【数学】2019届一轮复习苏教版不等式与三角、向量综合难点专项研究学案

【数学】2019届一轮复习苏教版不等式与三角、向量综合难点专项研究学案

专题14: 不等式与三角、向量综合专项研究 类型一:不等式与三角 一､高考回顾 ‎1．(16年江苏) 在锐角三角形，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___________．‎ 分析与解：由sinA＝2sinBsinC，可得sin(B＋C)＝2sinBsinC，‎ 即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，‎ 两边同时除以cosBcosC可得tanB＋tanC＝2tanBtanC，‎ 考虑消元，根据条件得到了B，C所满足的关系，因此可将tanAtanBtanC中的A消去，‎ 因此有tanAtanBtanC＝－tanBtanCtan(B＋C)＝，‎ 再由tanB＋tanC＝2tanBtanC可得：tanAtanBtanC＝，‎ 至此，消去了A，继续利用B，C满足的关系tanB＋tanC＝2tanBtanC，可以消去B或者C转化为一元函数，再求解，注意观察，可以将tanBtanC看作一整体，这样求解就变得简单了，‎ 设tanBtanC＝t(t＞1)，‎ 则tanAtanBtanC＝＝2(t－1＋＋2)≥8．‎ 于是tanAtanBtanC最小值为8，当然得到关于t的函数后，也可以利用导数求最小值．‎ 如果能注意到在锐角三角形中有如下恒等式tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，‎ tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋2tanBtanC，‎ 考虑整体有：‎ ‎ tanAtanBtanC＝tanA＋2tanBtanC≥2，‎ 解得tanAtanBtanC≥8，‎ 可以检验等号能取到，故tanAtanBtanC的最小值是8．‎ 二､方法联想 ‎ 三角与基本不等式综合求最值，需要注意三角的恒等变换以及变换后能够运用基本不等式的恰当变形．“代入消元”是常见的处理方法，“整体处理”较为灵活，往往能简化解题过程．‎ 三､归类研究 ‎1．若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是___________．‎ 答案：．‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，b2－c2＝1，则cosA的最小值是___________．‎ ‎3．已知a，b均为锐角，且cos(a＋b)＝，则tana的最大值是___________．‎ 答案：．‎ ‎4．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2－a2＝ac，则－ 的最小值___________． ‎ 答案：2．‎ ‎5．在△ABC中，3sin2B＋7sin‎2C＝2sinAsinBsinC＋2sin‎2A，则sin(A＋)的值是 ．‎ 答案：－．‎ 类型二:不等式与向量 一､高考回顾 ‎1．(15年天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．点E和点F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为____________．‎ 分析与解：解决向量问题有两种选择，第一是：选择恰当的基底，进行向量运算．第二是：建立恰当的坐标系，进行坐标运算．‎ F E D C B A ‎ 方法1：选择，作为一组基底，易知2＝4，2＝1，·＝1，‎ ＝＋＝＋λ＝＋λ(－＋＋)‎ ‎ ＝(1－λ)＋λ，‎ ＝＋＝＋＝＋，‎ 于是·＝[(1－λ)＋λ]·(＋)＝(1－λ)2＋(－λ)·＋λ2‎ ‎ ＝λ＋＋≥(当λ＝时取等号)，‎ 所以·的最小值为．‎ y x F E D C B A ‎ 方法2：建立如图所示的直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(，)，D(，)，‎ 根据＝λ，＝，可以求得E(2－，λ)，F(＋，)，‎ 于是·＝(2－)(＋)＋λ×＝＝λ＋＋≥．‎ 二､方法联想 ‎ 向量与基本不等式综合求最值，两类问题：一类是建立关于数量积的函数后直接运用基本不等式求最值，另一类是：将关于向量的已知条件转化为代数恒等式，再利用该恒等式求某一代数式或某数量积的最值．解决这两类问题的关键是能够熟练的在两个体系下解决向量的相关运算．‎ 三､归类研究 ‎1．已知⊥，||＝，||＝t，若P点△ABC所在平面内一点，‎ 且＝＋，则·的最大值是___________．‎ 答案：13．‎ ‎2．在△ABC中，D为边BC的中点，记||＝m，||＝n，若·＝1，则－的最大值是__________．‎ 答案：．‎ ‎3．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，·＝12，当角A最大时，△ABC面积为__________．‎ 答案：3．‎ ‎4．已知平面向量a，b不共线，且满足条件|a|＝1，|a＋2b|＝1，则|b|＋|a＋b|的取值范围是__________．‎ 答案： (1，]．‎ ‎5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2CD，M为CD的中点，N为线段BC上一点（不包括端点），若＝λ＋μ，则＋的最小值为 ．＝，‎ 答案：．‎ 类型三:含多个变量的不等式问题 一､高考回顾 ‎1．(12江苏)已知正数a，b，c满足：‎5c－‎3a≤b≤‎4c－a，clnb≥a＋clnc，则的取值范围是 ．‎ 分析与解：由‎5c－‎3a≤b≤‎4c－a，clnb≥a＋clnc可得：5－3≤≤4－，ln≥，‎ N M y x O 设＝x，＝y，则有5－3x≤y≤4－x，y≥ex，作出该不等式组构成的平面区域(如图所示)，‎ 当直线y＝kx与y＝ex相切于点M时，＝最小，容易求得M(1，e)，‎ 因此的最小值是e，,当y＝kx过点N(，)时，最大，最大值为7，‎ 所以的取值范围是[1，e]．‎ 二､方法联想 ‎ 含有多个变量的不等式问题，两种处理方法：一是消元（包括等量替换、不等替换）．二是减元，例如高考回顾中问题用的就是减元的方法，这种减元的方法也是常用的，务必掌握．‎ 三､归类研究 ‎1．已知x，y为正实数，则＋的最大值是___________．‎ 答案：．提示：减元，＋＝＋＝＋，其中t＝．‎ ‎2．设a，b，c是正实数，满足b＋c≥a，则＋的最小值为___________．‎ 答案：－．提示：消元(不等替换)、减元，‎ ＋≥＋＝＋＝＋＝t＋，其中t＝．‎ ‎3．若不等式x2＋xy≤a(x2＋y2)对任意的正实数x，y恒成立，则实数a的最小值是___________．‎ 答案：．‎ ‎4．已知实数a、b、c满足条件0≤a＋c－2b≤1，且‎2a＋2b≤21＋c，则的取值范围是_________．‎ 答案：[－，]．‎ ‎5．已知a，b，c为正数，且a＋2b≤‎5c，＋≤，则的取值范围是____________．‎ 答案：[，7]．‎