2018-2019学年山东省烟台市高二上学期期中数学试题 解析版

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绝密★启用前 山东省烟台市2018-2019学年高二（上）期中数学试卷 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若，则下列不等式中正确的是　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质取特殊值验证即可．‎ ‎【详解】‎ 令，，‎ 则C正确，A，B，D错误，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的性质，考查特殊值的应用，是一道基础题．‎ ‎2．数列，，，，的第14项是　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可归纳通项公式为，代值计算即可．‎ ‎【详解】‎ 数列，，，，的通项公式为，‎ ‎，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3．不等式的解集为　　‎ A． B． 或 C． D． 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，原不等式可以变形为且，解可得不等式的解集，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，且，‎ 解可得：或；‎ 即不等式的解集为或；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分式不等式的解法，注意将分式不等式变形为整式不等式，属于基础题．‎ ‎4．设是等差数列的前n项和，若，则　　‎ A． 52 B． 78 C． 117 D． 208‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质可得：，解得再利用求和公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的性质可得：，解得．‎ 则．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎5．已知函数，，e为自然对数的底数，则函数的增区间为　　‎ A． B． ‎ C． D． ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 令，即，‎ 解得：，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．‎ ‎6．在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问：几日相逢？　　‎ A． 4日 B． 3日 C． 5日 D． 6日 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意通过已知条件转化为两个等差数列的前n项和为定值问题，进而计算可得结论．‎ ‎【详解】‎ 由题可知，良马每日行程构成一个首项为97，公差15的等差数列，‎ 驽马每日行程构成一个首项为92，公差为的等差数列，‎ 则，，‎ 则数列与数列的前n项和为，‎ 又数列的前n项和为，‎ 数列的前n项和为，‎ ‎，‎ 整理得：，即，‎ 解得：或舍，即4日相逢．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题以数学文化为背景，考查等差数列，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎7．已知正项等比数列满足，与的等差中项为，则的值为　　‎ A． B． C． 3 D． 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题等比数列满足，与的等差中项为，列方程组能求出的值．‎ ‎【详解】‎ 正项等比数列满足，与的等差中项为，‎ ‎，‎ 解得．‎ 的值为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎8．已知函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出函数的导数，问题转化为，根据不等式的性质求出a的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 由题意得，‎ 使得不等式成立，‎ 即时，，‎ 令，，‎ 则，‎ 令，解得：，‎ 令，解得：，‎ 故在递增，在递减，‎ 故，‎ 故满足条件a的范围是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的性质，是一道中档题．‎ ‎9．设等比数列满足，，则的最大值为　　‎ A． 32 B． 128 C． 64 D． 256‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出通项公式公式，再根据指数幂的运算性质和等差数列的求和公式，可得，令，根据复合函数的单调性即可求出．‎ ‎【详解】‎ 由，，可得，解得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，‎ 当或时，有最小值，即，‎ 的最大值为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式等差数列的求和公式，指数幂的运算性质和复合函数的单调性，属于中档题 ‎10．设，，，则　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意构造函数，利用导数研究单调性，可得最大，再利用对数的运算性质比较a与b的大小，则答案可求．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ 令，得，‎ 当时，为增函数，当时，为减函数，‎ 则最大，而，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数值的大小比较，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．‎ ‎11．已知函数，若对任意，都有成立，则实数x的取值范围为　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 变更主元法：不等式左边构造以m为自变量的函数，只需和即可．‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 对任意的恒成立，‎ 令，‎ 则，即，‎ 解得或，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的性质与图象，属基础题．‎ ‎12．已知函数有两个极值点，则实数k的取值范围是　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意有两个极值点转化为有两个不等正根，进一步转化为，，，．‎ ‎【详解】‎ 因为有两个极值点，‎ 所以有两个不同正实根，有两个不同正实根，‎ 有一个不等于1的正根，‎ 且，‎ ‎，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的极值其中正确求导是解题的关键，属难题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是______米 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可推出小球每次跳回的高度为等比数列，确定首项和公比，根据等比数列的前n项和可求．‎ ‎【详解】‎ 设小球每次跳回的高度为数列，‎ 则数列为等比数列，，，‎ ‎，‎ 共经过的路程为：米．‎ 故答案为：752．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的应用，根据实际情况找出等比数列解决本题的关键属基础题．‎ ‎14．正数a，b满足，若不等式对恒成立，则实数m的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意运用基本不等式，函数的最值和恒成立之间的关系可解决．‎ ‎【详解】‎ 根据题意得，恒成立 ‎，‎ 即 又，，，‎ 由基本不等式得 ‎，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的恒成立问题．解题时充分利用基本不等式，是解题的关键.‎ ‎15．已知为数列的前n项和，，若，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的求和公式可得，则即裂项求和即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的求和公式和裂项求和，考查了运算能力，属于中档题 ‎16．已知函数的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意构造函数，再由导函数的符号判断出函数的单调性，不等式，构造为，问题得以解决．‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 函数在上是减函数，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．属中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．解关于x的不等式．‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原不等式等价于  ，再利用二次函数的性质，分类讨论，求得x的范围．‎ ‎【详解】‎ 关于x的不等式，即，‎ 即，即  ．‎ 当时，不等式即，求得，不等式的解集为．‎ 当时，此不等式对应一元二次方程的两个根为0，，‎ 当时，的两个根为0，，不等式的解集为，不等式的解集为．‎ 当时，的两个根为0，，不等式的解集为，不等式的解集为 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查分式不等式、一元二次不等方式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎18．已知等差数列的各项为正数，其公差为1，．‎ 求数列的通项公式；‎ 设，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列通项公式列出方程，求出，由此能求出数列的通项公式．‎ 求出，由此能求出．‎ ‎【详解】‎ 等差数列的各项为正数，其公差为1，．‎ ‎，‎ 解得，或舍，‎ 数列的通项公式．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式、前10项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19．自2017年，大连“蜗享出行”正式引领共享汽车，改变人们传统的出行理念，给市民出行带来了诸多便利该公司购买了一批汽车投放到市场给市民使用据市场分析，每辆汽车的营运累计收入单位：元与营运天数满足．‎ 要使营运累计收入高于1400元求营运天数的取值范围；‎ 每辆汽车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解关于x的不等式，求出满足条件的x的范围即可；‎ 根据基本不等式的性质求出最大值即可．‎ ‎【详解】‎ 要使营运累计收入高于1400元，‎ 则，‎ 即，解得：，‎ 故要使营运累计收入高于1400元，‎ 营运天数的取值范围是；‎ 每辆汽车每天的平均营运收入为：‎ ‎，‎ 当且仅当时“”成立，解得：，‎ 即每辆汽车营运20天时，才能使每天的平均营运收入最大．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次不等式的应用，考查基本不等式的性质以及转化思想，考查方程和函数，是一道中档题．‎ ‎20．设函数，若函数在处与直线相切．‎ 求实数a，b的值；‎ 求实数在上的最大值．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，计算，，根据对应关系求出a，b的值即可；‎ 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值问题．‎ ‎【详解】‎ 的定义域是，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故函数在的切线方程是：‎ ‎，‎ 即，‎ 而，‎ 故，‎ 解得：，；‎ 由，‎ ‎，‎ 令，解得：，‎ 令，解得：，‎ 故在递减，在递增，‎ ‎，‎ 故．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题．‎ ‎21．已知数列满足，．‎ 证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ 设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，推导出，由此能证明数列是首项为3，公比为3的等比数列，从而能求出数列的通项公式．‎ ‎，由此利用错位相减法能求出数列的前n项和．‎ ‎【详解】‎ 证明：数列满足，．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 数列是首项为3，公比为3的等比数列，‎ ‎，‎ ‎．‎ 解：，‎ 数列的前n项和：‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减，得：‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式、前n项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎22．已知函数，．‎ 求证：函数在上只有一个零点；‎ 若当，不等式恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数利用导数可证明函数在上只有一个零点．‎ 不等式恒成立利用在恒成立，只需，恒成立即可．‎ ‎【详解】‎ 函数 ‎，在上单调递增，‎ 又，‎ 函数在上只有一个零点零点为．‎ 不等式恒成立．‎ 即当时，恒成立，‎ 在恒成立．‎ 只需，恒成立即可．‎ 当时，，‎ 当时，可得，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎，‎ 综上，实数m的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查分类讨论思想，是一道综合题．‎