2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题13 算法、推理与证明、复数（测）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题13 算法、推理与证明、复数（测）（解析版）

专题13 算法推理与证明复数单元—测 ‎(一)选择题(12*5=60分)‎ ‎1. 【山东省烟台市2020届高三月考 】若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【分析】把复数的分母部分进行实数化即可，，化简后即可得到对应点，进而得到答案．‎ ‎【解析】由题可得，则在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选D．‎ ‎2、【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2020届高三模拟】根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于 A．1 B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题，，此时，继续运行，，程序运行结束，得 ‎．‎ ‎3.【河南省郑州市2020届高三第三次质量检测】已知，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】先根据复数的运算，求得复数z，再求其模长的平方即可．‎ ‎【解析】因为，所以，故选C．‎ ‎【名师点睛】本题考查了复数的知识点，懂的运算求得模长是解题的关键，属于基础题．‎ ‎4.如图给出了计算的值的程序框图，其中①②分别是( )‎ ‎(A)， (B)， ‎ ‎(C)， (D)，‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为2,4,6,8，…，60构成等差数列，首项为2，公差为2，所以2＋2(n－1)＝60，解得n＝30，所以该程序循环了30次，即i>30，n＝n＋2，故选C．‎ ‎5.【2020届福建省厦门市高三年级上学期期末】习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前项和的程序框图.执行该程序框图，输入，则输出的( )‎ A. 100 B. 140 C. 190 D. 250‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，当输入时，程序的功能是计算并输出．计算可得．选C． ‎ ‎6. 设x∈R，i是虚数单位，则“x＝－3”是“复数z＝(x2＋2x－3)＋(x－1)i为纯虚数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】复数z＝(x2＋2x－3)＋(x－1)i为纯虚数，则x2＋2x－3＝0且x－1≠0，解得x＝－3，故x＝－3⇔复数z为纯虚数，选C.‎ ‎7.若复数满足，其中为虚数电位，则的虚部是 A． B． C．3 D．-3‎ ‎【答案】C ‎【解析】设,代入原式得到 结合待定系数法得到,解得,故选C.‎ ‎8.【湖南省株洲市2020届高三检测(一)】下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入、、的值分别为6、8、0，则输出和的值分别为( )‎ A．0，3 B．0，4 C．2，3 D．2，4‎ ‎【答案】C ‎【解析】执行循环，得，结束循环，输出，此时.‎ ‎9. 如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　)‎ A. B. C.－1 D.＋1‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据“黄金椭圆”的性质是⊥，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”方程为－＝1，则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．在“黄金双曲线”中，∵⊥，∴·＝0.‎ 又＝(c，b)，＝(－a，b)．∴b2＝ac.而b2＝c2－a2，∴c2－a2＝ac.在等号两边同除以a2得e＝，‎ ‎10. 【广东省佛山市2020届高三检测】执行如图所示程序框图，若输出的值为，在条件框内应填写( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】模拟执行程序，可得：i＝1，S＝10，满足判断框内的条件，第1次执行循环体，S＝10﹣21＝8，i＝2，满足判断框内的条件，第2次执行循环体，S＝8﹣22＝4，i＝3，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S＝4﹣23＝﹣4，i＝4，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S＝﹣4﹣24＝﹣20，i＝5，‎ 此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为﹣20，则条件框内应填写：i＜5，故选：D．‎ ‎11. 【湖南省株洲市2020届高三统一检测】复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)‎ A．[－1,1] B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2 θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sin θ＋4＝4sin2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sin θ∈.‎ ‎12.定义域为R的函数,若对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，现给出如下函数：①②③④其中为“H函数”的有( )‎ A．①② B．③④ C． ②③ D． ①②③‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知对任意两个不相等的实数，都有，等价于恒成立，因此在其定义域是增函数.对于①，由在或时，知①不是“函数”；对于②，由知，②是“函数”；对于③，由知③是“函数”；对于④，由对数函数的图象和性质，当时，其为增函数，当时，其为减函数，④不是“函数”.故选.‎ ‎(二)填空题(4*5=20分)‎ ‎13.【2020届福建省厦门市高三年级第一学期期末】已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，根据＝λ＋μ得(3，－4)＝‎ λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴解得∴λ＋μ＝1.‎ ‎14.执行右边的程序框图，输出的的值为 .  ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】初始条件 成立方 ；运行第一次： 成立；‎ 运行第二次： 不成立；输出的值 结束，所以答案应填：‎ ‎15. 【陕西省榆林市2020届高考模拟第一次测试】我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点且法向量为的直线(点法式)方程为，化简得，类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面(点法式)方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】类比直线方程求法，利用空间向量的数量积可得(﹣1)(x-2)+(﹣2)•(y﹣3)+1•(z﹣4)＝0，化简得．故答案为：‎ ‎16.【四川省宜宾市叙州区2020届高三上期末】如图所示的程序框图，输出的的值为　　‎ ‎． ．2 ． ．‎ ‎【答案】A ‎【解析】模拟执行程序框图，可得，满足条件， 满足条件，满足条件，满足条件，由此可见S的周期为3， 故当k=2012时不满足条件 ，退出循环，输出的值为.故选A.‎ 三、解答题(共6道小题，满分70分)‎ ‎17. (12分) 如图所示，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0、3＋2i、－2＋4i，试求：‎ ‎(1)、所表示的复数；‎ ‎(2)对角线所表示的复数；‎ ‎(3)求B点对应的复数．‎ ‎【答案】(1)－3－2i.，－3－2i(2)5－2i(3)1＋6i.‎ ‎【解析】 (1)＝－，所以所表示的复数为－3－2i.因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.(2)＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)＝＋＝＋，所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.‎ ‎18. (12分)【2020届吉林省乾安县第七中学高三模拟】已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.‎ ‎【答案】或或或 ‎【解析】设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，‎ 代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，根据复数相等得 解得或或或 故所求复数为或或或 ‎19. (12分) 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎【解析】(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝.‎ ‎(2)归纳三角恒等式为sin2 α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2 α ‎＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)‎ ‎＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.‎ ‎20、等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ ‎【解析】(1)由已知得所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．‎ ‎(2)证明：由(1)，得bn＝＝n＋.‎ 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，‎ 则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.‎ 因为p，q，r∈N*，所以所以2＝pr，(p－r)2＝0.‎ 所以p＝r，这与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ ‎21在平行六面体中，．‎ 求证：(1)；‎ ‎(2)．‎ ‎【答案】答案见解析 ‎【解析】‎ 证明：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，‎ 所以AB∥平面A1B1C．‎ ‎(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．‎ 又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，‎ 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．‎ ‎22. 【江苏省清江中学2020届高三调研】已知函数，记为的导数，.‎ ‎(1)求；(2)猜想的表达式，并证明你的猜想.‎ ‎【答案】(1)，(2)见解析 ‎【解析】(1，，， ‎ ‎(2)猜想：.下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，，结论成立；‎ ‎②假设(且)时，结论成立，即.‎ 当时，‎ ‎.所以当时，结论成立.‎ 所以由①②可知对任意的结论成立.‎