高考理科数学专题复习练习6.1数列的概念与表示

高考理科数学专题复习练习6.1数列的概念与表示

第六章数列 ‎6.1数列的概念与表示 专题2‎ 数列的通项公式 ‎■(2015辽宁丹东一模,数列的通项公式,解答题,理17)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.‎ ‎(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ 解:(1)由an+2=2an+1-an+2得,‎ an+2-an+1=an+1-an+2.‎ 由bn=an+1-an得,bn+1=bn+2,‎ 即bn+1-bn=2.‎ 又b1=a2-a1=1,‎ 所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.‎ ‎(2)由(1)得,bn=1+2(n-1)=2n-1,‎ 由bn=an+1-an得,an+1-an=2n-1.‎ 则a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…,an-=2(n-1)-1,‎ 所以an-a1=1+3+5+…+2(n-1)-1‎ ‎==(n-1)2.‎ 又a1=1,‎ 所以{an}的通项公式an=(n-1)2+1=n2-2n+2.‎ ‎6.2等差数列及其前n项和 专题2‎ 等差数列的性质 ‎■(2015河北保定二模,等差数列的性质,选择题,理6)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知S7=49,则a2,a6的等差中项是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B.7 C.±7 D.‎ 解析:在等差数列{an}中,由S7=49,得a4=7.‎ ‎∴a2,a6的等差中项a4=7.‎ 答案:B 专题3‎ 等差数列前n项和公式与最值 ‎■(2015辽宁锦州一模,等差数列前n项和公式与最值,选择题,理11)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a2=10,S4=36,则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是(　　)‎ A. B.(-1,-1) ‎ C. D.‎ 解析:等差数列{an}中,设首项为a1,公差为d,‎ 由S2=10,S4=36,得解得a1=3,d=4.‎ ‎∴an=a1+(n-1)d=3+4(n-1)=4n-1.‎ 则P(n,4n-1),Q(n+2,4n+7).‎ ‎∴过点P和Q的直线的一个方向向量的坐标可以是(2,8)=-4.‎ 答案:A ‎6.3等比数列及其前n项和 专题1‎ 等比数列的概念与运算 ‎■(2015河北邯郸二模,等比数列的概念与运算,填空题,理15)已知数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*).若存在正实数λ使得数列{an+1+λan}为等比数列,则λ=　　　　　. ‎ 解析:由题意可知:an+2+λan+1=(1+λ)an+1+an=(1+λ)·,‎ ‎∴=λ,解得λ=.‎ ‎∵a1=a2=1,∴a3=2,‎ 易验证当n=1时满足题意.故λ=.‎ 答案:‎ 专题2‎ 等比数列的性质 ‎■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,等比数列的性质,选择题,理4)已知数列{an},{bn}满足bn=log2an,n∈N*,其中{bn}是等差数列,且a8·a2 008=,则b1+b2+b3+…+b2 015=(　　)‎ A.log22 015 B.2 015 C.-2 015 D.1 008‎ 解析:∵数列{an},{bn}满足bn=log2an,n∈N*,其中{bn}是等差数列,‎ ‎∴数列{an}是等比数列.‎ 由a8·a2008=,可得,即a1008=.‎ ‎∴a1·a2015=a2·a2014=…=a1007·a1009=,‎ ‎∴b1+b2+b3+…+b2015=log2(a1·a2·…·a2015)=log2=-2015.‎ 答案:C ‎■(2015河北衡水中学高三一调,等比数列的性质,选择题,理3)已知正数组成的等比数列{an},若a1·a20=100,那么a7+a14的最小值为(　　)‎ A.20 B.25 C.50 D.不存在 解析:∵正数组成的等比数列{an},a1·a20=100,‎ ‎∴a7+a14≥2=2=2=20.‎ 当且仅当a7=a14时,a7+a14取最小值20.‎ 答案:A ‎■(2015辽宁锦州一模,等比数列的性质,选择题,理4)已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于(　　)‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ 解析:∵数列{an}是各项不为0的等差数列,‎ 由a4-2+3a8=0,得(a4+a8)-2+2a8=0,‎ ‎2a6-2+2a8=0,‎ ‎2(a6+a8)-2=0,∴4a7-2=0,解得a7=2.‎ 则b7=a7=2.‎ 又数列{bn}是等比数列,‎ 则b2b8b11=·b7q·b7q4==23=8.‎ 答案:D 专题3‎ 等比数列前n项和公式 ‎■(2015江西南昌三模,等比数列前n项和公式,解答题,理17)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d≠0,等比数列{bn}满足a1=b1,a2=b2,a5=b3.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设数列{Cn}对任意n∈N*均有+…+=an+1,求数列{cn}的前n项和Sn.‎ 解:(1)由题意a2=1+d,a5=1+4d,且a1,a2,a5成等比数列,‎ ‎∴(1+d)2=1+4d,又d≠0,d=2,‎ ‎∴an=1+(n-1)d=2n-1.‎ 又b2=a2=3,∴q=3,bn=3n-1.‎ ‎(2)∵+…+=an+1,①‎ ‎∴=a2,∴c1=3.‎ 又+…+=an(n≥2),②‎ ‎①-②得=an+1-an=2,‎ ‎∴cn=2bn=2·3n-1(n≥2),∴cn=‎ 当n=1时,Sn=c1=3,‎ 当n≥2时,Sn=c1+c2+…+cn=3+2·(31+32+…+3n-1)=3+2·=3n.‎ 所以Sn=3n.‎ ‎■(2015河北邯郸二模,等比数列前n项和公式,选择题,理7)设数列{an}的前n项之积为Pn=a1a2…an(n∈N*),若Pn=2,则+…+=(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析:由Pn=a1a2…an(n∈N*),Pn=2,得a1a2…an=,‎ ‎∴a1=20=1,a1a2…an-1=(n≥2),‎ 两式作商得an=2n-1(n≥2),‎ 当n=1时上式成立,‎ ‎∴an=2n-1(n≥2).‎ 则,‎ 由,‎ ‎∴是以1为首项,以为公比的等比数列,‎ ‎∴+…+.‎ 答案:B ‎■(2015河北衡水中学高三一调,等比数列前n项和公式,选择题,理12)已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+2),当x∈[0,2)时,f(x)=-2x2+4x.设f(x)在[2n-2,2n)上的最大值为an(n∈N*),且{an}的前n项和为Sn,则Sn=(　　)‎ A.2- B.4- C.2- D.4-‎ 解析:∵定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+2),∴f(x+2)=f(x),‎ ‎∴f(x+4)=f(x+2)=f(x),f(x+6)=f(x+4)=f(x),…,f(x+2n)=f(x).‎ 设x∈[2n-2,2n),则x-(2n-2)∈[0,2).‎ ‎∵当x∈[0,2)时,f(x)=-2x2+4x,‎ ‎∴f[x-(2n-2)]=-2[x-(2n-2)]2+4[x-(2n-2)].‎ ‎∴f(x)=-2(x-2n+1)2+2.‎ ‎∴f(x)=21-n[-2(x-2n+1)2+2],x∈[2n-2,2n),‎ ‎∴x=2n-1时,f(x)的最大值为22-n.‎ ‎∴an=22-n.‎ ‎∴{an}表示以2为首项,为公比的等比数列.‎ ‎∴{an}的前n项和为Sn==4-.‎ 答案:B ‎■(2015辽宁葫芦岛二模,等比数列前n项和公式,选择题,理5)已知数列{an}满足2an+1+an=0,a2=1,则{an}的前9项和等于(　　)‎ A.-(1-2-9) B.(1-2-9)‎ C.-(1+2-9) D.(1-2-9)‎ 解析:∵2an+1+an=0,a2=1,‎ ‎∴a1=-2a2=-2,‎ 又∵=-,∴数列{an}是以-2为首项,-为公比的等比数列,‎ ‎∴Sn=[(-1)n·2-n-1],‎ ‎∴S9=(-2-9-1)=-(1+2-9).‎ 答案:C ‎■(2015辽宁葫芦岛二模,等比数列前n项和公式,填空题,理16)在数列{an}中,a1≠0,an+1=an,Sn为{an}的前n项和.记Rn=,则数列{Rn}的最大项为第　　　　项. ‎ 解析:∵a1≠0,an+1=an,‎ ‎∴an=a1()n-1=a1·,‎ ‎∴an+1=a1·.‎ Sn=,S2n=.‎ ‎∴Rn=,‎ 比较R3,R4,R5可知当n=4时,Rn取得最大值.‎ 答案:4‎ ‎6.4数列求和 专题2‎ 错位相减求和 ‎■(2015辽宁锦州二模,错位相减求和,解答题,理17)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)设Tn为数列的前n项和,求Tn;‎ ‎(3)设bn=,证明:b1+b2+b3+…+bn<.‎ 解:(1)由n∈N*时,nan+1=Sn+n(n+1),①‎ 得n≥2时,(n-1)an=Sn-1+(n-1)n.②‎ ‎①-②,得nan+1-(n-1)an=an+2n,‎ 即an+1-an=2(n≥2).‎ 又当n=1时,a2=S1+1×2.‎ 所以a2=a1+2.‎ 所以对一切正整数n,有an+1-an=2,所以数列{an}为以2为首项,2为公差的等差数列,故an=2n.‎ ‎(2)由(1)得,‎ 所以Tn=1++…+,①‎ 两边同乘以,得Tn=+…+,②‎ ‎①-②,得Tn=1++…+,‎ 整理得Tn=4-.‎ ‎(3)证明:由(1)知,bn=‎ ‎=.‎ 所以b1+b2+b3+…+bn=‎ ‎=‎ ‎=.‎ 专题3‎ 裂项相消求和 ‎■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,裂项相消求和,解答题,理17)在△ABC中,角A,B,C的对应边分别是a,b,c,且满足b2+c2=bc+a2.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)已知等差数列{an}的公差不为零,若a1cos A=1,且a2,a4,a8成等比数列,求的前n项和Sn.‎ 解:(1)∵b2+c2-a2=bc,‎ ‎∴,‎ ‎∴cosA=,‎ ‎∵A∈(0,π),∴A=.‎ ‎(2)设{an}的公差为d,‎ ‎∵a1cosA=1,且a2,a4,a8成等比数列,‎ ‎∴a1==2,且=a2·a8,‎ ‎∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),且d≠0,解得d=2.‎ ‎∴an=2n.‎ ‎∴,‎ ‎∴Sn=+…+=1-.‎ ‎■(2015河北保定二模,裂项相消求和,解答题,理17)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公比为q的等比数列{bn}的首项为,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,‎ 则解得 所以an=2+3(n-1)=3n-1,bn=.‎ ‎(2)‎ ‎=+22n+1,‎ 即有Tn=‎ ‎=(22n+3-8)‎ ‎=.‎ ‎6.5数列的综合应用 专题3‎ 数列中的探索性问题 ‎■(2015辽宁丹东二模,数列中的探索性问题,填空题,理16)设数列{an}的前n项和是Sn,数列{Sn}的前n项乘积是Tn,若Sn+Tn=1,若数列{an}中的项最接近,则n0=　　　　. ‎ 解析:当n=1时,S1+T1=1,即S1=;‎ 当n=2时,S2+S1S2=1,即S2=;‎ 当n=3时,S3+S1S2S3=1,即S3=;‎ ‎…;‎ 猜想Sn=,从而an=Sn-Sn-1=.‎ 令n0(n0+1)=2015,∴n0∈(44,45).‎ ‎∵a44=,a45=,‎ ‎∴n0=44.‎ 答案:44‎