百师联盟2020届高三练习题五（全国II卷）数学（理）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 百师联盟2020届高三练习题五 全国卷 理科数学试卷 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；‎ ‎【详解】解：因为，，所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.‎ ‎2.某科研团队共有63名加盟成员，为了解每位成员对某项目的完成程度，将各成员按1至63的编号用系统抽样方法抽取9人进行调查，若抽到的最小编号为6，则抽到的最大编号为（ ）‎ A. 48 B. 50 C. 62 D. 63‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样定义，求出样本分段间隔，然后在第一个号码的基础上依次加上分段间隔，即可求解.‎ ‎【详解】由系统抽样方法从编号为1到63的63名成员中抽取9名成员进行调查，‎ 把63人分成9组，每组7人，抽到的最小编号为6，‎ 则后面抽取的8人编号依次为13，20，27，34，41，48，55，62，‎ 所以抽到的最大编号为62.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查系统抽样的应用，确定分段间隔是解题的关键，属于基础题.‎ - 24 -‎ ‎3.函数的定义域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据使式子有意义，则对数函数的真数大于零，偶次方根的被开方数大于等于零，得到不等式组，解得即可；‎ ‎【详解】解：根据函数解析式，有，解得，所以函数的定义域为，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域，关键是使式子有意义，一元二次不等式及对数不等式的解法，属于中档题.‎ ‎4.已知圆，圆，动圆与，都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆与圆的位置关系可得，由双曲线的定义可得，即可求解.‎ ‎【详解】设动圆的半径为，由题意知，，‎ ‎，则，‎ 所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，‎ - 24 -‎ 且，，则，‎ 则动圆圆心的轨迹方程为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查定义法求轨迹方程，考查双曲线的定义和标准方程，属于基础题.‎ ‎5.“若一条直线的斜率为”是“此直线的倾斜角为”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若一条直线的斜率为但不一定在，而直线时，直线斜率不存在，根据充分必要条件的定义，可得出结论.‎ ‎【详解】若一条直线的斜率为，‎ 则此直线的倾斜角为，‎ 且；若一条直线的倾斜角为，‎ 则此直线的斜率不一定为，‎ 如时，不存在，‎ 综上：“若一条直线的斜率为”是“此直线的倾斜角为”‎ 的既不充分也不必要条件.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，注意直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.‎ ‎6.如图的程序框图表示求式子的值，则框图中①处可填入的条件为( )‎ - 24 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后输出的结果，从而得出所求．‎ ‎【详解】解：根据题意可知该循环体运行情况如下：‎ 第1次：，‎ 第2次：，‎ 第3次：，‎ 第4次：，‎ 第5次：，‎ 第6次：，‎ 因为输出结果是的值，，且下一个因数为，所以①处可填的条件为“”，故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及周期性的运用，属于基础题．‎ ‎7.函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式为（ ）‎ - 24 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象可得周期，求出可排除B、C，再利用过点区分选项A、D即可.‎ ‎【详解】由图象知, ,‎ 所以，得，故排除选项B、C，‎ 又图象过点，代入选项A不成立，代入选项D成立，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，由图象求解析式，属于中档题.‎ ‎8.已知向量，的夹角为，，，与共线，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知设，根据向量数量积运算律求出，转化为求关于的函数最小值，即可求解.‎ ‎【详解】由题意知，，，设，‎ - 24 -‎ 则 ‎，‎ 所以，即的最小值为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查向量模长、向量数量积的运算，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎9.函数在的图象大致为( )‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数的奇偶性，当时，，求出函数的导函数，即可判断函数的单调性，再由特殊值即可得解；‎ ‎【详解】解：因为，‎ 且，故函数为偶函数，‎ 当时，，‎ 所以，，‎ - 24 -‎ ‎，即在有极值点，在=1处的切线斜率为负，且，满足上述的选项为A；故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的识别，导数的应用，属于中档题.‎ ‎10.已知，则（ ）‎ A. 1764 B. 1806 C. 1836 D. 1872‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，求出，令即可.‎ ‎【详解】设 ‎，‎ 令得，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查有关展开式系数和问题，解题的关键要把问题转化为导函数的系数和，属于基础题.‎ ‎11.若点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，设函数(且)恒过定点，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数过定点，抛物线焦点为已知圆的圆心，圆的半径为，所以，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，转化为求的最小值即可.‎ - 24 -‎ ‎【详解】令，函数恒过定点，‎ 抛物线方程为， 焦点，准线的方程为，‎ 圆的标准方程为，其圆心为，半径，如图，‎ 过点作于点，由抛物线定义可知，‎ 则 ‎(当，，三点共线时，等号成立)，‎ 所以的最小值为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查线段和的最小值求法、抛物线定义的应用，正确转化是解题的关键，属于中档题.‎ ‎12.已知函数，关于的方程恰有8个不同实数解，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，原方程等价于，令，做出函数图象，根据方程有8个解，确定与有8个交点时的取值范围，从而得到关于的方程解的范围，即可求解.‎ ‎【详解】，令，‎ 则方程转化为，‎ 解得或，‎ 而则的图象如图，‎ 要使关于的方程有8个不同实数解，‎ 则关于的方程的两不同的根需满足，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查方程解的个数求参数，换元转化是解题的关键，数形结合是解题的依赖，意在考查直观想象、数学计算能力，属于中档题.‎ 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若复数，则________‎ ‎【答案】‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据复数的除法将化简，再根据复数的乘方计算可得；‎ ‎【详解】解：因为，，，，‎ 所以，所以.故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法及乘方运算，属于基础题.‎ ‎14.已知，，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据两角和的余弦公式计算可得；‎ ‎【详解】解：因为，且，，所以，，‎ 所以 ‎①，又，所以②，由①②，知.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及两角和的余弦公式，属于中档题.‎ ‎15.如图，在矩形中，，为中点，将沿直线翻折成，连接，则当三棱锥的体积最大时，________.‎ - 24 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件当平面平面时，三棱锥的体积最大，取中点，中点，则有，求出，解即可.‎ ‎【详解】当平面平面时，三棱锥的体积最大，‎ 如图，取中点，中点，连接，，，‎ ‎，平面平面，‎ 平面，平面，，‎ 在中，，‎ 在中，，‎ 所以为正三角形，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题以图形翻折、体积最值为背景，考查空间线面位置关系，注意空间垂直间的相互转化，考查数形结合思想，属于中档题.‎ ‎16.在中，，，分别为，，所对的边，且满足，已知的外接圆的面积为，设函数在上的最小值为，则的最大值为________.‎ - 24 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由恒成立，可得的最小值为，将问题转化为求的最大值，将已知等式角化边，得到，求出，再由已知可求出外接圆的半径，进而求出，结合，利用余弦定理和基本不等式，即可求出的最大值.‎ ‎【详解】因为，根据正弦定理，‎ 得，整理得，‎ 由余弦定理可得，又，‎ 设的外接圆半径为，‎ 因为，解得，‎ 由，‎ 由余弦定理得，‎ 由基本不等式可得，‎ 解得，当且仅当时,等号成立 又可得，‎ 即得取值范围是；‎ 因为函数的导函数，‎ ‎，恒成立 所以函数在上单调递增，‎ 则其最小值，‎ 则的最大值.‎ 故答案为：12.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查正弦定理、余弦定理、基本不等式解三角形，解题的关键是确定函数最值与三角形的关系，属于中档题.‎ 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.已知数列的前项和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的整数的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用计算可得；‎ ‎（2）利用裂项相消法求出数列的前项和为，判断的单调性，即可得到参数的取值范围；‎ ‎【详解】解：（1）当时，，，两式作差得，，所以，结合得.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ 因为 所以，数列单调递增，‎ - 24 -‎ ‎.‎ 令，解得，所以.‎ ‎【点睛】本题考查定义法求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.‎ ‎18.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，中点，为线段上的一个动点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）当二面角的余弦值为时，证明：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，连，可证四边形为平行四边形，得到，即可证明结论；‎ ‎（2）不妨设，如下图建立空间直角坐标系，设，得到坐标， 求出平面的法向量坐标，取平面法向量为，根据已知求出，证明即可.‎ ‎【详解】（1）如图，取中点，连，‎ 因为是的中点，所以，‎ 在直三棱柱中，，‎ 因为中点，所以，‎ 所以四边形为平行四边形，，‎ - 24 -‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面；‎ ‎（2）不妨设，如图建立空间直角坐标系，‎ 设，，，，‎ 所以，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，令，‎ 所以平面的一个法向量，‎ 平面的一个法向量，‎ 所以，‎ 此时，，‎ 所以，即.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查空间线面位置关系，考查直线与平面平行、异面直线垂直的证明，利用空间向量法求二面角的余弦，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.‎ ‎19.为了了解某年龄段人群的午休睡眠质量，随机抽取了1000名该年龄段的人作为被调查者，统计了他们的午休睡眠时间，得到如图所示频率分布直方图.‎ ‎（1）求这1000名被调查者的午休平均睡眠时间；(同一组中数据用该组区间中点作代表)‎ ‎（2）由直方图可以认为被调查者的午休睡眠时间服从正态分布，其中，分别取被调查者的平均午休睡眠时间和方差，那么这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟(含43.91)的人数估计有多少？‎ ‎（3）如果用这1000名被调查者的午休睡眠情况来估计某市该年龄段所有人的午休睡眠情况，现从全市所有该年龄段人中随机抽取2人(午休睡眠时间不高于43.91分钟)和3人(午休睡眠时间不低于73.09分钟)进行访谈后，再从抽取的这5人中推荐3人作为代表进行总结性发言，设推荐出的代表者午休睡眠时间均不高于43.91分钟的人数为，求的分布列和数学期望.‎ 附：①，.②，则 - 24 -‎ ‎；；.‎ ‎【答案】（1）.（2）(人).（3）分布列答案见解析，数学期望为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图求出各组的概率，按照平均数公式求解；‎ ‎（2）由（1）和已知可得，服从正态分布中，，，根据正态分布的对称性，求出中午休睡眠时间低于43.91分钟的概率，即可求出结论；‎ ‎（3）的可能值为0，1，2，求出对应值的概率，列出随机变量分布列，再由期望公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意知，第一组至第六组的中间值分别为35，45，55，65，75，85；‎ 对应的概率值为0.1，0.2，0.3，0.15，0.15，0.1；‎ ‎.‎ 所以，这1000名被调查者的午休平均睡眠时间.‎ ‎（2）因为服从正态分布，，‎ 所以，‎ 所以这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟(含43.91)的人数估计有(人).‎ ‎（3）的可能值为0，1，2，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故的分布列为 - 24 -‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 所以，.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图求平均数、正态分布求概率、求离散型随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎20.已知椭圆过点，且离心.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设，是椭圆上异于点的任意两点，直线，，的斜率分别为，，，且，试问当时，直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2）直线恒过一定点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知得，再由离心率和关系，即可求解；‎ ‎（2）根据已知可得直线斜率存在，设其方程为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，得到横坐标的关系，并将用横坐标表示，再利用横坐标关系，化简得到等量关系，即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）将点代入椭圆方程得，‎ ‎，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）直线恒过一定点.‎ - 24 -‎ 理由：直线的斜率存在，设其方程为，‎ ‎，，联立椭圆及直线方程，‎ 消去得，‎ ‎，‎ ‎，，，，①，‎ ‎，，代入①得，，‎ 解得(舍)或，‎ 因为，‎ 此时成立，‎ 所以恒过定点.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，注意根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于较难题.‎ ‎21.知函数.‎ ‎（1）讨论函数的极值；‎ ‎（2）若函数在上恰有两个零点，求取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案见解析.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，以解的个数以及解的大小关系为分类标准，对进行讨论，求出 - 24 -‎ 的解，得到单调区间，进而求出极值；‎ ‎（2）问题转化为函数与函数的图像恰有两个交点，根据（1）中的结论，确定与极值的关系，即可求出结论.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎①当时，令，‎ 时，，单调递减；‎ 时，，单调递增；‎ 所以有极小值，无极大值；‎ ‎②当时，令或，‎ ‎(ⅰ)时，时，，单调递减；时，，单调递增；‎ 时，，单调递减；‎ 所以有极小值，‎ 有极大值；‎ ‎(ⅱ)时，时，，单调递减；‎ 时，，单调递增；‎ 时，，单调避减；‎ 所以有极小值，有极大值；‎ ‎(ⅲ)当时，，在上单调递减，无极值.‎ - 24 -‎ ‎（2）若函数在上恰有两个零点，‎ 即函数与函数的图像恰有两个交点，由（1）知，‎ ‎①当时，‎ 只须满足，所以；‎ ‎②当时，‎ ‎(ⅰ)时，结合（1）知，时，单调递减，，‎ 只须满足或，‎ 解得或(舍)或；‎ ‎(ⅱ)时，结合（1）知只须满足或，‎ 解得(舍)或或(舍)；‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性与极值、函数的零点，解题的关键是确定参数分类讨论的标准，考查计算求解能力，属于较难题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与轴，轴分别交于，两点，点是圆上任一点，求面积的最大值.‎ - 24 -‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接消元得到圆的普通方程，首先将直线的极坐标方程化简，再利用公式将极坐标方程转化为直角坐标方程；‎ ‎（2）首先求出直线与轴，轴的交点，设点的坐标为，表示出点到直线的距离，求出距离最值，再根据面积公式计算可得；‎ ‎【详解】解：（1）由消去参数，得，‎ 所以圆的普通方程为.‎ 由，得，‎ 所以直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）直线与轴，轴的交点为，，‎ 设点的坐标为，则点到直线的距离为 ‎，‎ 所以，又，‎ 所以面积的最大值是.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化，参数方程的应用，极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于中档题.‎ ‎23.设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）已知，若，，恒成立，求的取值范围.‎ - 24 -‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意可得，再解分式不等式即可；‎ ‎（2）首先将函数化为分段函数的形式，即可判断函数的单调性，即可得到再根据基本不等式计算可得；‎ ‎【详解】解：（1）或，又，所以不等式的解集为或.‎ ‎（2）则在单调递减，在单调递增，所以，当且仅当即时取“=”，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式及分式不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎ ‎ - 24 -‎ - 24 -‎