高考文科数学复习：夯基提能作业本 (3)

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第二节　参数方程 A 组　基础题组 1.(2016 江苏,21C,10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为{푥 = 1 + 1 2t, 푦 = 3 2 t (t 为参数),椭圆 C 的参数方程为{푥 = cos휃, 푦 = 2sin휃(θ 为参数).设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 2.(2016 课标全国Ⅲ,23,10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为{푥 = 3cos훼, 푦 = sin훼 (α 为参数).以坐标 原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(휃 + π 4)=2 2. (1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (2)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 3.(2016 河南郑州模拟)将曲线 C1:x2+y2=1 上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)得到曲线 C2,A 为 C1 与 x 轴正半轴的交点,直线 l 经过点 A 且倾斜角为 30°,记 l 与曲线 C1 的另一个交点为 B,与曲线 C2 在 第一、三象限的交点分别为 C,D. (1)写出曲线 C2 的普通方程及直线 l 的参数方程; (2)求|AC|-|BD|. 4.(2016 辽宁五校协作体联考)已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为{푥 = 푡 - 3, 푦 = 3t (t 为参数),以坐标原 点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2-4ρcos θ=0. (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离 d 的取值范围. B 组　提升题组 5.(2016 广东肇庆三模)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为{푥 = 푡2, 푦 = 푡 (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos θ-4=0. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 6.(2016 河北石家庄二模)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为{푥 = 2 2 t, 푦 = 3 + 2 2 t (t 为参数),在 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4sin θ-2cos θ. (1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与 y 轴的交点为 P,直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|PA||PB|的值. 7.(2016 山西太原模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中, 直线 l 的极坐标方程为 θ=π 4(ρ∈R),曲线 C 的参数方程为{푥 = 2cos휃, 푦 = sin휃. (1)写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程; (2)过点 M 且平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A,B 两点,若|MA|·|MB|=8 3,求点 M 的轨迹. 8.(2016 河南六市第一次联考)在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为{푥 = 1 + 푡, 푦 = 푡 - 3 (t 为参数),在以直角坐 标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos휃 sin2θ . (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求△AOB 的面积. 答案全解全析 A 组　基础题组 1. 解析　椭圆 C 的普通方程为 x2+y2 4 =1. 将直线 l 的参数方程{x = 1 + 1 2t, y = 3 2 t 代入 x2+y2 4 =1,得(1 + 1 2t)2 + ( 3 2 t)2 4 =1,即 7t2+16t=0,解得 t1=0,t2=-16 7 . 所以 AB=|t1-t2|=16 7 . 2. 解析　(1)C1 的普通方程为 x2 3 +y2=1. C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0. (2)由题意,可设点 P 的直角坐标为( 3cos α,sin α).因为 C2 是直线,所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d(α) 的最小值,d(α)=| 3푐표푠α + 푠푖푛α - 4| 2 = 2|푠푖푛(α + 휋 3) - 2|. 当且仅当 α=2kπ+휋 6(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为 2,此时 P 的直角坐标为(3 2,1 2). 3. 解析　(1)由题意可得 C2 的普通方程为 x2 2 +y2=1,l 的参数方程为{x = 1 + 3 2 t, y = 1 2t (t 为参数). (2)将{x = 1 + 3 2 t, y = 1 2t 代入 x2 2 +y2=1,整理得 5t2+4 3t-4=0. 设点 C,D 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=-4 3 5 , 且|AC|=t1,|AD|=-t2,又|AB|=2|OA|cos 30°= 3, 故|AC|-|BD|=|AC|-(|AD|-|AB|)=|AC|-|AD|+|AB|=t1+t2+ 3= 3 5 . 4. 解析　(1)已知直线 l 的参数方程为{x = t - 3, y = 3t (t 为参数), 将 t=x+3 代入 y= 3t,得直线 l 的普通方程为 3x-y+3 3=0. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ2-4ρcos θ=0, 则曲线 C 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4. (2)设点 P(2+2cos θ,2sin θ),θ∈R,则 d=| 3(2 + 2푐표푠θ) - 2푠푖푛θ + 3 3| 2 = |4푐표푠(θ + 휋 6) + 5 3| 2 , ∴d 的取值范围是[5 3 - 4 2 ,5 3 + 4 2 ]. B 组　提升题组 5. 解析　(1)由曲线 C1 的参数方程为{x = t2, y = t (t 为参数),可得 C1 的普通方程为 y2=x, 将{x = ρ푐표푠θ, y = ρ푠푖푛θ 代入上式得 ρsin2θ=cos θ, 即 C1 的极坐标方程为 ρsin2θ-cos θ=0. (2)将曲线 C2 的极坐标方程 ρ2+2ρcos θ-4=0 化为直角坐标方程为 x2+y2+2x-4=0, 将 y2=x 代入上式得 x2+3x-4=0,解得 x=1 或 x=-4(舍去), 当 x=1 时,y=±1,所以 C1 与 C2 交点的平面直角坐标为 A(1,1),B(1,-1), ∵ρA= 1 + 1= 2,ρB= 1 + 1= 2,tan θA=1,tan θB=-1,ρ≥0,0≤θ<2π,∴θA=휋 4,θB=7휋 4 . 故 C1 与 C2 交点的极坐标为( 2,휋 4),( 2,7휋 4 ). 6. 解析　(1)∵直线 l 的参数方程为{x = 2 2 t, y = 3 + 2 2 t, ∴y-x=3+ 2 2 t- 2 2 t=3,∴直线 l 的普通方程为 x-y+3=0, ∵ρ2=4ρsin θ-2ρcos θ, ∴曲线 C 的直角坐标方程为(x+1)2+(y-2)2=5. (2)将直线 l 的参数方程{x = 2 2 t, y = 3 + 2 2 t (t 为参数)代入曲线 C:(x+1)2+(y-2)2=5,化简得 t2+2 2t-3=0,所以 t1t2=-3, 故|PA||PB|=|t1t2|=3. 7. 解析　(1)直线 l 的直角坐标方程为 y=x,曲线 C 的普通方程为 x2 2 +y2=1. (2)设点 M(x0,y0),过点 M 的直线为 l1,则 l1 的参数方程为{x = x0 + 2t 2 , y = y0 + 2t 2 (t 为参数), 将直线 l1 的参数方程代入曲线 C 的方程可得 3t2 2 + 2tx0+2 2ty0+x20+2y20-2=0, 由|MA|·|MB|=8 3,得|x20 + 2y20 - 2 3 2 |=8 3. 即x20+2y20=6, x2+2y2=6 表示一椭圆, 设直线 l1 为 y=x+m,将 y=x+m 代入 x2 2 +y2=1 得, 3x2+4mx+2m2-2=0, 由 Δ>0 得- 3

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