数学理卷·2018届广东省汕头金山中学高二上学期12月月考（2016-12）

数学理卷·2018届广东省汕头金山中学高二上学期12月月考（2016-12）

高二理科数学月考卷 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1．在空间中，设 m 表示直线， ,  表示不同的平面，则下列命题正确的是 A．若  // ， //m ，则 //m B．若   ， m ，则 //m C．若   ， //m ，则 m D．若  // ， m ，则 m 2．已知焦点在 y 轴上的椭圆方程为 2 2 17 4 x y m m    ，则 m 的范围为 A．（4,7） B .（5.5,7） C .(7, ) D .( ,4) 3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 A、 5 3 B、 3 1 2 C、 4 3 D、 9 10 4．一空间几何体三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 A． 3 2 B．2 C． 3 4 D．6 5．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 81 AA .若侧面 BBAA 11 水平放置时，液面恰好过 AC，BC， 11CA ， 11CB 的中点.则当底 面 ABC 水平放置时，液面高为 A.4 B.5 C.6 D.7 6．设命题甲: 0122  axax 的解集是实数集 R; 命题乙: 10  a ,则命题甲是命题乙成立的 A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 7．设圆 2 21 25x y   的圆心为 C，A（1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点， 线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M ，则 M 的轨迹方程为 A、 2 24 4 125 21 x y  B、 2 24 4 121 25 x y  C、 2 24 4 125 21 x y  D、 2 24 4 121 25 x y  8．若 0433 222  cba ，则直线 0 cbyax 被圆 122  yx 所截得的弦 长 为 A. 3 2 B. １ C. 2 1 D. 4 3 9．直线 2 1 0x a y   与直线 2 1 3 0a x by    互相垂直， ,a b R 则 ab 的最小值 为 A． 1 B．2 C．4 D．5 10. 如图，在正方体 1111 DCBAABCD  中，O 是底面 ABCD 的中心， E 为 1CC 的中点， 那么异面直线OE 与 1AD 所成 角 的余弦值等于 A. 6 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 6 3 11．给出下列四个命题： ①命题“ x R  ，都有 2 31 4x x   ”的否定是“ x R  ，使 2 31 4x x   ” ②命题“设向量 (4sin ,3), (2,3cos )a b   ，若 //a b ，则 4   ”的逆命题、否命题、 逆否命题中真命题的个数为 2； ③集合 2{ | 0}, { | lg(sin )}A x x x B y y x      ， 2{ | 1 }C y y t   ，则 x A 是 CBx  的充分不必要条件。 其中正确命题的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 12．已知 1 2F F 为椭圆 2 2 125 16 x y  的左、右焦点，若 M 为椭圆上一点，且 1 2MF F 的内 切圆的周长等于3 ，则满足条件的点 M 有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．4 个 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答卷中相应横线上） 13．设 a R ，则“ 1a  ”是“直线 1 : 2 0l ax y  与直线 2 : ( 1) 4 0l x a y    平行” 的 条件 14．若直线 2 2 0( 0, 0)ax by a b     经过圆 2 2 2 4 1 0x y x y     的圆心，则 ba 11  的最小值是 . E O C 1 B 1 D 1 C A B D A 1 （第 10 题 . x y 1A 2A T GP MO N 15．已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点，A，B 分别为 C 的左， 右顶点.P 为 C 上一点，且 PF x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E. 若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 16．在直四棱柱 1111 DCBAABCD  中，底面 ABCD 是正方形， ,2AB 点 DCBA ,,, 在球O 的表面上，球O 与 1BA 的另一个交点为 E ，与 1CD 的另一个交点为 F，且 1BAAE  ，则球O 的表面积为 . 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17．已知公差为正数的等差数列 na 满足 11 a ， 5,3,2 431  aaa 成等比数列． （1）求 na 的通项公式；（2）若 n n n ab )1( ，求数列 nb 的前n 项和 nT ． 18.设函数   22cos 2cos ,3 2 xf x x x R       。 （Ⅰ）求  f x 的值域；（Ⅱ）记 ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a，b，c，若  f B =1， b=1,c= 3 ，求 a 的值。 19. 如图，已知三棱锥 的侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且 1OA  ， OB OC 2 ， E 是OC 的中点. （1）求 点到面 的距离； （2）求二面角 E AB C  的正弦值. 20．已知椭圆 E :   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的一个焦点为  1 3,0F  ,而且过点 13, 2H      . （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）设椭圆 E 的上下顶点分别为 1 2,A A , A B CEO P 是椭圆上异于 1 2,A A 的任一点, 直线 1 2,PA PA 分别交轴于点 ,N M , 若直线OT 与过点 ,M N 的圆G 相切,切点为T . 证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值. 21．设圆 2 2 2 15 0x y x    的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，l 交 圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. （I）证明 EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； （II）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 参考答案 一、选择题 DBACC BABBD DA 二、填空题 13、充分不必要条件 14、4 15、 3 1 16、8 三、解答题 17．（1） 5,3,2 431  aaa 成等比数列，∴ )5(2)3( 41 2 3  aaa ， 4,0,0472 2  dddd ， 34  nan ， 所以数列 na 的通项公式  Nnnan ,34 ． （2）由（1）可得 )34()1()1(  nab n n n n ， 当n 为偶数时， nnnTn 224)34(1713951  ， 当n 为奇数时， 1n 为偶数， 12)14()1(211   nnnbTT nnn ， 综上，      .,12 ,2 为奇数 为偶数， nn- nnTn 18、 19.解：（法一）（1） EA 平面 ABC， BM 平面 ABC ， BMEA  ．…………… 1 分 又 AC，BM  AACEA  ，  BM 平面 ACFE ， 而 EM 平面 ACFE ， EMBM  ． ………………………………………3 分 ABC 是直角三角形， 2AC BC ， 90ABC   ． 又 ，BAC  30 4AC ， ，，BCAB 232  1,3  CMAM ． EA 平面 ABC， EAFC // ， 1FC ，  FC 平面 ABCD ．  EAM 与 FCM 都是等腰直角三角形．  45FMCEMA ．  90EMF ，即 MFEM  （也可由勾股定理证得）．………………………………5 分 MBMMF  ，  EM 平面 MBF ．而 BF 平面 MBF ，  EM BF ． ………………………………………………………………………………6 分 （2）延长 EF 交 AC 于G，连 BG ，过C 作CH BG ，连结 FH ． 由（1）知 FC  平面 ABC ， BG  平面 ABC ， FC BG  ． 而 FC CH C  ， BG  平面 FCH ． H GA B C E F M FH  平面 FCH ， FH BG  ， FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成的二面角的平面角． ……………………8 分 在 ABCRt 中，  30BAC ， 4AC ， 330sin  ABBM ． 由 1 3 FC GC EA GA   ，得 2GC  ． 3222  MGBMBG ． 又 GBMGCH  ~ ， BM CH BG GC  ，则 1 32 32  BG BMGCCH ． ………………………………11 分 FCH  是等腰直角三角形， 45FHC ．  平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 2 2 ………………………12 分 20.解：（Ⅰ）解法一:由题意得 2 2 3a b  , 2 2 3 1 14a b   ,解得 2 24, 1a b  , 所以椭圆 E 的方程为 2 2 14 x y  .………………………………………………4 分 解法二:椭圆的两个交点分别为    1 23,0 , 3,0F F , 由椭圆的定义可得 1 2 7 12 | | | | 42 2a PF PF     ,所以 2a  , 2 1b  , 所以椭圆 E 的方程为 2 2 14 x y  .………………………………………………4 分 （Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）可知    1 20,1 , 0, 1A A  ,设  0 0,P x y , 直线 1PA : 0 0 11 yy xx   ,令 0y  ,得 0 0 1N xx y   ; 直线 2PA : 0 0 11 yy xx   ,令 0y  ,得 0 0 1M xx y   ; 设圆G 的圆心为 0 0 0 0 1 ,2 1 1 x x hy y          , 则 2r  2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 1 4 1 1 x x x x xh hy y y y y                       , 2 2 20 0 0 0 1 4 1 1 x xOG hy y        2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 1 4 1 1 4 1 1 1 x x x x xOT OG r h hy y y y y                       而 2 20 0 14 x y  ,所以  2 2 0 04 1x y  ,所以  2 02 2 0 4 1 41 y OT y    , 所以| | 2OT  ,即线段OT 的长度为定值 2 .…………………………………………14 分 解法二:由（Ⅰ）可知    1 20,1 , 0, 1A A  ,设  0 0,P x y , 直线 1PA : 0 0 11 yy xx   ,令 0y  ,得 0 0 1N xx y   ; 直线 2PA : 0 0 11 yy xx   ,令 0y  ,得 0 0 1M xx y   ; 则 2 0 0 0 2 0 0 0 | | | | 1 1 1 x x xOM ON y y y       ,而 2 20 0 14 x y  ,所以  2 2 0 04 1x y  , 所以 2 0 2 0 | | | | 41 xOM ON y    ,由切割线定理得 2 | | | | 4OT OM ON   所以| | 2OT  ,即线段OT 的长度为定值 2 .…………………………………………14 分 21.【解析】（Ⅰ）因为 |||| ACAD  ， ACEB // ，故 ADCACDEBD  ， 所以 |||| EDEB  ，故 |||||||||| ADEDEAEBEA  . 又圆 A 的标准方程为 16)1( 22  yx ，从而 4|| AD ，所以 4||||  EBEA . 由题设得 )0,1(A ， )0,1(B ， 2|| AB ，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为： 134 22  yx （ 0y ）.