海南省海南中学2020届高三第九次月考数学试题

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海南省海南中学2020届高三第九次月考数学试题

海南中学2020届高三第九次月考 数学试题卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共22小题,共150分,考试时间120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.回答选择题时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,若,则实数a=( )‎ A. B.1 C.0或 D.0或1‎ ‎2.已知,其中x,y是实数,i是虚数单位,则=( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎3.已知(a是常数)的展开式中含项的系数为,则a=( )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎4.圆上到直线l:的距离为1的点有( )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎5.函数的图象大致是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎6.新高考的改革方案开始实施后,某地学生需要从化学、生物、政治、地理四门学科中选课,每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学,乙与甲没有相同的课程,丙与甲恰有一门课相同,丁与丙也没有相同课程.则以下说法一定正确的是( )‎ A.丙没有选化学 B.丁没有选化学 C.乙、丁可以两门课都相同 D.这四个人里恰有2个人选化学 ‎7.已知,,,则的大小关系是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设直线l与球O有且只有一个公共点P,从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆的半分别为1和,二面角的平面角为,则球O的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.太极图被称为“中华第一图”,闪烁着中华文明进程的光辉,它是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相对统一的和谐美.定义:能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”,设圆O:,则下列说法中正确的是( )‎ A.函数是圆O的一个太极函数 B.圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 C.函数是圆O的一个太极函数 D.函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件 ‎10.已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试,现把这次考试的分数转换为标准分,标准分的分数转换区间为,若使标准分X服从正态分布N,则( )‎ A.这次考试标准分超过180分的约有450人 B.这次考试标准分在内的人数约为997‎ C.甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为 D.‎ 参考数据:①‎ ‎②;③‎ ‎11.已知双曲线C:()的焦点与抛物线的焦点之间的距离为且C的离心率为3,则( )‎ A.C的渐近线方程为 B.C的标准方程为 C.C的顶点到渐近线的距离为 D曲线经过C的一个焦点 ‎12.已知函数()在处取得最大值,且最小正周期为2,则( )‎ A.函数是奇函数 B.函数是偶函数 C.函数在上单调递增 D.函数是周期函数 第Ⅱ卷 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若,则的值为_______.‎ ‎14.已知向量、的夹角为,且,,则_______,在方向上的投影等于_______.‎ ‎15.在直角梯形中,,,,若将直角梯形绕边旋转一周,则所得几何体的表面积为_______.‎ ‎16.已知是定义在R上的奇函数,是的导函数,当时,,则不等式的解集为_______.‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本题10分)如图:某快递小哥从A地出发,沿小路以平均时速20公里/小时,送快件到C处,已知(公里),,,是等腰三角形,.‎ ‎(1)试问,快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处?‎ ‎(2)快递小哥出发15分钟后,快递公司发现快件有重大问题,由于通讯不畅,公司只能派车沿大路追赶,若汽车平均时速60公里/小时,问,汽车能否先到达C处?‎ 参考值:,, .‎ ‎18.(本题12分)已知数列的前n项和为,对任意正整数n,点都在函数的图象上,且在点处的切线的斜率为.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求证:.‎ ‎19.(本题12分)某P2P平台需要了解该平台投资者的大致年龄分布,发现其投资者年龄大多集中在区间岁之间,对区间岁的人群随机抽取20人进行了一次理财习惯调查,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:‎ 组数 分组 人数 第一组 ‎2‎ 第二组 a 第三组 ‎5‎ 第四组 ‎4‎ 第五组 ‎3‎ 第六组 ‎2‎ ‎(1)求a的值并画出频率分布直方图;‎ ‎(2)从被调查的20人且年龄在岁中的投资者中随机抽取3人调查对其P2P理财观念的看法活动,记这3人中来自于区间岁年龄段的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.‎ ‎20.(本题12分)在四棱锥中,底面是一直角梯形,,,,,底面.‎ ‎(1)在线段上是否存在一点F,使得平面,若存在,求出的值;若不存在,试说明理由;‎ ‎(2)在(1)的条件下,若与所成的角为,求二面角的余弦值.‎ ‎21.(本题12分)已知椭圆C:()的离心率为,且椭圆C的中心O关于直线的对称点落在直线上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设P,M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点,连接交椭圆C于另一点E,求直线的斜率取值范围,并证明直线与x轴相交于定点.‎ ‎22.(本题12分)设函数.‎ ‎(1)当时,求的最大值;‎ ‎(2)令,(),其图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)当,,方程有唯一实数解,求正数m的值.‎ 海南中学2020届高三第九次月考 参考答案 一、单项选择题 CAAB BDCA 二、多项选择题 ‎9.AC 10.BC 11.ABD 12.BCD 三、填空题 ‎13. 14.,1 15. 16.‎ 四、解答题 ‎17.解:(1)在中,,由,得, 2分 于是,由 可知,快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处. 5分 ‎(2)在中,由,得, 7分 在中,,由,得, 9分 由 可知,汽车能先到达C处. 10分 ‎18.(1)解:依题意可知,当时,‎ ‎,当时,也符合上式,‎ ‎∴; 4分 ‎(2)证明:∵,∴,,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴原不等式成立 12分 ‎19.解:(1), 2分 直方图中小矩形的高度依次为 ‎,,,,,,‎ 其频率分布直方图如图.‎ ‎(2)因为区间岁年龄段的“投资者”有2名,区间岁年龄段“投资者”有4名,‎ 则易知X所有可能取值是1,2,3. 7分 则;;. 10分 故随机变量X的分布为 11分 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故随机变量X的数学期望为. 12分 ‎20.解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,D,,,C,设,则P,假设存在点F,使平面,F,‎ 设平面的一个法向量为,‎ ‎,,,‎ 则,取,则,,‎ ‎∴,要使平面,则,即,,,所以. 6分 ‎(2),,因为与所成的角为,所以 ‎,则 由(1)知平面的一个法向量为,‎ ‎∵,,,∴,,‎ ‎∴,∴,又平面,∴,则平面,‎ 所以,取平面的一个法向量,则 所以二面角的余弦值为 12分 ‎21.解:(1)设点O关于直线的对称点为,则 ‎,解得,依题意,得,∴,,,‎ ‎∴椭圆C的方程是; 4分 ‎(2)设直线的方程为,且,,则,‎ 由,消去y得,‎ ‎,解得,且,‎ ‎∴直线的斜率取值范围是;‎ ‎,‎ 直线的方程为,令,解得 ‎,‎ ‎∴直线与x轴交于定点. 12分 ‎22.解:(1)依题意,知的定义域为,‎ 当时,,‎ ‎,令,解得.‎ 当时,,此时单调递增;‎ 当时,,此时单调递减,‎ 所以,当时,取得极大值,此即为的最大值. 4分 ‎(2),,则有,在上恒成立,‎ 所以,∵,‎ ‎∴当时,取得最大值,所以. 8分 ‎(3)因为方程有唯一实数解,所以有唯一实数解,‎ 设,则 ‎,令,即.‎ 因为,,所以(舍去),‎ 当时,,在上单调递减,‎ 当时,,在单调递增,‎ ‎∴当时,,取最小值.‎ 则,即,‎ 所以,因为,所以 设函数,‎ 因为当时,是增函数,所以至多有一解.‎ 因为,所以方程的解为,即,解得. 12分
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