高中人教a版数学必修4：第3课时 任意角三角函数的定义 word版含解析

高中人教a版数学必修4：第3课时 任意角三角函数的定义 word版含解析

第 3 课时 任意角三角函数的定义 课时目标 1.理解任意角三角函数的定义，熟记各象限三角函数符号，(正弦、余弦、正切)． 2．能用三角函数定义进行计算 3．掌握公式一，并能进行有关计算． 识记强化 1．利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数．直角坐标系中任意大小的角α终边上 一点 P 的坐标(x，y)，它到原点的距离是 r(r>0)，那么任意角的三角函数定义： 三角函数 定义 定义域 值域 sinα y r R [－1,1] cosα x r R [－1,1] tanα y x {α|α≠kπ＋π 2 ，k∈Z} R 2.三角函数值在各个象限的符号 三角函数 角α所在的象限 sinα cosα tanα 第一象限 正 正 正 第二象限 正 负 负 第三象限 负 负 正 第四象限 负 正 负 3.终边相同的角的同一三角函数的值相等，即 sin(α＋k·2π)＝sinα， cos(α＋k·2π)＝cosα， tan(α＋k·2π)＝tanα(其中 k∈Z)． 课时作业 一、选择题 1．已知点 P(4，－3)是角α终边上一点，则下列三角函数值中正确的是( ) A．tanα＝－4 3 B．tanα＝－3 4 C．sinα＝－4 5 D．cosα＝3 5 答案：B 解析：由三角函数的定义，知 x＝4，y＝－3，r＝5，所以 sinα＝y r ＝－3 5 ，cosα＝x r ＝4 5 ， tanα＝y x ＝－3 4. 2．如果角α的终边过点 P(2sin30°，－2cos30°)，则 sinα的值等于( ) A.1 2 B．－1 2 C．－ 3 2 D．－ 3 3 答案：C 解析：由题意得 P(1，－ 3)，它与原点的距离 r＝ 12＋－ 32＝2，∴sinα＝－ 3 2 . 3．设 a<0，角α的终边经过点 P(－3a,4a)，则 sinα＋2cosα的值等于( ) A.2 5 B．－2 5 C.1 5 D．－1 5 答案：A 解析：∵a<0，角α的终边经过点 P(－3a,4a)，∴点 P 与原点的距离 r＝－5a，sinα＝－4 5 ， cosα＝3 5 ，∴sinα＋2cosα＝2 5 ，选 A. 4．若 sinθ0，sinθ<0，则θ为第四象限角，故选 D. 5．cos480°的值是( ) A．－1 2 B.1 2 C. 3 2 D．－ 3 2 答案：A 解析：480°＝360°＋120°，所以 cos480°＝cos120°＝－1 2. 6．cos －16π 3 ＋sin －16π 3 的值为( ) A．－1＋ 3 2 B.1－ 3 2 C. 3－1 2 D. 3＋1 2 答案：C 解析：cos －16π 3 ＋sin －16π 3 ＝cos2 3π＋sin2 3π＝－1 2 ＋ 3 2 ＝ 3－1 2 . 二、填空题 7．5·sin90°＋2·cos0°－3·sin270°＋10·cos180°＝________. 答案：0 解析：原式＝5×1＋2×1－3×(－1)＋10×(－1)＝0. 8．若点 P(2m，－3m)(m＜0)在角α的终边上， 则 sinα＝______，cosα＝______，tanα ＝______. 答案：3 13 13 －2 13 13 －3 2 解析：因为点 P(2m，－3m)(m＜0)在第二象限，且 r＝－ 13m， 所以，sinα＝－3m r ＝ －3m － 13m ＝3 13 13 ，cosα＝2m r ＝ 2m － 13m ＝－2 13 13 ，tanα＝－3m 2m ＝－3 2. 9．如果 cosx＝|cosx|，那么角 x 的取值范围是________． 答案： 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 .k∈Z. 解析：由 cosx＝|cosx|知 cosx≥0. ∴角 x 的终边落在 y 轴或其右侧，从而角 x 的取值范围是 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 ，k∈Z. 三、解答题 10．已知角α的终边经过点 P(－4a,3a)(a≠0)，求 sinα、cosα、tanα的值． 解：r＝ －4a2＋3a2＝5|a|， 若 a>0，则 r＝5|a|＝5a，此时角α是第二象限角， ∴sinα＝y r ＝3a 5a ＝3 5 ，cosα＝x r ＝－4a 5a ＝－4 5 ， tanα＝y x ＝ 3a －4a ＝－3 4 ； 若 a<0，则 r＝5|a|＝－5a，此时角α是第四象限角，∴sinα＝y r ＝ 3a －5a ＝－3 5 ，cosα＝x r ＝－4a －5a ＝4 5 ，tanα＝y x ＝ 3a －4a ＝－3 4. 综上可得，当 a>0 时，sinα＝3 5 ，cosα＝－4 5 ，tanα＝－3 4 ；当 a<0 时，sinα＝－3 5 ，cosα ＝4 5 ，tanα＝－3 4. 11．求下列各式的值． (1)cos25π 3 ＋tan －15π 4 ； (2)sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)． 解：(1)因为 cos25π 3 ＝cos π 3 ＋8π ＝cosπ 3 ＝1 2 ， tan －15π 4 ＝tan －4π＋π 4 ＝tanπ 4 ＝1， 所以 cos25π 3 ＋tan －15π 4 ＝1 2 ＋1＝3 2. (2)因为 sin420°＝sin(360°＋60°)＝sin60°＝ 3 2 ， cos750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos30°＝ 3 2 ， sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin30°＝1 2 ， cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos60°＝1 2. 所以 sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝ 3 2 × 3 2 ＋1 2 ×1 2 ＝1. 能力提升 12．当α为第二象限角时，|sinα| sinα － cosα |cosα| 的值是( ) A．1 B．0 C．2 D．－2 答案：C 解析：∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0.∴|sinα| sinα － cosα |cosα| ＝sinα sinα － cosα －cosα ＝1＋1＝ 2. 13．已知角α的顶点在原点，始边为 x 轴的正半轴．若角α的终边过点 P(－ 3，y)，且 sinα＝ 3 4 y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求 cosα和 tanα的值． 解：依题意，点 P 到原点 O 的距离为|OP|＝r ＝ － 32＋y2＝ 3＋y2，∴ y 3＋y2 ＝ 3 4 y. ∵y≠0，∴9＋3y2＝16.∴y2＝7 3 ，y＝± 21 3 . ∴r＝4 3 3 .∴P 在第二或第三象限． 当点 P 在第二象限时，y＝ 21 3 ，则 cosα＝x r ＝－3 4 ，tanα＝y x ＝－ 7 3 ；当点 P 在第三象限 时，y＝－ 21 3 ，则 cosα＝x r ＝－3 4 ，tanα＝y x ＝ 7 3 .