2021届新高考版高考数学一轮复习训练：专项突破二　提素养·数学文化

2021届新高考版高考数学一轮复习训练：专项突破二　提素养·数学文化

专项突破二　提素养·数学文化 ‎1.[干支纪年法]干支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法是按顺序将一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起.例如,第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,…,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,然后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,以此类推.已知1949年为“己丑”年,那么到中华人民共和国成立80周年时为(　　)‎ A.丙酉年 B.戊申年 C.己亥年 D.己酉年 ‎2.[高斯算法]德国数学家高斯在年幼时进行的1+2+3+…+100的求和运算中体现了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而产生,此方法也称为高斯算法.现有函数f (x)=‎2x‎3m+6 057‎(m>0),则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (m+2 018)等于(　　)‎ A.m+2 018‎‎3‎ B.‎2m+4 036‎‎3‎ C.m+4 036‎‎6‎ D.‎‎2m+4 037‎‎6‎ ‎3.[2020贵阳四校联考]中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题:“今有七人差等均钱,甲乙均七十七文,戊己庚均七十五文.”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱,他们所分钱数构成等差数列,甲、乙两人共分77文,戊、己、庚三人共分75文.问:丙、丁两人各分多少文钱?(　　)‎ A.丙分34文,丁分31文 B.丙分37文,丁分40文 C.丙分40文,丁分37文 D.丙分31文,丁分34文 ‎4.[2020湖北八校第一次联考]鲁班锁是中国古代传统的土木建筑固定结合器,也是广泛流传于中国民间的智力玩具,它起源于中国古代建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,外观则是严丝合缝的十字几何体,十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样,其中,六根和九根的鲁班锁最为著名.某种九根的鲁班锁由如图2 - 1所示的九根木榫拼成,每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖出一些凹槽制成的.若九根正四棱柱的底面边长均为1,六根短条的高均为3,三根长条的高均为5,现将拼好的鲁班锁(如图2 - 2)放进一个圆柱形容器内,使其最高的一个正四棱柱形木榫的上、下底面分别在圆柱的两个底面内,则该圆柱形容器的体积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为(　　)‎ 图2 - 1　　　　　　　　　　　图2 - 2‎ A.‎135‎‎4‎π B.‎65‎‎2‎π C.135π D.‎125‎‎4‎π ‎5.[幻方]我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方(如图2 - 3(1)所示).将1,2,…,9填入3×3的方格内(如图2 - 3(2)所示),使三行、三列及两条对角线上的三个数字之和都等于15,这个方阵叫作3阶幻方.一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入n×n的方格中,使得每行、‎ 每列及两条对角线上的数字之和都相等,这个方阵叫作n(n≥3)阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数的和为Nn,如N3=15,那么N9=(　　)‎ ‎(1)　　　　　　　　　(2)‎ 图2 - 3‎ A.41 B.45 C.369 D.321‎ ‎6.[刍童]“刍童”是中国古代的一个数学名词,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之.亦倍下袤,上袤从之.各以其广乘之,并,以高若深乘之,皆六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘;将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为(　　)‎ A.‎39‎‎2‎ B.‎75‎‎2‎ C.39 D.‎601‎‎8‎ ‎ ‎7.[割圆术]刘徽(约公元225年—295年)是魏晋期间伟大的数学家,是中国古典数学理论的奠基人之一.他提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”(即割圆术)蕴含了极限思想.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(图2 - 4为n=9时的情形),当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想,得到sin 2°的近似值为(　　)‎ 图2 - 4‎ A.π‎90‎ B.π‎180‎ C.π‎270‎ D.‎π‎360‎ 专项突破二　提素养·数学文化 ‎1.D　易知到2029年,中华人民共和国成立80周年.‎ 从1949年到2029年经过80年,且1949年为“己丑”年,80÷10=8,则2029年对应的天干为己;80÷12=6……8,则2029年对应的地支为酉.故选D.‎ ‎【试题评析】　本题以我国独有的传统文化为背景命制,体现了周期在实际生活中的应用.‎ ‎2.A　设x+y=m+2 019,则f (x)+f (y)=‎2x‎3m+6 057‎‎+‎2y‎3m+6 057‎=‎2(x+y)‎‎3m+6 057‎=‎2(m+2 019)‎‎3(m+2 019)‎=‎‎2‎‎3‎.‎ 所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (m+2 018)‎ ‎=‎1‎‎2‎{[f (1)+f (m+2 018)]+[f (2)+f (m+2 017)]+…+[f (m+2 018)+f (1)]}‎ ‎=‎1‎‎2‎‎×‎2‎‎3‎×‎(m+2 018)‎ ‎=m+2 018‎‎3‎.‎ 故选A.‎ ‎【试题评析】　本题以高斯算法为背景命制,传承了经典的数学文化.‎ ‎3.A　解法一　设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数依次是a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,公差为d,根据题意可得a‎1‎‎+a‎2‎=77,‎a‎5‎‎+a‎6‎+a‎7‎=75,‎即a‎1‎‎+a‎1‎+d=77,‎a‎1‎‎+4d+a‎1‎+5d+a‎1‎+6d=75,‎解得a‎1‎‎=40,‎d=-3,‎所以丙所分钱数a3=a1+2d=34(文),丁所分钱数a4=a1+3d=31(文),故选A.‎ 解法二　依题意,设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a - 3d,a - 2d,a - d,a,a+d,a+2d,a+3d,则a-3d+a-2d=77,‎a+d+a+2d+a+3d=75,‎解得a=31,‎d=-3,‎所以丙所分钱数为a - d=34(文),丁所分钱数为a=31(文),故选A.‎ ‎4.B　设圆柱的底面半径为r,用平行于圆柱底面的平面截圆柱和鲁班锁中间横向最长木条,‎ 截面如图D 2 - 1所示,‎ 图D 2 - 1‎ 记截面圆的圆心为O,连接OA,过点O作OC⊥AB于点C,则OA2=OC2+AC2,即r2=(‎1‎‎2‎)2+(‎5‎‎2‎)2=‎13‎‎2‎,所以该圆柱形容器的体积的最小值为πr2·5=‎65‎‎2‎π,故选B.‎ ‎5.C　根据题意得,幻方对角线上的数成等差数列,则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加恰好等于1+n2.‎ 根据等差数列的求和公式得Nn=n(1+n‎2‎)‎‎2‎,则N9=‎9×(1+‎9‎‎2‎)‎‎2‎=369.故选C.‎ ‎【试题评析】　幻方又称为魔方,它最早起源于我国,宋代数学家杨辉称之为纵横图.本题借助幻方考查等差数列的性质及求和公式.‎ ‎6.B　设下底面的长为x(‎9‎‎2‎≤x<9),则下底面的宽为‎18-2x‎2‎=9 - x.‎ 由题可知上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,所以其体积V=‎1‎‎6‎‎×‎3×[(3×2+x)×2+(2x+3)(9 - x)]= - x2+‎17x‎2‎‎+‎‎39‎‎2‎,故当x=‎9‎‎2‎时,体积取得最大值,最大值为 - (‎9‎‎2‎)2+‎17‎‎2‎‎×‎9‎‎2‎+‎39‎‎2‎=‎‎75‎‎2‎.故选B.‎ ‎7.A　将一个单位圆等分成180个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为2°.因为这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积,所以180‎×‎1‎‎2‎×‎1×1×sin 2°=90sin 2°≈π,所以sin 2°≈π‎90‎,所以选A.‎