2019年高考试题——数学（上海卷）解析版

2019年高考试题——数学（上海卷）解析版

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数 学 答 案 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．（4 分）已知集合 ，2，3，4， ， ，5， ，则 　 ， 　． 【解答】解： 集合 ，2，3，4， ， ，5， ， ， ． 故答案为： ， ． 2．（4 分）计算 　2　． 【解答】解： ． 故答案为：2． 3．（4 分）不等式 的解集为　 　． 【解答】解：由 得 ，即 故答案为： ， ． 4．（4 分）函数 的反函数为　 　． 【解答】解：由 解得 ， 故答案为 5．（4 分）设 为虚数单位， ，则 的值为　 　 【解答】解：由 ，得 ，即 ， ． {1A  5} {3B  6} A B  {3 5}  {1A  5} {3B  6} {3A B  5} {3 5} 2 2 2 3 1lim 4 1n n n n n     2 2 2 2 3 122 3 1lim lim 24 14 1 1n n n n n n n n n n           | 1| 5x   ( 6,4) | 1| 5x   5 1 5x    6 4x   { 6 4) 2( ) ( 0)f x x x  1( ) ( 0)f x x x   2 ( 0)y x x  x y 1( ) ( 0)f x x x   1f  ( ) ( 0)x x x  i 3 6 5z i i   | |z 3 6 5z i i   3 6 6z i  2 2z i  2 2| | | | 2 2 2 2z z     故答案为： ． 6．（4 分）已知 ，当方程有无穷多解时， 的值为　 　． 【解答】解：由题意，可知： 方程有无穷多解， 可对① ，得： ． 再与②式比较，可得： ． 故答案为： ． 7．（5 分）在 的展开式中，常数项等于　15　． 【解答】解： 展开式的通项为 令 得 ， 故展开式的常数项为第 3 项： ． 故答案为：15． 8．（5 分）在 中， ， ，且 ，则 　 　． 【解答】解： ， 由正弦定理可得： ， 由 ，可得： ， ， 由余弦定理可得： ， 解得： ． 故答案为： ． 9．（5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动， 其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有　24　种（结果用数值表 示） 【解答】解：在五天里，连续的 2 天，一共有 4 种，剩下的 3 人排列，故有 种， 故答案为：24． 2 2 2 2 2 1 4 x y x a y a       a 2   2 4 4 2x y   2a   2 61( )x x  61( )x x  3 6 2 1 6 r r rT C x    3 9 02 r   2r  2 6 15C  ABC 3AC  3sin 2sinA B 1cos 4C  AB  10 3sin 2sinA B  3 2BC AC  3AC  2BC   1cos 4C   2 2 21 3 2 4 2 3 2 AB      10AB  10 3 34 24A  10．（5 分）如图，已知正方形 ，其中 ，函数 交 于点 ，函数 交 于点 ，当 最小时，则 的值为　 　． 【解答】解：由题意得： 点坐标为 ， ， 点坐标为 ， ， 当且仅当 时，取最小值， 故答案为： ． 11．（5 分）在椭圆 上任意一点 ， 与 关于 轴对称，若有 ，则 与 的夹角范围为　 ， 　． 【解答】解：设 ，则 点 ， 椭圆 的焦点坐标为 ， ， ， ， ， ， 结合 可得： ， 故 与 的夹角 满足： ， OABC ( 1)OA a a  23y x BC P 1 2y x  AB Q | | | |AQ CP a 3 P ( 3 a )a Q 1( , )a a 1 1| | | | 23 3 aAQ CP a   … 3a  3 2 2 14 2 x y  P Q P x 1 2 1F P F P   „ 1F P 2F Q 1[ arccos 3  ] ( , )P x y Q ( , )x y 2 2 14 2 x y  ( 2 0) ( 2 0)  1 2 1F P F P   „ 2 22 1x y   „ 2 2 14 2 x y  2 [1y  2] 1F P 2F Q  2 2 2 1 2 2 22 2 2 2 1 2 2 2 3 8cos 3 [ 12 2( 2 ) 8 F P F Q x y y y yF P F Q x y x                    1]3 故 ， 故答案为： ， 12．（5 分）已知集合 ， ， ， ，存在正数 ，使得对任意 ， 都有 ，则 的值是　1 或 　． 【解答】解：当 时，当 ， 时，则 ， ， 当 ， 时，则 ， ， 即当 时， ；当 时， ，即 ； 当 时， ，当 时， ，即 ， ，解得 ． 当 时，当 ， 时，则 ， ． 当 ， ，则 ， ， 即当 时， ，当 时， ，即 ， 即当 时， ，当 时， ，即 ， ，解得 ． 1[ arccos 3   ] 1[ arccos 3  ] [A t 1] [ 4t t  9]t  0 A  a A Aa   t 3 0t  [a t 1]t  [ 4ta    9]t  [ 4a t  9]t  [ta   1]t  a t 9ta  „ 9a t  ta  … ( 9)t t   1a t  4ta  … 4a t  1ta  „ ( 1)( 4)t t    ( 9) ( 1)( 4)t t t t     1t  1 0 4t t    [a t 1]t  [ta   1]t  [ 4a t  9]t  [ 4ta    9]t  a t 1ta  „ 1a t  ta  … ( 1)t t   4a t  9ta  „ 9a t  4ta  … ( 4)( 9)t t    ( 1) ( 4)( 9)t t t t     3t   当 时，同理可得无解． 综上， 的值为 1 或 ． 故答案为：1 或 ． 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13．（5 分）下列函数中，值域为 ， 的是 　　 A． B． C． D． 【解答】解： ， 的值域为 ，故 错 ， 的定义域为 ， ，值域也是 ， ，故 正确． ， 的值域为 ，故 错 ， 的值域为 ， ，故 错． 故选： ． 14．（5 分）已知 、 ，则“ ”是“ ”的 　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【解答】解： 等价， ，得“ ”， “ ”是“ ”的充要条件， 故选： ． 15．（5 分）已知平面 、 、 两两垂直，直线 、 、 满足： ， ， ， 9 0t   t 3 3 [0 ) ( ) 2xy  1 2y x tany x cosy x A 2xy  (0, ) A B y x [0 ) [0 ) B C tany x ( , )  C D cosy x [ 1 1] D B a b R 2 2a b | | | |a b ( ) 2 2a b 2 2| | | |a b | | | |a b  2 2a b | | | |a b C    a b c a  b  c  则直线 、 、 不可能满足以下哪种关系 　　 A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面 【解答】解：如图 1，可得 、 、 可能两两垂直； 如图 2，可得 、 、 可能两两相交； 如图 3，可得 、 、 可能两两异面； 故选： ． 16．（5 分）以 ， ， ， 为圆心的两圆均过 ，与 轴正半轴分别交于 ， ， ， ，且满足 ，则点 的轨迹是 　　 A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【解答】解：因为 ，则 ， 同理可得 ， 又因为 ， 所以 ， 则 ， 即 ， 则 ， 设 ，则 为直线， 故选： ． a b c ( ) a b c a b c a b c B 1(a 0) 2(a 0) (1,0) y 1(y 0) 2(y 0) 1 2 0lny lny  1 2 1 1( , )a a ( ) 2 2 1 1 1 1|1 |r a a y    2 1 11 2y a  2 2 21 2y a  1 2 0lny lny  1 2 1y y  1 2(1 2 )(1 2 ) 1a a   1 2 1 22a a a a  1 2 1 1 2a a  1 2 1 1 x a y a     2x y  A 三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18＝76 分） 17．（14 分）如图，在正三棱锥 中， ． （1）若 的中点为 ， 的中点为 ，求 与 的夹角； （2）求 的体积． 【解答】解：（1） ， 分别为 ， 的中点， ， 则 为 与 所成角， 在 中，由 ， ， 可得 ， 与 的夹角为 ； （2）过 作底面垂线，垂直为 ，则 为底面三角形的中心， 连接 并延长，交 于 ，则 ， ． ． ． 18．（14 分）已知数列 ， ，前 项和为 ． （1）若 为等差数列，且 ，求 ； （2）若 为等比数列，且 ，求公比 的取值范围． P ABC 2, 3PA PB PC AB BC AC      PB M BC N AC MN P ABC M N PB BC / /MN PC PCA AC MN PAC 2PA PC  3AC  2 2 2 3 3cos 2 42 2 3 PC AC PAPCA PC AC        AC MN 3arccos 4 P O O AO BC N 3 2AN  2 13AO AN  2 22 1 3PO     1 1 3 33 33 2 2 4P ABCV        { }na 1 3a  n nS { }na 4 15a  nS { }na lim 12nn S   q 【解答】解：（1） ， ， ； （2） ， 存在， ， 存在， 且 ， ， ， ， 或 ， 公比 的取值范围为 ， ， ． 19．（14 分）改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生 总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为 2012 年 年我国卫生货用中 个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比． 个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出年份 卫生总费 用（亿 元） 绝对数（亿元） 占卫生总费用 比重 绝对数（亿元）占卫生 总费 用比 重 绝对数 （亿 元） 占卫生总 费用 比重 2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 2015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45 （数据来源于国家统计年鉴） （1）指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化 趋势： （2）设 表示 1978 年，第 年卫生总费用与年份 之间拟合函数 研究 函数 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份． 【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． 4 1 3 3 3 15a a d d     4d  2( 1)3 4 22n n nS n n n      3(1 ) 1 n n qS q    lim nn S  1 1q    lim nn S  1 1q   0q   3(1 ) 3lim lim 1 1 n nn n qS q q      3 121 q  3 4q  1 0q   30 4q   q ( 1 0) (0 3)4 2015 (%) (%) (%) 1t  n t 6.4420 0.1136 357876.6053( ) 1 tf t e   ( )f t （2） 是减函数，且 ， 在 上单调递增， 令 ，解得 ， 当 时，我国卫生总费用超过 12 万亿， 预测我国到 2028 年我国卫生总费用首次超过 12 万亿． 20．（16 分）已知抛物线方程 ， 为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段 与 抛物线的交点，定义： ． （1）当 时，求 ； （2）证明：存在常数 ，使得 ； （3） ， ， 为抛物线准线上三点，且 ，判断 与 的关 系． 【解答】解：（1）抛物线方程 的焦点 ， ， ， 的方程为 ，代入抛物线的方程，解得 ， 抛物线的准线方程为 ，可得 ， ， ； （2）证明：当 时， ， 设 ， ， ，则 ， 联立 和 ，可得 ， ， ， 6.4420 0.1136ty e  6.4420 0.1136 0ty e   6.4420 0.1136 357876.6053( ) 1 tf t e    N 6.4420 0.1136 357876.6053 1200001 te   50.68t   51t…  2 4y x F P Q PF | |( ) | | PFd P FQ 8( 1, )3P   ( )d P a 2 ( ) | |d P PF a  1P 2P 3P 1 2 2 3| | | |PP P P 1 3( ) ( )d P d P 22 ( )d P 2 4y x (1,0)F 8( 1, )3P   8 43 2 3PFk   PF 4 ( 1)3y x  1 4Qx  1x   2 64 10| | 2 9 3PF    1 5| | 14 4QF    | | 8( ) | | 3 PFd P QF  ( 1,0)P  2 ( ) | | 2 2 2 2a d P PF      ( 1, )PP y 0Py  : 1PF x my  2Pmy   1x my  2 4y x 2 4 4 0y my   2 24 16 16 2 2 12Q m my m m     2 2 2 2 2 12 ( ) | | 2 1 2 (2 2 1 ) P P Q y md P PF m yy mm m m          2 21 2 12 2m m m m m       则存在常数 ，使得 ； （3）设 ， ， ，则 ， 由 ， ， 则 ． 21 ．（ 18 分 ） 已 知 等 差 数 列 的 公 差 ， ， 数 列 满 足 ， 集 合 ． （1）若 ，求集合 ； （2）若 ，求 使得集合 恰好有两个元素； （3）若集合 恰好有三个元素： ， 是不超过 7 的正整数，求 的所有可能的值． 【解答】解：（1） 等差数列 的公差 ， ，数列 满足 ，集合 ． 当 ， 集合 ，0， ． （2） ，数列 满足 ，集合 恰好有两个元素，如图： 根据三角函数线，①等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰好有两个元素， 此时 ， ② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称， 如图 ， ，此时 ， 综上， 或者 ． a 2 ( ) | |d P PF a  1 1( 1, )P y 2 2( 1, )P y 3 3( 1, )P y 2 2 2 1 3 2 1 3 2 1 3 22[ ( ) ( )] 4 ( ) | | | | 2 | | 4 4 2 4d P d p d P PF P F P F y y y           2 2 2 2 2 21 3 1 3 1 3 1 34 4 2 ( ) 4 4 4 ( ) 162 y yy y y y y y             2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3( 4 4 ) [( ) 16] 2 4 4 2 8y y y y y y y y           2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3(4 )(4 ( 4) 4( ) 8 4( ) 0y y y y y y y y y y          1 3 2( ) ( ) 2 ( )d P d P d P  { }na (0d  ] { }nb sin( )n nb a  *| ,nS x x b n N   1 20, 3a d   S 1 2a  d S S n T nb b  T T  { }na (0d  ] { }nb sin( )n nb a  *| ,nS x x b n N    1 20, 3a d   3{ 2S   3}2  1 2a  { }nb sin( )n nb a  *| ,nS x x b n N   { }na y S d  1a OA S 2a 3a y OB OC 2 3d  2 3d  d  （3）①当 时， ，集合 ， ， ，符合题意． ②当 时， ， ， ，或者 ， 等差数列 的公差 ， ，故 ， ，又 ，2 当 时满足条件，此时 ，1， ． ③当 时， ， ， ，或者 ， 因为 ， ，故 ，2． 当 时， ，1， 满足题意． ④当 时， ， ， 所以 或者 ， ， ，故 ，2，3． 当 时， ，满足题意． ⑤ 当 时 ， ， ， 所 以 ， 或 者 ， ， ，故 ，2，3 当 时，因为 对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有 ， ， ， ，不符合条件． 当 时，因为 对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有 ， ， 不是整数，不符合条件． 当 时，因为 对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有 或者 ， ，或者 ，此时， 均不是整数，不符 3T  3n nb b  1{S b 2b 3}b 4T  4n nb b  sin( 4 ) sinn na d a  4 2n na d a k   4 2n na d k a   { }na (0d  ] 4 2n na d a k   2 kd  1k  1k  {S   1} 5T  5n nb b  sin( 5 ) sinn na d a  5 2n na d a k   5 2n na d k a   (0d  ] 1k  1k  {sin10S  sin }10  6T  6n nb b  sin( 6 ) sinn na d a  6 2n na d a k   6 2n na d k a   (0d  ] 1k  1k  3 3{ ,0, }2 2S  7T  7n nb b  sin( 7 ) sin sinn n na d a a   7 2n na d a k   7 2n na d k a   (0d  ] 1k  1k  1 7~b b 2m na a   2 2 7d m n    7m n  7m  2k  1 7~b b 2m na a   2 4 7d m n    m n 3k  1 7~b b 2m na a   4 2 6 7d m n    4 6 7d m n    m n 合题意． 综上， ，4，5，6． 3T 