江苏省泰州市泰州中学2020届高三上学期开学考试数学（理）试题

江苏省泰州市泰州中学2020届高三上学期开学考试数学（理）试题

江苏省泰州中学高三期初考试试卷数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎1.已知集合，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集定义直接求解可得结果.‎ ‎【详解】由补集定义可知：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.‎ ‎2.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），则圆的普通方程为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用消去参数即可得到结果.‎ ‎【详解】由可得：‎ 即圆的普通方程为：‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化普通方程，属于基础题.‎ ‎3.设 ，则“ ”是“ ”的______________条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得1＜x＜3；由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，‎ 由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，‎ ‎ （1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），‎ 故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，‎ 故答案为：充分不必要 ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的值为_______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照程序框图运行程序，直到时输出结果即可.‎ ‎【详解】按照程序框图运行程序，输入，‎ 不偶数，则，，循环 是偶数，则，，，循环 不是偶数，则，，输出结果：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果，属于基础题.‎ ‎5.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人.‎ ‎【答案】900‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数.‎ ‎【详解】由题意可知，高二年级抽取：人 抽样比为：‎ 该校学生总数为：人 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占比相同.‎ ‎6.两位男同学和两位女学生随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用捆绑法可求得两位女同学相邻的排法数；通过全排列求得四位同学排成一列的排法总数，根据古典概型概率公式求得结果.‎ ‎【详解】两位女同学相邻的排法共有：种排法 四位同学排成一列共有：种排法 两位女同学不相邻的概率：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查古典概型求解概率问题，关键是能够利用排列的知识求解出符合题意的排法数和总体的排法数，涉及到利用捆绑法解决排列中的相邻问题.‎ ‎7.已知，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据二倍角公式可将已知等式化简为，根据可求得；根据同角三角函数关系，结合可求得结果.‎ ‎【详解】由二倍角公式可知：，‎ 又 ，即 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.‎ ‎8.设函数为参数，且的部分图象如图所示，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象首先求得最小正周期，从而解得；代入可得到，结合即可求得结果.‎ ‎【详解】由图象可得最小正周期：，即 ‎ 又 ，‎ ‎，‎ 又 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.‎ ‎9.已知是奇函数，且当时，.若，则__________.‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，代入条件即可得解.‎ ‎【详解】因为是奇函数，且当时，．‎ 又因为，，‎ 所以，两边取以为底的对数得，所以，即．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．‎ ‎10.若，则的值为___.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】令，得；‎ 令，得；‎ 两式相加得 ‎．‎ 点睛： “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.‎ ‎11.在中，角的对边分别为，已知，，角的平分线交边于点，其中，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理可得；利用和可构造方程求得，代入余弦定理的式子可求出，代入三角形面积公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理可得：‎ 又 ‎ ‎，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查解三角形中三角形面积的求解问题，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用；本题的解题关键是能够通过面积桥的方式构造方程求得和之间的关系，进而结合余弦定理求得所需的值.‎ ‎12.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打局， 则的期望值______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数学期望计算公式求得结果.‎ ‎【详解】由题意可知所有可能的取值为：‎ 则；；‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型.‎ ‎13.已知，则的值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两角和差正切公式可构造方程求得或；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将化为，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为，代入即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 解得：或 当时，‎ 当时，‎ 综上所述，‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.‎ ‎14.设直线分别是函数图象上点处的切线，与垂直相交于点，且与分别与轴相交于点，则的面积的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先可确定分别在分段函数的两段上，设，且，通过导数可求得切线斜率；根据相互垂直可得到；通过的方程可求得两点坐标，从而得到；联立求得点横坐标，从而将面积表示为，根据可求得面积的取值范围.‎ ‎【详解】由题意可知，分别在分段函数的两段上 设，且 ‎ ‎， ，即：‎ 方程为：；方程为：‎ ‎， ‎ 联立可得点横坐标为：‎ 且在上单调递减 ‎ ‎，即的面积的取值范围为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查三角形面积取值范围的求解问题，求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；本题的解题关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.‎ ‎15.已知矩阵 ，矩阵 ，直线经矩阵所对应的变换得到直线，直线又经矩阵所对应的变换得到直线.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求直线的方程.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据矩阵的乘法运算可建立关于的方程组，解方程组求得结果；（2）根据（1）可得矩阵，得到变换公式，从而可得所求方程.‎ ‎【详解】（1） 变换到的变换公式为：‎ 可得到直线即直线 ‎，解得：，‎ ‎（2）由（1）知： 变换到的变换公式为：‎ 直线的方程为：，即 ‎【点睛】本题考查矩阵的乘法运算和直线在矩阵下的线性变换，关键是能够通过矩阵运算得到线性变换的公式，属于常考题型.‎ ‎16.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，由正弦定理化简已知等式可求，结合范围0＜B＜π，可求B的值．‎ ‎（2）由（1）及正弦定理可求b的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，根据三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】（1）在△ABC中，因为，，‎ 所以． ‎ 因为，‎ 由正弦定理，得．‎ 所以． ‎ 若，则，与矛盾，故．‎ 于．‎ 又因为，‎ 所以． ‎ ‎（2）因为，，‎ 由（1）及正弦定理，得，‎ 所以． ‎ 又 ‎=‎ ‎． ‎ ‎ 所以△的面积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎17.如图，平面，，，，，.‎ ‎（1）直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点建立空间直角坐标系；（1）表示出的坐标，首先求解出平面的法向量，根据直线与平面所成角的正弦值等于可求得结果；（2）设得到，可求解出平面的法向量，从而得到；根据二面角余弦值与法向量夹角余弦值的关系可建立方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】以为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：‎ ‎（1）由题意得：，，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量 ‎，令，则， ‎ 设直线与平面所成角为 即直线与平面所成角的正弦值为：‎ ‎（2）设，则 ‎ 设平面的法向量 ‎，令，则， ‎ 由（1）知，平面的法向量 又二面角的余弦值为 ，解得：‎ 线段的长为：‎ ‎【点睛】本题考查空间向量法求解直线与平面所成角、利用平面与平面所成角求解其他量的问题；关键是能够熟练掌握直线与平面所成角、平面与平面所成角的向量求法，对于学生的计算能力有一定要求，属于常考题型.‎ ‎18.如图，一楼房高为米，某广告公司在楼顶安装一块宽为米的广告牌，为拉杆，广告牌的倾角为，安装过程中，一身高为米的监理人员站在楼前观察该广传牌的安装效果：为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方：设米，该监理人员观察广告牌的视角.‎ ‎（1）试将表示为的函数；‎ ‎（2）求点的位置，使取得最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）当米时，取得最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）作，垂足为；作，垂足为，交于；作，垂足为；在和分别用表示出和，根据，利用两角和差正切公式可求得结果；（2）根据（1）的结论，设，可得，利用基本不等式可求得时，取最大值，又在上单调递增，可知时，最大，从而可得到结果.‎ ‎【详解】（1）作，垂足为；作，垂足为，交于；作，垂足为，如下图所示：‎ 在中，‎ 在中，‎ 监理人员必须在的右侧 ‎ 综上所述：‎ ‎（2）由（1）可得：‎ 令，则 ‎（当且仅当，即时取等号）‎ 当，即时，取最大值 又且在上单调递增 最大时，最大 当米时，取得最大值 ‎【点睛】本题考查函数模型的实际应用问题，涉及到两角和差正切公式的应用、利用基本不等式求解函数的最值问题；关键是能够建立起准确的函数模型，在求解最值时，将函数化为符合基本不等式的形式；易错点是忽略了函数模型中定义域的要求.‎ ‎19.已知函数，，其中a为常数．‎ 当时，设函数，判断函数在上是增函数还是减函数，并说明理由；‎ 设函数，若函数有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入a的值，求出的解析式，判断函数的单调性即可；‎ 由题意把函数有且仅有一个零点转化为有且只有1个实数根，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】（1）由题意，当时，，则，‎ 因为，又由在递减，‎ 所以在递增，‎ 所以根据复合函数的单调性，可得函数在单调递增函数；‎ 由，得，即，‎ 若函数有且只有1个零点，‎ 则方程有且只有1个实数根，‎ 化简得，‎ 即有且只有1个实数根，‎ 时，可化为，即，‎ 此时，满足题意，‎ 当时，由得：‎ ‎，解得：或，‎ 当即时，方程有且只有1个实数根，‎ 此时，满足题意，‎ 当即时，‎ 若是的零点，则，解得：，‎ 若是的零点，则，解得：，‎ 函数有且只有1个零点，所以或，，‎ 综上，a的范围是，．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性，函数的零点，以及二次函数的性质等知识点的综合应用，同时把函数有且仅有一个零点转化为方程有且只有1个实数根，合理令二次函数的性质，分类讨论是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎20.已知实数，设函数 ‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）对任意均有 求的取值范围.‎ 注：为自然对数的底数.‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.‎ ‎(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.‎ ‎【详解】(1)当时，，函数的定义域为，且：‎ ‎，‎ 因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.‎ ‎(2)由，得，‎ 当时，，等价于，‎ 令，则，‎ 设，，‎ 则，‎ ‎（i）当时，，‎ 则，‎ 记，‎ 则 列表讨论：‎ ‎ x ‎ ‎ ‎ （）‎ ‎ 1‎ ‎ （1，+∞）‎ ‎ p′（x）‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ P（x）‎ ‎ p（）‎ 单调递减 ‎ 极小值p（1）‎ 单调递增 ‎ ‎ ‎（ii）当时，，‎ 令，‎ 则，‎ 故上单调递增，，‎ 由（i）得，‎ ‎，‎ 由（i）（ii）知对任意，‎ 即对任意，均有，‎ 综上所述，所求的a的取值范围是．‎ ‎【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎ ‎