【数学】2019届一轮复习人教A版平面向量学案

【数学】2019届一轮复习人教A版平面向量学案

平面向量 ‎【考点梳理】‎ ‎1.平面向量的两个重要定理 ‎(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.‎ ‎(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.‎ ‎2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ‎(1)a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎3.平面向量的三个性质 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝‎ .‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，‎ 则cos θ＝＝.‎ ‎4.平面向量的三个锦囊 ‎(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1).‎ ‎(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是＝(＋).‎ ‎(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心＋＋＝0G.‎ ‎【题型突破】‎ 题型一、平面向量的有关运算 ‎【例1】(1)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.‎ ‎(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.‎ ‎【答案】(1)－2　(2) ‎【解析】(1)由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，‎ 所以a·b＝m×1＋1×2＝0，得m＝－2.‎ ‎(2)＝＋＝＋ ‎＝＋(－)＝－＋，‎ ‎∵＝λ1＋λ2，‎ ‎∴λ1＝－，λ2＝，‎ 因此λ1＋λ2＝.‎ ‎【类题通法】‎ 对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用.其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.‎ ‎【对点训练】‎ 如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ A.2 B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】法一　如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，＝，＝，＝(1，1).‎ ‎∵＝λ＋μ＝λ＋μ＝，‎ ‎∴解之得故λ＋μ＝.‎ 法二　以，作为基底，‎ ‎∵M，N分别为BC，CD的中点，‎ ‎∴＝＋＝＋，‎ ＝＋＝－，‎ 因此＝λ＋μ＝＋，‎ 又＝＋，‎ 因此解得λ＝且μ＝.‎ 所以λ＋μ＝.‎ 题型二、平面向量数量积的运算 ‎【例2】(1)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)‎ A.I1＜I2＜I3 B.I1＜I3＜I2‎ C.I3＜I1＜I2 D.I2＜I1＜I3‎ ‎(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则· 的值为________；·的最大值为________.‎ ‎【答案】(1)C　(2)1　1‎ ‎【解析】(1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOI3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，∴OB·，‎ 即I1>I3.∴I3

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