2019-2020学年江西省“山江湖”协作体高二（统招班）上学期第一次联考数学（文）试题 解析版

2019-2020学年江西省“山江湖”协作体高二（统招班）上学期第一次联考数学（文）试题 解析版

‎ 山江湖协作体联考2019-2020学年高二数学试卷（文科）（统招班）‎ 命题人：俞彬 审题人：叶文君 时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题)‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）‎ ‎1．如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是．‎ A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．a2＞b2 D．＜‎ ‎2．下列结论不正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 ‎3．不等式的解集是：‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．盐水溶液的浓度公式为，向盐水中再加入克盐，那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5．在平面直角坐标系中，不等式组 为正常数)表示的平面区域的面积是4，则的最大值为（ ）‎ A.8 B.6 C.4 D.0‎ ‎6．在 表示的平面区域内的一个点是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数的最小值为 （ ）‎ A.-1 B.1 C.2 D.3‎ ‎8．三边，满足，则三角形是（ ）‎ A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 ‎9．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎10．设正项等差数列的前n项和为，若，则的最小值为 A.1 B. C. D.‎ ‎11．已知向量，若则的最小值为 A.12 B. C.15 D.‎ ‎12．若正数满足，则的最小值为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 二、填空题: （本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．中,三边所对的角分别为,若,则角______.‎ ‎14．下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______‎ ‎∵‎ 即……①‎ 即……②‎ 即……③‎ ‎∵ 可证得……④‎ ‎15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________.‎ ‎16．设关于x，y的不等式组表示的平面区域为．记区域上的点与点距离的最小值为，若，则的取值范围是__________；‎ 三、解答题:本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）已知.‎ ‎(1)求证： ；‎ ‎(2)若，且，求证：．‎ ‎18．（本小题满分12分）（本小题满分10分）已知关于的函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.‎ ‎19．（本小题满分12分）在中，，且的边a，b，c所对的角分别为A，B，C.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，试求周长的最大值.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知数列的前项的和，满足，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足：，求数列的前项的和.‎ ‎21．（本小题满分12分）如图，三条直线型公路，，在点处交汇，其中与、与的夹角都为，在公路上取一点，且km，过 铺设一直线型的管道，其中点在上，点在上（，足够长），设km，km．‎ ‎（1）求出，的关系式；‎ ‎（2）试确定，的位置，使得公路段与段的长度之和最小．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数，且的解集为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）解关于的不等式，；‎ ‎（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.‎ ‎ 高二数学试卷答案（文科）（统招班）‎ 第I卷（选择题)‎ 一、单选题 ‎1．如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是．‎ A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．a2＞b2 D．＜‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据不等式的性质判断即可．‎ 解：∵a＜b＜0，‎ ‎∴a﹣b＜0，a+b＜0，＞，‎ ‎∴（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2＞0，即a2＞b2，‎ 故C正确，C，D不正确 当c=0时，ac=bc，故B不一定正确，‎ 故选：C．‎ 考点：不等式的基本性质．‎ ‎2．下列结论不正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A正确.对于B选项，若，则，故B选项错误.对于C、D选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C、D正确.综上所述，本小题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.‎ ‎3．不等式的解集是：‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把不等式转化为不等式，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，不等式，等价于，解得，‎ 即不等式的解集为，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4．盐水溶液的浓度公式为，向盐水中再加入克盐，那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 向盐水溶液中加入克盐，得出加入后的盐水浓度为，根据盐水更咸，说明盐的浓度更大，由此得出不等关系，可得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 向盐水溶液中加入克盐，盐水的浓度变为，此时浓度变大，盐水更咸，即，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等关系的确定，解题时要将题中的文字信息转化为数学语言，考查转化思想，属于基础题.‎ ‎5．在平面直角坐标系中，不等式组 为正常数)表示的平面区域的面积是4，则的最大值为（ ）‎ A.8 B.6 C.4 D.0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出约束条件的可行域，再分析不等式组（a为常数）表示的平面区域面积是4，我们可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出实数a的值，最后利用几何意义求出最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意画出不等式组表示的平面区域，如图所示．‎ 解得三角形的三个顶点为A（0，0），B（a，﹣a），C（a，a）‎ 所以S△ABC＝×2a×a＝4，‎ 解得a＝2或a＝﹣2（舍去）．‎ 在△ABC中满足z＝x-3y的最大值是点B（2，-2），代入得最大值等于8．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划求最值的问题，解题的关键先根据可行域的面积计算a的值，属于基础题.‎ ‎6．在 表示的平面区域内的一个点是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 把 ， ， ，代入，可知 使得不等式成立， 在表示的平面区域内的一个点是． 故选A．‎ ‎7．函数的最小值为 （ ）‎ A.-1 B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 降次-配凑-均值不等式 ‎【详解】‎ ‎，则，，当时取“=”，所以正确选项为A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用均值不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题 ‎8．三边，满足，则三角形是（ ）‎ A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式得出，将三个不等式相加得出，由等号成立的条件可判断出的形状。‎ ‎【详解】‎ 为三边，，由基本不等式可得，‎ 将上述三个不等式相加得，当且仅当时取等号，‎ 所以，是等边三角形，故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形形状的判断，考查基本不等式的应用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”条件的应用，考查推理能力，属于中等题。‎ ‎9．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式可得到a＝2，b＝1，得到g(x)＝2|x＋1|，该函数图象可看做y＝2|x|的图像向左平移1个单位得到，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，‎ 所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，‎ 当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，‎ 所以a＝2，b＝1，‎ 此时g(x)＝2|x＋1|＝‎ 此函数图象可以看作由函数y＝的图象向左平移1个单位得到．‎ 结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求最值和指数函数的图像和性质，利用基本不等式求出a＝2，b＝1是本题的关键，考查学生的逻辑推理能力和综合分析能力，属中档题.‎ ‎10．设正项等差数列的前n项和为，若，则的最小值为 A.1 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用等差数列的求和公式得出，再利用等差数列的基本性质得出，再将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的前项和公式可得，所以，，‎ 由等差数列的基本性质可得，‎ ‎，‎ 所以，，当且仅当，即当时，等号成立，‎ 因此，的最小值为，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎11．已知向量，若则的最小值为 A.12 B. C.15 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，所以3a+2b=1,再利用基本不等式求最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以3a+2b=1,‎ 所以.‎ 当且仅当时取到最小值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量平行的坐标表示和利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎12．若正数满足，则的最小值为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知得出的符号及的值，再根据基本不等式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵ ；‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式，注意基本不等式成立的条件“一正二定三相等”.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．中,三边所对的角分别为,若,则角______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.‎ ‎【详解】‎ 由得，由于，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎14．下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______‎ ‎∵‎ 即……①‎ 即……②‎ 即……③‎ ‎∵ 可证得……④‎ ‎【答案】③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于，所以所以即.‎ ‎【详解】‎ 由于，，‎ 所以即，所以第③步推理错误.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式8条基本性质，其中出问题的是不等式两边同时乘以一个负数，不等号要改变方向.‎ ‎15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在等式两边同时除以得到，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，，且，在等式两边同时除以得，‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，‎ 由于不等式恒成立，则，即，‎ 解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.‎ ‎16．设关于x，y的不等式组表示的平面区域为．记区域上的点与点距离的最小值为，若，则的取值范围是__________；‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式组表示的平面区域，又直线过点，因此可对分类讨论，以求得，当时，是到直线的距离，在其他情况下，表示与可行域内顶点间的距离．分别计算验证．‎ ‎【详解】‎ 如图，区域表示在第一象限（含轴的正半轴），直线过点，表示直线的上方，当时，满足题意，当时，直线与轴正半轴交于点，当时，，当时，，满足题意，当时，，不满足题意，‎ 综上的取值范围是．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，解题关键是在求时要分类讨论．是直接求两点间的距离还是求点到直线的距离，这要区分开来．‎ 三、解答题 ‎17．已知.‎ ‎(1)求证： ；‎ ‎(2)若，且，求证：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 已知直接对使用均值不等式；‎ ‎(2)不等式分母为，通过降次构造，再使用均值不等式。‎ ‎【详解】‎ 证明：(1)；‎ ‎(2)，当且仅当或时取“=”.‎ ‎【点睛】‎ ‎“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式。‎ ‎18．已知关于的函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由时，根据，利用一元二次不等式的解法，即可求解；‎ ‎（Ⅱ）由对任意的恒成立，得到，利用基本不等式求得最小值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意，当时，函数，‎ 由，即，解得或，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）因为对任意的恒成立，即，‎ 又由，当且仅当时，即时，取得最小值，‎ 所以，即实数的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及合理利用基本不等式求得最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．在中，，且的边a，b，c所对的角分别为A，B，C.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，试求周长的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角公式化简得到答案.‎ ‎（2）利用余弦定理得到，再利用均值不等式得到，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 原式 ‎ ‎（2），‎ ‎ ‎ 时等号成立.‎ 周长的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，周长的最大值，意在考查学生解决问题的能力.‎ ‎20．已知数列的前项的和，满足，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足：，求数列的前项的和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据得到，再得到，两式作差，判断出数列为等差数列，进而可得出结果；‎ ‎（2）根据（1）的结果，利用错位相减法，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解： ‎ 两式相减得：.........①，‎ 则有.....②‎ ‎①-②得：，‎ 所以数列是等差数列，‎ ‎①当，即 ‎ ‎①即.‎ ‎（2）①，②‎ 两式相减得 ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项公式，以及错位相减法求和，熟记等差数列的通项公式、求和公式，以及错位相减法的一般步骤即可，属于常考题型.‎ ‎21．如图，三条直线型公路，，在点处交汇，其中与、与的夹角都为，在公路上取一点，且km，过铺设一直线型的管道，其中点在上，点在上（，足够长），设km，km．‎ ‎（1）求出，的关系式；‎ ‎（2）试确定，的位置，使得公路段与段的长度之和最小．‎ ‎【答案】（1）（2）当时，公路段与段的总长度最小 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）（法一）观察图形可得，由此根据三角形的面积公式，建立方程，化简即可得到的关系式；‎ ‎（法二）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，找到各点坐标，根据三点共线，即可得到结论；‎ ‎（2）运用“乘1法”，利用基本不等式，即可求得最值，得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）（法一）由图形可知．‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，即． ‎ ‎（法二）以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 由，，三点共线得．‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 则（），‎ 当且仅当（km）时取等号．‎ 答：当时，公路段与段的总长度最小为8．.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形的面积公式应用，以及利用基本不等式求最值，着重考查了推理运算能力，属于基础题．‎ ‎22．已知函数，且的解集为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）解关于的不等式，；‎ ‎（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据韦达定理即可。‎ ‎（2）分别对三种情况进行讨论。‎ ‎（3）带入，分别对时三种情况讨论。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的解集为可得1，2是方程的两根，‎ 则，‎ ‎（2）‎ 时，‎ 时，‎ 时，‎ ‎（3），为上的奇函数 当时，‎ 当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，在时，取得最大值，即；‎ 当时，，则函数在上单调递减，在上单调递减，且时，，在时，取得最小值，即；‎ 对于任意的都有则等价于 或（）‎ 则的最小值为1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含参数的一元二次不等式，以及绝对值不等式，在解决含参数的不等式时首先要对参数进行讨论。本题属于难题。‎