北京市一七一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

北京市一七一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

北京市第一七一中学2019-2020学年度第一学期 高二年级数学期中考试试题 一、选择题 ‎1.设直线的方向向量，直线的方向向量，若，则实数m的值为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得出，然后计算即可 ‎【详解】因为，所以 因为，‎ 所以 解得,‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查的是空间向量的坐标运算，较简单.‎ ‎2.椭圆的短轴长为（ ）‎ A. 2 B. ‎6 ‎C. 4 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆标准方程求出，求出即得.‎ ‎【详解】由椭圆，得，‎ 所以椭圆的短轴长为为4.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.‎ ‎3.设抛物线上一点到直线的距离是，则点到该抛物线焦点的距离是 A. 12 B. ‎8 ‎C. 6 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到直线x=-2的距离求得点到准线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，从而求得答案．‎ 解答：解：抛物线y2=8x的准线为x=-2，‎ ‎∵点P到直线x=-2的距离为6，‎ ‎∴点p到准线x=-2的距离是6，‎ 根据抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是6，‎ 故选C．‎ ‎4.已知双曲线的左、右焦点分别为、，在左支上过的弦的长为5，若，那么的周长是（ ）‎ A. 16 B. ‎18 ‎C. 21 D. 26‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的定义可得，，又，可求周长.‎ ‎【详解】由双曲线的定义可得，，‎ ‎，又，‎ 又，‎ 周长.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查焦点三角形的周长，属于基础题.‎ ‎5.已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据渐近线的方程可求得的关系,再根据与椭圆有公共焦点求得即可.‎ ‎【详解】双曲线C的渐近线方程为,可知①,椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0),所以a2＋b2＝9②,根据①②可知a2＝4,b2＝5.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法,属于基础题型.‎ ‎6.椭圆上的点到直线：的距离的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线与直线平行且与椭圆相切，设直线，代入椭圆方程，令，求出，两平行线间的距离即为椭圆上的点到直线的距离的最小值.‎ ‎【详解】设直线与直线平行且与椭圆相切，且直线，‎ 由，得.‎ 令，得或（舍）.‎ ‎.‎ 所以直线与直线的距离为，‎ 所以椭圆上的点到直线：的距离的最小值为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查与椭圆有关的最值问题，考查学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎7.在椭圆上有一点P，F1、F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，这样的点P有（ ）‎ A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点对、张开的角最大，可得．当轴或轴时，也满足题意．即可得出．‎ ‎【详解】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点对、张开的角最大，‎ ‎，，，此时．这样的点P有两个；‎ 当轴或轴时，也满足题意．这样的点P有4个；‎ 因此△为直角三角形，则这样的点有6个．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎8.如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（ ）‎ A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，‎ ‎ 设是运动轨迹上任一点，且，则，‎ ‎ 所以，，‎ ‎ 所以，即，即且，‎ ‎ 所以点的运动轨迹为椭圆的一部分，故选B．‎ 点睛：本题考查轨迹方程的求解问题，对于求轨迹方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用条件建立之间的关系；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(4)代入(相关点)法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．‎ 二、填空题 ‎9.直三棱柱中，若，，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，画出图形，利用空间向量的线性运算即可表示出.‎ ‎【详解】如图所示 因为，，，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题.‎ ‎10.双曲线的离心率为______，渐近线方程为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的标准方程求出，即求离心率和渐近线方程.‎ ‎【详解】由双曲线，可得，‎ ‎，‎ 所以离心率，渐近线方程.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单性质的应用，属于基础题.‎ ‎11.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为双曲线过点，所以焦点在轴上，且，又渐近线方程为，求出，即可写出双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】因为双曲线过点，所以焦点在轴上，且，又渐近线方程为，‎ 所以双曲线的标准方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线标准方程，属于基础题.‎ ‎12.已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长‎2a，‎ 可得△ABC的周长为‎4a=4，所以，答案为4.‎ 考点：椭圆的定义，椭圆的几何性质．‎ 点评：简单题，涉及椭圆的焦点弦时，往往要运用椭圆的定义．‎ ‎13.如图所示，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，写出的坐标，写出向量的坐标，用两向量的夹角公式求出余弦值.‎ ‎【详解】建立空间直角坐标系，如图所示 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以异面直线和所成角的余弦值等于.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于基础题.‎ ‎14.已知是抛物线：焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的焦点的坐标，准线方程，由题意可得点的横坐标，由抛物线的定义可求，又，即求.‎ ‎【详解】抛物线：的焦点，准线方程，‎ 由题意可得，点的横坐标为1，‎ 由抛物线的定义可得，.‎ 故答案为：6.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.‎ ‎15.已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线定义可得，由此可知当为与抛物线的交点时，取得最小值，进而求得点坐标.‎ ‎【详解】由题意得：抛物线焦点为，准线为 作，垂直于准线，如下图所示：‎ 由抛物线定义知：‎ ‎（当且仅当三点共线时取等号）‎ 即的最小值为，此时为与抛物线的交点 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查抛物线线上的点到焦点的距离与到定点距离之和最小的相关问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线定义确定最值取得的位置.‎ ‎16.已知椭圆：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题：‎ ‎①点的轨迹关于轴对称；②的最小值为2；‎ ‎③存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，‎ 其中，所有正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ 分析：运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断②正确；通过的变化，可得③不正确.‎ 详解：‎ 椭圆的两个焦点分别为 和，‎ 短轴的两个端点分别为和，‎ 设，点在椭圆上，‎ 且满足，‎ 由椭圆定义可得，，‎ 即有在椭圆上，‎ 对于①，将换为方程不变，‎ 则点的轨迹关于轴对称，故①正确.；‎ 对于②，由图象可得，当满足，‎ 即有，‎ 即时，取得最小值，‎ 可得时，‎ 即有取得最小值为，故②正确；‎ 对于③，由图象可得轨迹关于轴对称，且，‎ 则椭圆上满足条件的点有个，‎ 不存在使得椭圆上满足条件的点有个，故③不正确.‎ ‎，故答案为①②.‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题.‎ ‎ 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ 三、解答题 ‎17.已知椭圆的两焦点为，，离心率.‎ ‎（1）求此椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线：，若与此椭圆相交于、两点，求的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，由离心率可得，再根据，求出，即得椭圆的方程；‎ ‎（2）由直线方程和椭圆方程联立，消，求出方程的两根，再由弦长公式求的长.‎ ‎【详解】（1）由题意可得，又离心率，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）直线的斜率，‎ 由消，可得，设方程的两根为，则，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程和弦长公式，属于基础题.‎ ‎18.已知抛物线：经过点，其焦点为.直线与抛物线相交于点、.‎ ‎（1）求抛物线的方程以及焦点的坐标；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）抛物线的方程为，焦点；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把点代入抛物线：，求出，可得抛物线的方程及焦点的坐标；‎ ‎（2）设，将直线方程与抛物线方程联立，消，利用韦达定理证明，即证.‎ ‎【详解】（1）抛物线：经过点，.‎ 抛物线的方程为，焦点.‎ ‎（2）设，‎ 由消，得，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，属于基础题.‎ ‎19.如图1，在中， ， 分别为， 的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线和平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，可证；‎ ‎（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用向量的方法求直线和平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）连接.图1中，，， 分别为， 的中点，，‎ 即，又为的中点，.‎ 又平面平面，且平面平面，平面，‎ 平面，又平面，‎ ‎.‎ ‎（2）取中点，连接，则.‎ 由（1）可知平面，平面.‎ 以为原点，分别以所在直线为轴、轴、‎ 轴建立空间直角坐标系，如图所示 ‎，，.‎ ‎，‎ ‎.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，令，则，.‎ 设直线和平面所成的角为，则 ‎，‎ 所以直线和平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.‎ ‎20.如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直， ，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值； ‎ ‎（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求 出的值，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据线线平行得线面平行平面，平面，再根据线面平行得面面平行平面平面，最后由面面平行性质得结论，（Ⅱ）先根据面面垂直得线面垂直平面，再得线线垂直，类似可得进而建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面法向量，利用向量数量积得两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，（Ⅲ）先设，再利用方程组解得平面法向量，最后根据两法向量数量积为零解得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由底面为平行四边形，知，‎ 又因为平面，平面， 所以平面.‎ 同理平面，又因为，所以平面平面.‎ 又因为平面，所以平面 ‎ ‎（Ⅱ）连接,因为平面平面，平面平面，，‎ 所以平面. 则.‎ 又因为，，， 所以平面，则. ‎ 故两两垂直，所以以所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以,，为平面的一个法向量.‎ 设平面一个法向量为， ‎ 由，，得 令，得. ‎ ‎ 所以. ‎ 如图可得二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. ‎ ‎（Ⅲ）结论：线段上存在点，使得平面平面. ‎ 证明如下：设，所以. 设平面的法向量为，又因为，所以，，即 令，得.‎ 若平面平面，则，即， 解得.‎ 所以线段上存在点，使得平面平面，且此时. ‎ ‎【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎21.已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据离心率为，即，OAB的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意得解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 设，则.‎ 当时，直线的方程为.‎ 令，得，从而.‎ 直线的方程为.‎ 令，得，从而.‎ 所以 ‎.‎ 当时，，‎ 所以.‎ 综上，为定值.‎ ‎【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力.‎ ‎【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.‎