2020届北京市石景山区高三上学期期末考试数学试题

2020届北京市石景山区高三上学期期末考试数学试题

石景山区2020届高三第一学期期末 数 学 本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1.‎ 已知集合，，则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎2.‎ 复数的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3.‎ 下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎4.‎ 已知向量，，若，则实数 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎5.‎ 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为 A. 石 B. 石 C. 石 D. 石 ‎6.‎ 已知，，，则，，的大小关系是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎7.‎ 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，‎ 从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 ‎ D. 极差 ‎8.‎ 一个正方体被一个平面截去一部分后， ‎ 剩余部分的三视图如右图，则截去部分 主（正）视图 左（侧）视图 俯视图 体积与原正方体体积的比值为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9.‎ 在等差数列中，设，则是的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎10.‎ 关于曲线．给出下列三个结论：‎ ‎① 曲线恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；‎ ‎② 曲线上任意一点到原点的距离都不大于；‎ ‎③ 曲线上任意一点到原点的距离都不小于．‎ 其中，正确结论的个数是 A.‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎11.‎ 在的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答）‎ ‎12.‎ 已知双曲线标准方程为，则其焦点到渐近线的距离为 ．‎ ‎13.‎ 已知数列为等比数列，，，则________.‎ ‎14.‎ 已知平面．给出下列三个论断：①；②；③∥．以其中 的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____．‎ ‎15.‎ 在中，角所对的边分别是．已知，‎ ‎，则的值为_______．‎ ‎16.‎ 已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意 一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、，对于下列命题：‎ ‎① 线段的中点的广义坐标为；‎ ‎② 向量平行于向量的充要条件是；‎ ‎③ 向量垂直于向量的充要条件是.‎ 其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）‎ ‎三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎17. （本小题13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，且，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间.‎ ‎18.（本小题13分）‎ 一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)．‎ ‎（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；‎ ‎（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；‎ ‎（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．‎ ‎19.（本小题14分）‎ 已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，^平面，分别是 的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：^平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线 与平面所成角为，若存在，求线段 ‎ 的长度；若不存在，说明理由．‎ ‎20.（本小题14分）‎ 已知函数.（）‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，的图象与轴交于点，求在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当时，恒成立．‎ ‎21. （本小题13分）‎ 已知椭圆过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程，并求其离心率；‎ ‎（Ⅱ）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），直线关于的对称直线与椭圆交于另一点．设为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．‎ ‎22.（本小题13分）‎ 已知由个正整数构成的集合，‎ 记，对于任意不大于的正整数，均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于. ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：“成等差数列”的充要条件是“”；‎ ‎（Ⅲ）若，求的最小值，并指出取最小值时的最大值.‎ ‎石景山区2020届第一学期高三期末 数学试卷答案及评分参考 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分． ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B A C B B D A C D C 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． ‎ ‎11．； 12．； 13． ； ‎ ‎14．①③② 或②③①； 15. ； 16. ①② ．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）因为 ，且，‎ 所以 . ……………2分 所以 . ……………5分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ ……………8分 所以函数的最小正周期. ……………9分 由， ‎ 解得. ……………11分 所以函数的单调递减区间. ……………13分 18. ‎（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）可能的取值为，，， . ……………1分 每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为.‎ ‎， ，‎ ‎，， ‎ ‎ ……………5分 ‎ 所以X的分布列为：‎ P ‎……………6分 ‎（Ⅱ）设“第i盘游戏获得15分”为事件Ai(i＝1，2)，则 ‎. ……………8分 所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为 因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为. ……………10分 ‎（Ⅲ）设每盘游戏得分为.‎ 由（Ⅰ）知，的分布列为：‎ P 的数学期望为. ……12分 这表明，获得分数的期望为负．‎ 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． ……………13分 ‎19.（本小题14分）‎ ‎（Ⅰ）证明:因为△是正三角形，是的中点，所以 .‎ ‎ 又因为平面，平面，所以.‎ ‎ ，平面，‎ ‎ 所以面. ……………4分 ‎（Ⅱ）如图，以点为原点分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.‎ 则，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为 令，则 ， ……………6分 又平面的法向量，……………7分 设平面与平面所成锐二面角为，‎ 所以.‎ 所以平面与平面所成锐二面角为. ……………9分 ‎（Ⅲ）假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，‎ 设，‎ ‎，‎ 所以. ……………11分 所以， …………13分 整理得，无解，‎ 所以，不存在这样的点. ………14分 ‎20.（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）， ……………1分 当时，恒成立，所以在上单调递增， ……………3分 当时，令，解得.‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 ‎ ‎ 所以时，在上单调递减，在上单调递增. …5分 ‎（Ⅱ）令，得，则， …………6分 因为，所以， …………7分 所以在点处的切线方程为，即. ………9分 ‎（Ⅲ）证明：令，‎ 则. ‎ 令，则，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增； …………11分 所以，即恒成立. ‎ 所以在上单调递增，所以，………13分 所以，即当时，恒成立． …………14分 ‎21.（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）由椭圆过点，‎ 可得，解得． …………2分 所以， …………3分 所以椭圆的方程为，离心率． …………5分 ‎（Ⅱ）直线与直线平行． …………6分 证明如下：由题意，设直线，，‎ 设点，，‎ 由得 ‎， …………8分 所以，所以，同理，‎ 所以， …………10分 由，，‎ 有，‎ 因为在第四象限，所以，且不在直线上，所以，‎ 又，故，所以直线与直线平行． …………13分 ‎ ‎ 22. ‎（本题13分）‎ 解:（Ⅰ）由条件知，必有，又均为整数，. ……2分 ‎，由的定义及均为整数，必有，.‎ ‎……………4分 ‎（Ⅱ）必要性：由“成等差数列”及,‎ 得此时满足题目要求 从而. ……………6分 充分性：由条件知且均为正整数，可得 故，当且仅当时，上式等号成立.‎ 于是当时，，从而成等差数列.‎ 所以“成等差数列”的充要条件是“”. ……8分 ‎（Ⅲ）由于含有个元素的非空子集个数有，故当时，，‎ 此时的非空子集的元素之和最多表示个不同的整数，不符合要求.‎ 而用个元素的集合的非空子集的元素之和可以表示共个正整数.‎ 因此当时，的最小值为11. ……………10分 当时，的最小值为11.记 则并且.‎ 事实上若，，则，，‎ 所以时无法用集合的非空子集的元素之和表示，与题意不符.‎ 于是，得，，所以.‎ 当时满足题意 所以当时，的最小值为11，此时的最大值. ……13分 ‎【若有不同解法，请酌情给分】‎