人教版高三数学总复习课时作业22
课时作业22 三角函数的图象与性质
一、选择题
1．(2014·陕西卷)函数f(x)＝cos(2x－)的最小正周期是( )
A. B．π
C．2π D．4π
解析：由周期公式T＝，得T＝＝π，故选B.
答案：B
2．(2014·大纲卷)设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
解析：b＝cos55°＝sin35°，由正弦函数在[0,90°]上递增知，b>a，排除A、D，又当x∈[0,90°]时总有tanx>sinx，∴c>b，从而c>b>a.
答案：C
3．已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A. B.
C．2 D．3
解析：∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－，∴ω≥.
答案：B
4．设函数f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)，且其图象关于直线x＝0对称，则( )
A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数
C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数
D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数
解析：f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)
＝2sin，
∵其图象关于x＝0对称，∴f(x)是偶函数，
∴＋φ＝＋kπ，k∈Z.
又∵|φ|<，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin＝2cos2x.
易知f(x)的最小正周期为π，在上为减函数．
答案：B
5．将函数f(x)＝sinxcosx的图象向左平移个长度单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的单调递增区间是( )
A．(kπ－，kπ)(k∈Z)
B．(kπ，kπ＋)(k∈Z)
C．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
D．(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)
解析：因为y＝sinxcosx＝sin2x，将其图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin(2x＋)＝cos2x的图象，由于函数y＝cosx的增区间是(2kπ－π，2kπ)(k∈Z)，
∴函数g(x)＝cos2x的增区间满足2kπ－π<2x<2kπ，即kπ－
0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1,1]上的单调增区间为________．
解析：由题意可知，函数f(x)＝2sin(πx－)，令－＋2kπ≤πx－≤＋2kπ，解得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z，又x∈[－1,1]，所以－≤x≤，所以函数f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为[－，]．
答案：[－，]
9．(2014·北京卷)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝f()＝－f()，则f(x)的最小正周期为________．
解析：由f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝－f()知，f(x
)有对称中心(，0)
由f()＝f(π)知f(x)有对称轴x＝(＋π)＝π，记T为最小正周期，则T≥－⇒T≥π，从而π－＝，故T＝π.
答案：π
三、解答题
10．已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)因为f(x)＝4cosxsin(x＋)－1
＝4cosx(sinx＋cosx)－1
＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x
＝2sin(2x＋)
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤
于是，当2x＋＝即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝－即x＝－，f(x)取得最小值－1.
11．设函数f(x)＝sin－2cos2.
(1)求y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最大值．
解：(1)由题意知f(x)＝sin－cos－1＝·sin－1，所以y＝f(x)的最小正周期T＝＝6.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，
所以y＝f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最大值即为x∈[3,4]时，y＝f(x)的最大值，当x∈[3,4]时，x－∈.此时f(x)max＝×－1＝，即y＝g(x)的最大值为.
1．函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在上为减函数的θ值可以是( )
A．－ B．－
C. D.
解析：函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋
)，若为奇函数，则应有θ＋＝kπ，即θ＝kπ－.故排除B、C，当θ＝－时．f(x)＝2sin2x它在上是增函数，不符合题意，故选D.
答案：D
2．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)满足f(x)＝－f(x＋π)，f(0)＝，则g(x)＝2cos(ωx＋φ)在区间[0，]上的最大值为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：由f(x)＝－f(x＋π)可得f(x＋2π)＝f(x)，显然函数f(x)的周期为2π，所以ω＝＝1，由f(0)＝得sinφ＝，又|φ|<，所以φ＝，因此g(x)＝2cos(x＋)．因为0≤x≤，所以≤x＋≤，－≤cos(x＋)≤，因此g(x)max＝.
答案：C
3．已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为3，则
(1)m＝________；
(2)对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为________．
解析：(1)f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m＝sin2x＋1＋cos2x＋m＝2sin＋m＋1，
因为0≤x≤，所以≤2x＋≤.
所以－≤sin≤1，f(x)max＝2＋m＋1＝3＋m＝3，所以m＝0.
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋1，T＝＝π，在区间[a，a＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41.
答案：(1)0 (2)40或41
4．已知m＝(asinx，cosx)，n＝(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R.若f(x)＝m·n满足f()＝2，且f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝对称．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x的方程f(x)＋log2k＝0在区间[0，]上总有实数解，求实数k的取值范围．
解：(1)f(x)＝m·n＝asin2x＋bsinxcosx
＝(1－cos2x)＋sin2x.
由f()＝2，得a＋b＝8.①
∵f′(x)＝asin2x＋bcos2x，且f′(x)的图象关于直线x＝对称，∴f′(0)＝f′()，
∴b＝a＋b，即b＝a.②
由①②得，a＝2，b＝2.
(2)由(1)得
f(x)＝1－cos2x＋sin2x＝2sin(2x－)＋1.
∵x∈[0，]，∴－≤2x－≤，
∴0≤2sin(2x－)＋1≤3，即f(x)∈[0,3]．
又f(x)＋log2k＝0在[0，]上有解，
即f(x)＝－log2k在[0，]上有解，
∴－3≤log2k≤0，
解得≤k≤1，即k∈[，1]．
