数学卷·2018届河南师大附中高二下学期2月月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届河南师大附中高二下学期2月月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年河南师大附中高二（下）2月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎2．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则sinα=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎4．设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）‎ ‎6．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（　　）‎ A．π B．π C．（6﹣2）π D．π ‎7．函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴为（　　）‎ A．x= B．x=π C．x= D．x=‎ ‎8．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{an}的前7项的和为（　　）‎ A．63 B．64 C．127 D．128‎ ‎9．从圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两条切线夹角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．0‎ ‎10．如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1）‎ C．（） D．（﹣∞，﹣，）‎ ‎12．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．执行如图的程序框图，如果输入x，y∈R，那么输出的S的最大值为　　．‎ ‎14．已知向量，若，则t的取值范围是　　．‎ ‎15．直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是　　．‎ ‎16．已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．己知函数三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1．‎ ‎（I）求角B的大小；‎ ‎（II）若，求c的值．‎ ‎18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．‎ ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎19．设Sn是数列{an}的前n项和，已知．‎ ‎（1）求a2，a3，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{nan}的前n项和．‎ ‎20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．‎ ‎（1）求证：VB∥平面MOC；‎ ‎（2）求证：平面MOC⊥平面VAB ‎（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．‎ ‎21．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．‎ ‎（1）根据茎叶图计算样本均值；‎ ‎（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；‎ ‎（3）从抽出的6名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．‎ ‎22．如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南师大附中高二（下）2月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值．‎ ‎【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．‎ ‎【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，‎ 所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，‎ 所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则sinα=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】利用三角函数定义求解．‎ ‎【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），‎ ‎∴x=﹣3，y=﹣4，r==5，‎ ‎∴sinα==﹣．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，结合三视图的数据，利用体积公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，‎ 四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，‎ 四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，‎ ‎∴四棱锥的体积是．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】充要条件；向量的模．‎ ‎【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：若“||=||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；‎ 若“|+|=|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；‎ 故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．‎ ‎【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，‎ 而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，‎ ‎∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是 （1，2），‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（　　）‎ A．π B．π C．（6﹣2）π D．π ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小．‎ ‎【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，‎ 由已知得|OC|=|CE|=r，‎ 过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，‎ 交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，‎ 则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小 此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：‎ d==，‎ 此时r=‎ ‎∴圆C的面积的最小值为：Smin=π×（）2=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴为（　　）‎ A．x= B．x=π C．x= D．x=‎ ‎【考点】函数的图象与图象变化．‎ ‎【分析】先化简函数，再利用正弦函数的性质，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：f（x）=sinx+sin（﹣x）=sinx+cosx+sinx=sin（x+），‎ ‎∴x=是函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{an}的前7项的和为（　　）‎ A．63 B．64 C．127 D．128‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】先由通项公式求出q，再由前n项公式求其前7项和即可．‎ ‎【解答】解：因为a5=a1q4，即q4=16，‎ 又q＞0，所以q=2，‎ 所以S7==127．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．从圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两条切线夹角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心为M（1，1），半径为1，从外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，‎ 则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，‎ 所以两切线夹角的正切值为tanθ==，该角的余弦值等于，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．‎ ‎【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，‎ ‎∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，‎ 设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，‎ ‎∠A1BC1的余弦值为，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1）‎ C．（） D．（﹣∞，﹣，）‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质；函数单调性的性质．‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，‎ 且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，‎ 导数为f′（x）=+＞0，‎ 即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，‎ ‎∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），‎ 即|x|＞|2x﹣1|，‎ 平方得3x2﹣4x+1＜0，‎ 解得：＜x＜1，‎ 所求x的取值范围是（，1）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ‎，a=2，，则b的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】在锐角△ABC中，利用sinA=，S△ABC=，可求得bc，再利用a=2，由余弦定理可求得b+c，解方程组可求得b的值．‎ ‎【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，‎ ‎∴bcsinA=bc=，‎ ‎∴bc=3，①‎ 又a=2，A是锐角，‎ ‎∴cosA==，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，‎ ‎∴b+c=2②‎ 由①②得：，‎ 解得b=c=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．执行如图的程序框图，如果输入x，y∈R，那么输出的S的最大值为　2　．‎ ‎【考点】程序框图；简单线性规划．‎ ‎【分析】算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，‎ 画出可行域如图：‎ 当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．已知向量，若，则t的取值范围是　﹣5　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】运用向量垂直的性质：数量积为0，再由向量的数量积的坐标表示和向量的平方即为模的平方计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：向量，‎ 若，‎ 则•（t+）=0，‎ 即为t2+•=0，‎ 即有2t+6+4=0，‎ 解得t=﹣5．‎ 故答案为：﹣5．‎ ‎　‎ ‎15．直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是　（1，）　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象，观察求解．‎ ‎【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，‎ 观图可知，a的取值必须满足，‎ 解得．‎ 故答案为：（1，）‎ ‎　‎ ‎16．已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2‎ ‎=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=　4±　．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴圆心C到直线AB的距离d=，‎ 即d=，‎ 平方得a2﹣8a+1=0，‎ 解得a=4±，‎ 故答案为：4±‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．己知函数三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1．‎ ‎（I）求角B的大小；‎ ‎（II）若，求c的值．‎ ‎【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】（I）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（2x+），因此f（B）=sin（2B+）=1，可得2B+=+2kπ（k∈Z），结合B为三角形的内角即可求出角B的大小；‎ ‎（II）根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，结合题中的数据建立关于边c的方程，解之即可得到边c的值．‎ ‎【解答】解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）‎ ‎∴=sin2x+cos2x=sin（2x+）‎ ‎∵f（B）=1，即sin（2B+）=1‎ ‎∴2B+=+2kπ（k∈Z），可得B=+kπ（k∈Z）‎ ‎∵B∈（0，π），∴取k=0，得B=；‎ ‎（II）根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得 ‎12=（）2+c2﹣2ccos，‎ 化简整理得c2﹣3c+2=0，解之得c=1或2．‎ 即当时，边c的值等于c=1或2．‎ ‎　‎ ‎18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．‎ ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，‎ 由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）‎ ‎（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，‎ 又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，‎ 所以实数a的取值范围是（1，2]‎ ‎　‎ ‎19．设Sn是数列{an}的前n项和，已知．‎ ‎（1）求a2，a3，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{nan}的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用数列的递推关系式求出数列的a2，a3，判断数列是等比数列，求出通项公式．‎ ‎（2）利用错位相减法求解数列的和即可．‎ ‎【解答】解：（1）令n=1，得2a1﹣a1=a12．即a1=a12，‎ ‎∵a1≠0，∴a1=1，‎ 令n=2，得2a2﹣1=1•（1+a2），解得a2=2，‎ 当n≥2时，由2an﹣1=Sn得，2an﹣1﹣1=Sn﹣1，‎ 两式相减得2an﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1，‎ ‎∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，‎ ‎∴an=2n﹣1，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1；‎ ‎（2）由（1）知，nan=n•2n﹣1，设数列{nan}的前n项和为Tn，‎ 则Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，①‎ ‎2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②‎ ‎①﹣②得，﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n ‎=2n﹣1﹣n•2n，‎ ‎∴Tn=1+（n﹣1）2n．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．‎ ‎（1）求证：VB∥平面MOC；‎ ‎（2）求证：平面MOC⊥平面VAB ‎（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；‎ ‎（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB ‎（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，‎ ‎∴OM∥VB，‎ ‎∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，‎ ‎∴VB∥平面MOC；‎ ‎（2）∵AC=BC，O为AB的中点，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，‎ ‎∴OC⊥平面VAB，‎ ‎∵OC⊂平面MOC，‎ ‎∴平面MOC⊥平面VAB ‎（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，‎ ‎∴S△VAB=，‎ ‎∵OC⊥平面VAB，‎ ‎∴VC﹣VAB=•S△VAB=，‎ ‎∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=．‎ ‎　‎ ‎21．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．‎ ‎（1）根据茎叶图计算样本均值；‎ ‎（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；‎ ‎（3）从抽出的6名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．‎ ‎【分析】（1）由茎叶图能求出样本均值．‎ ‎（2）由抽取的6名工人中有2名为优秀工人，得到12名工人中有4名优秀工人．‎ ‎（3）设“从该车间6名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，由等可能事件概率计算公式能求出恰有1名优秀工人的概率．‎ ‎【解答】解：（1）样本均值为=22．‎ ‎（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，‎ 所以12名工人中有4名优秀工人．‎ ‎（3）设“从该车间6名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，‎ 所以P（A）==．‎ ‎　‎ ‎22．如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题设知， =，b=1，‎ 结合a2=b2+c2，解得a=，‎ 所以+y2=1；‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），‎ 代入椭圆方程+y2=1，‎ 可得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，‎ 由已知得（1，1）在椭圆外，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ 且△=16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞0，解得k＞0或k＜﹣2．‎ 则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+‎ ‎=+=2k+（2﹣k）（+）=2k+（2﹣k）•‎ ‎=2k+（2﹣k）•=2k﹣2（k﹣1）=2．‎ 即有直线AP与AQ斜率之和为2．‎