2019-2020学年福建省莆田第九中学高二上学期第一次月考数学试题 （Word版）

2019-2020学年福建省莆田第九中学高二上学期第一次月考数学试题 （Word版）

福建省莆田第九中学 2019-2020 学年高二上学期第一次月考数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1、圆 x2 + y2 - 4x - 2 y +1 = 0 的圆心在（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2、在正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中，若 E 是 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于（ ）‎ A .AC B. BD C. A1 D ‎D. A1 D1‎ ‎3、已知直线l 过圆 x2 + (y - 3)2 = 4 的圆心，且与直线 x + y +1 = 0 垂直，则直线l 的方程为 ‎（ ）‎ A． x + y - 2 = 0‎ ‎‎ B． x - y + 2 = 0‎ C． x + y - 3 = 0 D． x - y + 3 = 0‎ ‎4、两条平行直线3x - 4 y - 3 = 0 和 mx - 8y + 5 = 0 之间的距离是（ ）‎ ‎11 8 15 4‎ A． B． C． D．‎ ‎10 5 7 5‎ ‎5、圆C1‎ ‎: (x + 2)2 + (y - 2)2 = 1 与圆C ‎: x2 + y2 - 2x + 2 y +1 = 0 公切线的条数为（ ）‎ ‎2‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6、圆 x2 + y2 + 4x - 2 y -1 = 0 上存在两点关于直线ax - 2by + 2 = 0(a > 0, b > 0) 对称，则 ‎1 + 4 的最小值为（ ）‎ a b A．8 B．9‎ C．16 D．18‎ ‎7、已知三点 A(1,3), B(4,2), C(1,-7)，则 DABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）‎ ‎6‎ ‎5‎ A．10 B． 4 C． 5 D．‎ ‎8、已知点 A(2,2), B(-1,3) ，若直线 kx - y -1 = 0 与线段 AB 有交点，则实数 k 的取值范围 是（ ）‎ ø ‎9、一个球与一个正三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面垂直）的三个侧面和两个底 ‎32‎ 面都相切，已知这个球的体积为 ‎π，那么这个正三棱柱的体积是（ ）‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ A. 96 B.16 C. 24 D. 48‎ PB ‎26‎ ‎26‎ ‎26‎ ‎10、已知点 P 为圆C：(x -1)2 + (y - 2)2 = 4 上一点， A(0,-6) B(4,0)，则 PA + 的最大值为（ ）‎ ‎26‎ A． + 2 B．‎ ‎+ 4 C． 2 + 4‎ ‎D． 2 + 2‎ ‎11、已知圆C : x2 + y2 - 8x +15 = 0 ，直线 y = kx + 2 上至少存在一点 P ，使得以点 P 为圆心，半径为 1 的圆与圆C 有公共点，则 k 的最小值是（ ）‎ - 4‎ A. ‎3‎ ‎- 5‎ B. ‎4‎ ‎- 3‎ C. ‎5‎ ‎- 5‎ D. ‎3‎ ‎12、已知点 P(x, y)是直线 y = 2 2x - 4 上一动点， PM 与 PN 是圆C : x2 + (y -1)2 = 1 的 两条切线， M , N 为切点，则四边形 PMCN 的最小面积为( )‎ ‎4 2‎ A. B．‎ ‎3 3‎ ‎5 5‎ C． D．‎ ‎3 6‎ 二、填空题（本大题共 4 个小题. 每小题 5 分，共 20 分）‎ ‎13、入射光线从 P(2,1) 出发，经 x 轴反射后，通过点Q(4,3)，则入射光线所在直线的方程为 ‎ .‎ ‎14、从原点O 向圆 x2 + y2 -12 y + 27 = 0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ‎ ．‎ ‎15、已知S, A, B, C 是球O 表面上的点, SA ^ 面 ABC, AB ^ BC, SA = AB = 1, BC = 3,‎ 则球O 的体积为 .‎ ì3x - y - 6 £ 0‎ í ‎16、设 x, y 满足约束条件ïx - y + 2 ³ 0‎ î ïx ³ 0, y ³ 0‎ ‎‎ ‎,若目标函数 z = ax + by(a > 0, b > 0) 的最大值为 ‎12 ,则 2 + 3 的最小值为 ．‎ a b 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本题满分 10 分）‎ 如图，菱形 ABCD 与正三角形 BCE 的边长均为 2，且平面 ABCD⊥平面 BCE， FD ^平面 ABCD，‎ ‎3‎ FD = ．‎ ‎(1)求证： EF / / 平面 ABCD； (2)求证：平面 ACF⊥平面 BDF．‎ ‎18.（本题满分 12 分）‎ 已知两直线l1 : x - 2 y - 2 = 0 ， l2 : x - y = 0 , l1 ， l2 交点为 P （1） 求过点 P ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；‎ （1） 求l1 关于l2 对称的直线 m 的方程.‎ ‎19.（本题满分 12 分）‎ 已知点 P 是圆C : (x - 3)2 + y2 = 4 上的动点，点 A(- 3,0) , M 是线段 AP 的中点 （1） 求点 M 的轨迹方程；‎ （2） 若点 M 的轨迹与直线l : 2x - y + n = 0 交于 E, F 两点，且OE ^ OF ，求 n 的值.‎ ‎20. （本题满分 12 分）‎ ‎3‎ 如图，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上不同于 A，B 的一点，PA⊥平面 ABC，E 是 PC 的中点，‎ AB = ‎‎ ‎，PA=AC=1．‎ （1） 求证：AE⊥PB;‎ （2） 求三棱锥 C-ABE 的距离.‎ （3） 求二面角 A-PB-C 的正弦值．‎ ‎21.（本题满分 12 分）‎ 已知圆C 的圆心C 在线段 x + y - 3 = 0(x ³ 0, y ³ 0)上，圆C 经过点 M (-1,2) ，且与 x 轴相切 （1） 求圆C 的方程；‎ （2） 若直线l : kx - y - 2k + 3 = 0 与圆C 交于 A 、B 两点，当 AB 最小时，求直线l 的方程及 AB 的最小值.‎ ‎22.（本题满分 12 分）‎ ‎3‎ 已知圆 M : x2 - 2ax + y2 = 0 ，直线l : 8x - 6 y - 3 = 0 被圆 M 截得的弦长为在直线l 的下方.‎ （1） 求实数 a 的值；‎ （2） 过点 P(2,4)作圆 M 的切线 m ，求切线 m 的方程；‎ ‎‎ ‎，且圆心 M （3） 已知点 A(- 5,0)，O 为坐标原点，Q 为圆 M 上任意一点，在 x 轴上是否存在异于 A 点 的 B 点，使得 QB QA ‎‎ 为常数，若存在，求出点 B 的坐标,不存在说明理由。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D A D B D C D C A A 高二数学参考答案一、选择题（5 分×12=60 分）‎ 二、填空题（5 分×4=20 分）‎ ‎13. 2x + y - 5 = 0‎ ‎14. 2p 15.‎ ‎5 5 p ‎6‎ ‎25‎ ‎16.‎ ‎6‎ 三、解答题（共 70 分）‎ ‎3‎ ‎17.【答案】（Ⅰ）证明：如图，过点 E 作 EH ^ BC 于 H ，连接 HD ，∴ EH = ．‎ ‎∵平面 ABCD ⊥平面 BCE ， EH Ì 平面 BCE ，‎ 平面 ABCD Ç 平面 BCE ‎∴ EH ⊥平面 ABCD ，‎ ‎= BC ，‎ ‎3‎ 又∵ FD ⊥平面 ABCD ， FD = ，‎ ‎∴ FD / / EH ， FD = EH .‎ ‎∴四边形 EHDF 为平行四边形．‎ ‎∴ EF / / HD .‎ ‎∵ EF Ë平面 ABCD ， HD Ì 平面 ABCD ，‎ ‎∴ EF / / 平面 ABCD ．‎ ‎（Ⅱ）证明： FD ^ 面 ABCD ， FD ^ AC ，又四边形 ABCD 是菱形，‎ AC ^ BD ，又 FD Ç BD = D ， AC ^ 面 FBD ， 又 AC Ì 面 ACF ，从而面 ACF ^面 BDF ．‎ ‎18.【答案】（1） x + y + 4 = 0 或 x - y = 0 .（2） 2x - y + 2 = 0‎ 解：（1）由题可知， P(- 2,-2) 设所求直线为l ,‎ (i) 当直线l 在两坐标轴截距为不零时,‎ 设直线方程为: x + y = 1 ，‎ t t 则 - 2 + - 2 = 1，解得t = -4 ，‎ t t 所以直线l 的方程为 x + y - 4 - 4‎ ‎= 1，即 x + y + 4 = 0 .‎ (ii) 当直线l 在两坐标轴截距为零时,设直线方程为: 设直线方程为: y = kx ,解得k = 1 ，‎ 所以直线的l 方程为 x - y = 0 .‎ 综上，直线的l 方程为 x + y + 4 = 0 或 x - y = 0 .‎ ‎（2）在l 上取一点M (2,0), M 点关于l 的对称点 M '(0,2)落在直线m 上 ‎1 2‎ 所以直线l 的方程为： 2x - y + 2 = 0‎ ‎19. 【答案】（1） x2 + y2 = 1；（2） n = ± ‎10 .‎ ‎2‎ 解：（1）设为所求轨迹上任意的一点， ，则 ①‎ 又 是 的中点， ，则 ，代入①式得 ‎（或用定义法亦可）‎ ‎（2） M 到直线l 的距离为 ‎2 ， d = ‎2‎ ‎= 2 ， n = ± 10‎ n ‎5‎ ‎2 2‎ ‎20.【答案】证明：（1）∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC ‎∴PA⊥BC，‎ 又 AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上不同于 A，B 的一点 ‎∴∠ACB=90°，即 AC⊥BC，又 PA∩AC=A ‎∴BC⊥平面 PAC，又 AE⊂平面 PAC ‎∴BC⊥AE ‎∵PA=AC，E 是 PC 的中点 ‎∴AE⊥PC，又 BC∩PC=C ‎∴AE⊥平面 PBC，又 PB⊂平面 PBC ∴AE⊥PB．‎ ‎2‎ （2） VC-ABE=‎ ‎12‎ （3） 过 A 作 AF⊥PB 交 PB 于 F，连接 EF 又由（1）得 AE⊥PB，AE∩AF=A ‎∴PB⊥平面 AEF，又 EF⊂平面 AEF ‎∴PB⊥EF，又 AF⊥PB ‎∴∠AFE 是二面角 A-PB-C 的平面角）‎ ‎∵在 Rt△PAC 中，PA=AC=1，则 ， 在 Rt△PAB 中，PA=1， ，同理得 ‎∴在 Rt△AEF 中， 故二面角 A-PB-C 的正弦值为 ．‎ ‎）‎ ‎）‎ ‎，‎ AB ‎21.【答案】（1 ( x -1)2 + ( y - 2)2 = 4（2 l 的方程为 x + y - 5 = 0‎ 解：（1）设圆C 的方程为( x - a)2 + ( y - b)2 = r2 (r > 0) ，‎ ìa + b - 3 = 0‎ ‎‎ 最小值为2‎ ‎2‎ ï ï(-1- a )2 + (2 - b )2 = r 2‎ 所以í ïb = r ïîa ³ 0,b ³ 0‎ ‎ìa = 1,‎ ï ‎，解得íb = 2,‎ î ïr = 2,‎ 所以圆C 的方程为( x -1)2 + ( y - 2)2 = 4 .‎