，‎ 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，‎ 可得：种。‎ 故选：D.‎ ‎6．已知的展开式中第项与项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二项式定理求出，然后利用二项式定理系数的性质求得结果 ‎【详解】‎ 的展开式中第项与第项的二项式系数相等，‎ 则 的展开式中奇数项的二项式系数和为 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理和二项式定理系数的性质，代入公式进行求解，属于基础题。‎ ‎7．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为 ‎（A）100 （B）200 （C）300 （D）400‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎8．已知 ，则 （ ）‎ A．256 B．257 C．254 D．255‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项展开式的通项公式可求出及，对赋值为1即可解决问题。‎ ‎【详解】‎ 展开式的第项为：，‎ 令，则，所以，‎ 令，则，所以，‎ 令，则，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项展开式的通项公式及赋值法，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎9．从混有4张假钞的10张一百元纸币中任意抽取3张，若其中一张是假币的条件下，另外两张都是真币的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析:直接利用条件概率公式求解.‎ 详解：由条件概率公式得.故答案为：A 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对条件概率的掌握水平.(2) 条件概率一般有“在已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.‎ ‎10．《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）‎ A．144种 B．288种 C．360种 D．720种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词排列全排列共有 种排法，满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在个空里（最后一个空不排），有种排法，《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有种，故选A.‎ ‎11．（x2+3x﹣y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）‎ A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 的展开式中通项公式：，令，解得 ，，的系数，故选D．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎12．已知双曲线 的右顶点为 , 以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点.若,且 （其中为原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线一条渐近线为，求出Q坐标，得PQ的中点坐标，由两直线垂直可得，应用圆的弦长公式计算即可得的关系，即可求出离心率.‎ ‎【详解】‎ 设双曲线一条渐近线为，‎ 由，可得Q,圆的半径为，PQ的中点为H，由可得解得，‎ A到渐近线的距离为，则，即，‎ 即有， 可得，，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线离心率的求法，注意应用中点坐标公式和直线垂直斜率之积为以及圆的弦长公式，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知随机变量，且随机变量，则的方差_______.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ 分析：先求出,再求的方差.‎ 详解：因为随机变量，所以.‎ 所以.故答案为：12‎ 点睛：（1）本题主要考查二项分布的期望方差的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.（2）如果则 ‎ ‎.‎ ‎14．设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线的方程为，‎ ‎15．有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）.‎ ‎【答案】150‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，由两种分配方案分别为2，2，1型或3,1,1型，每一种分配全排即可.‎ ‎【详解】‎ 解：将5名志愿者分配到这三个地方服务，每个地方至少1人，其方案为2，2，1型或3,1,1型．其选法有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有150种．‎ 故答案为：150．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识与基本方法，属于中档题．‎ ‎16．.若 ，则_______．‎ ‎【答案】251‎ ‎【解析】‎ ‎，所以.‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：‎ ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．若 的展开式的二项式系数和为128.‎ ‎(Ⅰ)求n的值; ‎ ‎(Ⅱ) 求展开式中二项式系数的最大项.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)可根据二项式的系数之和为，即可解出结果；‎ ‎(Ⅱ)首先可根据(Ⅰ)得出二项式，再根据二项式的次方为7即可得出二项式系数的最大项为哪几项，最后通过计算得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)因为的展开式的二项式系数和为128，‎ 所以 ‎(Ⅱ) 由第一题可知，二项式为，‎ 故二项式系数最大项为第四项和第五项，‎ ‎，‎ ‎。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用。‎ ‎18．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.‎ ‎（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；‎ ‎（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；‎ ‎（3）记X表示抽取的3名工人中男工人人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）从甲组抽取2名，从乙组抽取1名；‎ ‎（2）从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率为 ‎（3）X的分布列为 ‎【解析】‎ 本题考查离散形随机变量及其分布列的求法，期望的求法，考查了等可能事件概率的求法公式，是一道应用概率解决实际问题的应用题，此类题型随着高考改革的深入，在高考的试卷上出现的频率越来越高，应加以研究体会此类题的规范解法．‎ ‎（1）求甲，乙两组各抽取的人数，根据分层的规则计算即可；‎ ‎（2）“从甲组抽取的工人中恰有1名女工”这个事件表明是从甲组中抽取了一男一女，计算出总抽法的种数与）“从甲组抽取的工人中恰有1名女工”的种数，用古典概率公式即可求解；‎ ‎（3）令X表示抽取的3名工人中男工人的人数，则X可取值：0，1，2，3，依次算出每和种情况的概率，列出分布列，据公式求出其期望值即可．‎ 解： （1）‎ 答：从甲组抽取2名，从乙组抽取1名 ‎（2）从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率为 ‎（3）X可取值：0，1，2，3‎ X的分布列为 ‎19．为了增强高考与高中学习的关联度，考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变，分值不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科.‎ ‎（1）某高校某专业要求选考科目物理，考生若要报考该校该专业，则有多少种选考科目的选择；‎ ‎（2）甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合，各学科成绩达到二级的概率都是0.8，且三人约定如果达到二级不参加第二次考试，达不到二级参加第二次考试，如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）15（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）因为选定物理，所以只需从剩余6科中选两科即可；（2）从题意分析，参加第二次考试的总次数服从二项分布，根据二项分布公式即可解决.‎ 试题解析：（1）考生要报考该校该专业，除选择物理外，还需从其他六门学科中任选两科，故共有种不同选择.‎ ‎（2）因为甲乙丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立，所以参加第二次考试的总次数服从二项分布，所以分布列为 所以的数序期望.‎ ‎20．2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.‎ 方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.‎ 方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.‎ ‎（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；‎ ‎（2）若某顾客获得抽奖机会.‎ ‎①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；‎ ‎②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？‎ ‎【答案】(1) (2)①②第一种抽奖方案.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)方案一中每一次摸到红球的概率为 ‎，每名顾客有放回的抽3次获180元返金劵的概率为，根据相互独立事件的概率可知两顾客都获得180元返金劵的概率 ‎ (2)①分别计算方案一，方案二顾客获返金卷的期望，方案一列出分布列计算即可，方案二根据二项分布计算期望即可 ②根据①得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为 设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则 所以两位顾客均获得180元返金劵的概率 ‎（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.‎ 设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.‎ 则；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为 ‎（元）‎ 若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故 所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的 数学期望为（元）.‎ ‎②即，所以该超市应选择第一种抽奖方案 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型，相互独立事件的概率，二项分布，期望，及概率知识在实际问题中的应用，属于中档题.‎ ‎21．已知椭圆 的离心率为，且椭圆过点（1，）‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是圆上任一点，由引椭圆两条切线,当切线斜率存在时，求证两条斜率的积为定值。‎ ‎【答案】(1);(2)定值为-1，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据已知列方程组解之即得椭圆的标准方程.(2) 设则过点P的切线方程为 联立直线和椭圆方程得到，再根据△=0得到,再求即得证.‎ ‎【详解】‎ 由题得.所以椭圆的方程为.‎ 设则过点P的切线方程为 联立，‎ 因为直线和椭圆相切，‎ 化简得，‎ 所以，因为 所以 所以两条斜率的积为定值-1.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)‎ 解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是求出.‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程； ‎ ‎（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．‎ ‎【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）‎ ‎【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．‎ 详解：（1）曲线的直角坐标方程为．‎ 当时，的直角坐标方程为，‎ 当时，的直角坐标方程为．‎ ‎（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 ‎．①‎ 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．‎ 又由①得，故，于是直线的斜率．‎ 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t 可正、可负、可为0)‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎