2018届二轮复习函数的奇偶性与周期性学案（全国通用）

2018届二轮复习函数的奇偶性与周期性学案（全国通用）

‎ 2.3　函数的奇偶性与周期性 考情考向分析　以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以填空题为主，中档偏上难度．‎ ‎1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 ‎2.周期性 ‎(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．‎ ‎(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．‎ 知识拓展 ‎1．函数奇偶性常用结论 ‎(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．‎ ‎(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．‎ ‎(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．‎ ‎2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x：‎ ‎(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．‎ ‎(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．‎ ‎(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　×　)‎ ‎(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　√　)‎ ‎(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　√　)‎ ‎(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P45习题T11]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，‎ ‎∴f(－1)＝－f(1)＝－2.‎ ‎3．[P43练习T4]函数y＝f(x)为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(|a|)＝3，则f(－a)＝________.‎ 答案　3‎ 解析　若a≥0，则f(－a)＝f(a)＝f(|a|)＝3；‎ 若a<0，则f(－a)＝f(|a|)＝3.‎ 故对a∈R，总有f(－a)＝3.‎ ‎4．[P45习题T8]若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________.‎ 答案　1‎ 解析　∵f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，‎ ‎∴f(－x)＝f(x)对x∈R恒成立，‎ ‎∴(1－a)x＝(a－1)x恒成立，‎ ‎∴1－a＝0，∴a＝1.‎ 题组三　易错自纠 ‎5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．‎ 答案　 解析　依题意得f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴b＝0，又a－1＝－2a，‎ ‎∴a＝，∴a＋b＝.‎ ‎6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.‎ 答案　3‎ 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)．‎ 又f(x)的图象关于直线x＝2对称，‎ ‎∴f(1)＝f(3)＝3.∴f(－1)＝3.‎ 题型一　判断函数的奇偶性 典例 判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝＋；‎ ‎(2)f(x)＝；‎ ‎(3)f(x)＝ 解　(1)由得x2＝3，解得x＝±，‎ 即函数f(x)的定义域为{－，}，‎ ‎∴f(x)＝＋＝0.‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．‎ ‎(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．‎ ‎∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.‎ 又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，‎ ‎∴函数f(x)为奇函数．‎ ‎(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．‎ ‎∵当x＜0时，－x＞0，‎ 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；‎ 当x＞0时，－x＜0，‎ 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．‎ 综上可知，对于定义域内任意的x，总有f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴函数f(x)为奇函数．‎ 思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：‎ ‎(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．‎ ‎(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．‎ 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．‎ 跟踪训练 (1)(2017·江苏淮安中 质检)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是________．‎ 答案　2‎ 解析　函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2.‎ ‎(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是________．(填序号)‎ ‎①f(x)g(x)是偶函数；‎ ‎②|f(x)|g(x)是奇函数；‎ ‎③f(x)|g(x)|是奇函数；‎ ‎④|f(x)g(x)|是奇函数．‎ 答案　③‎ 解析　易知f(x)|g(x)|定义域为R，‎ ‎∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，‎ ‎∴f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，‎ ‎∴f(x)|g(x)|为奇函数．‎ 题型二　函数的周期性及其应用 ‎1．(2017·苏州暑期测试)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(－1)＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－(2－1)＝－1，‎ 因此f(0)＋f(－1)＝－1.‎ ‎2．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.‎ 答案　6‎ 解析　∵f(x＋4)＝f(x－2)，‎ ‎∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)是周期为6的周期函数，‎ ‎∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．‎ 又f(x)是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.‎ ‎3．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.‎ 答案　339‎ 解析　∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.‎ ‎∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；‎ 当－1≤x<3时，f(x)＝x，‎ ‎∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，‎ f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，‎ f(6)＝f(0)＝0，‎ ‎∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，‎ ‎∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)‎ ‎＝1×＝336.‎ 又f(2 017)＝f(1)＝1，f(2 018)＝f(2)＝2，‎ ‎∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝339.‎ 思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．‎ 题型三　函数性质的综合应用 命题点1　求函数值或函数解析式 典例 (1)(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.‎ 答案　12‎ 解析　方法一　令x＞0，则－x＜0.‎ ‎∴f(－x)＝－2x3＋x2.‎ ‎∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)．‎ ‎∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．‎ ‎∴f(2)＝2×23－22＝12.‎ 方法二　f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.‎ ‎(2)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________.‎ 答案　 解析　∵当x＞0时，－x＜0，‎ ‎∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，‎ ‎∴f(x)＝ 命题点2　求参数问题 典例 (1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝__________.‎ 答案　1‎ 解析　∵f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴－xln(－x)＝xln(x＋)，‎ ‎∴ln[()2－x2]＝0.‎ ‎∴ln a＝0，∴a＝1.‎ ‎(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f ＝f，则a＋3b的值为________．‎ 答案　－10‎ 解析　因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，‎ 所以f＝f且f(－1)＝f(1)，‎ 故f＝f，‎ 从而＝－a＋1，‎ 即3a＋2b＝－2.①‎ 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，‎ 即b＝－2a.②‎ 由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.‎ 命题点3　利用函数的性质解不等式 典例 (1)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是________．‎ 答案　(－2,1)‎ 解析　∵g(x)是奇函数，‎ ‎∴当x＞0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，‎ 易知f(x)在R上是增函数，‎ 由f(2－x2)＞f(x)，可得2－x2＞x，‎ 即x2＋x－2＜0，∴－2＜x＜1.‎ ‎(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为________．‎ 答案　(－1,4)‎ 解析　∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，‎ ‎∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，‎ ‎∵f(1)<1，f(5)＝，‎ ‎∴<1，即<0，‎ 解得－10时，－x<0，‎ ‎∴f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3‎ ‎＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；‎ ‎(3)当x<0时，－x>0，‎ ‎∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3‎ ‎＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．‎ 由(1)(2)(3)可知，当x∈R时，都有f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)为奇函数．‎ ‎2．若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当00时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝____________.‎ 答案　－－1‎ 解析　∵f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，‎ ‎∴当x<0时，－x>0，‎ f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，‎ 即当x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.‎ ‎9．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1.则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.‎ 答案　 解析　依题意知，函数f(x)为奇函数且周期为2，‎ ‎∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f ‎＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f ‎＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f ‎＝f＋f(1)＋f(0)‎ ‎＝－1＋21－1＋20－1‎ ‎＝.‎ ‎10．(2016·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．‎ 答案　－ 解析　由已知f＝f＝f＝－＋a，‎ f＝f＝f＝＝.‎ 又∵f＝f，则－＋a＝，a＝，‎ ‎∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋＝－.‎ ‎11．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)设x<0，则－x>0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．‎ 于是当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，‎ 所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，‎ 结合f(x)的图象知 所以10时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．‎ 答案　(－5,0)∪(5，＋∞)‎ 解析　由已知f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝ 不等式f(x)>x等价于或 解得x>5或－50，则－x<0.∴g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4.‎ ‎∴g(x)＝