2018-2019学年安徽省巢湖第一中学高二下学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省巢湖第一中学高二下学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省巢湖第一中学高二下学期第三次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若复数z满足（1-2i）•z=5（i是虚数单位），则z的虚部为（　　）‎ A． B． C．2i D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由（1﹣2i）z=5，得，‎ ‎∴z的虚部为2．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎2．已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则￢p是￢q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】先写出，然后通过两者相互推导，来判断出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 因为﹁p：a≥0，﹁q：0≤a≤1，所以﹁q⇒﹁p且，所以﹁p是﹁q的必要不充分条件．故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查命题的否定，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判断，属于基础题.表示的是命题的否定的意思，不是否命题.充要条件的判断依据，是，那么是的充分条件，是的必要条件.若，则不是的充分条件，不是的必要条件.‎ ‎3．已知tanα=-，＜α＜π，那么cosα-sinα的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，，可以求出的值，然后代入即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，则.‎ 故答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的化简及求值计算，属于基础题。‎ ‎4．设x，y满足约束条件，则z=4x+y的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.‎ ‎【详解】‎ 画出表示的可行域，如图，‎ 由可得，可得，‎ 将变形为，‎ 平移直线，‎ 由图可知当直经过点时，‎ 直线在轴上的截距最小，‎ 最小值为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎5．等比数列的前项和为，公比为，若，，则（ ）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，分析可得等比数列的公比，进而由等比数列的通项公式可得，解可得，又由，解可得的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，等比数列中，若，则，‎ 若，则，解可得，则，‎ 又由，则有，解可得；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的前项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前项和的性质．‎ ‎6．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据前面图形中，编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存在的关系，并进行归纳，用得到一般性规律，即可求得结论．‎ ‎【详解】‎ 由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：‎ n=1时，=2+3=×（2+3）×2；‎ n=2时，=2+3+4=×（2+4）×3；‎ ‎…‎ 由此我们可以推断：‎ ‎=2+3+…+（n+2）=[2+（n+2）]×（n+1）‎ ‎∴=×[2+（2016+2）]×（2016+1）-5=1011×2015．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（　　）‎ A．？ B．？ C．？ D．？‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时， 当时， ；当时， ；当时， ；当时， ；当时， ，当时 ．此时有 ，算法结束，所以判断框中的条件应填，这样才能保证进行7次求和．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．‎ ‎8．在封闭的正三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB=6，AA1=4，则V的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先利用正三棱柱的特征，确定球半径的最大值，再利用球的体积公式求解.‎ ‎【详解】‎ 正三角形的边长为6，其内切圆的半径为，所以在封闭的正三棱柱ABC－A1B1C1内的球的半径最大值为，所以其体积为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查组合体中球的体积的求解.球的体积和表面积的求解关键是求出球半径.‎ ‎9．已知函数，对任意x∈R恒成立，则ω可以是（　　）‎ A．1 B．3 C． D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意函数，对任意恒成立，‎ ‎ 则可得当时，函数取得最大值，即，‎ ‎ 则，解得，‎ ‎ 当时，，故选B.‎ ‎10．函数y=loga（x+4）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（　　）‎ A．2 B．6 C． D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（﹣3，﹣1），进而可得3m+n＝‎ ‎1，结合基本不等式可得的最小值．‎ ‎【详解】‎ 函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，‎ 当x+4＝1时，即x＝﹣3，y＝﹣1，则A（﹣3，﹣1），‎ ‎∴﹣3m﹣n+1＝0，‎ ‎∴3m+n＝1，‎ ‎∴（3m+n）（）＝55+25+2，当且仅当nm时取等 号，‎ 故最小值为5+2，‎ 故答案为:C ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数恒成立问题，对数函数的图象和性质，基本不等式的应用，难度中 档．‎ ‎11．直线与双曲线的左支、右支分别交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等腰直角三角形的性质，求得A点坐标，代入双曲线方程，求得和的关系，由离心率公式即可求得双曲线的离心率．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：直线与y轴交于C点，‎ ‎△AOB为等腰直角三角形，则∠BAO=∠ABO=45°，‎ 则AC=2b，△AOB为等腰直角三角形，A（-2b，2b），‎ 将A代入双曲线，‎ 可得 ，‎ 双曲线的离心率，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的离心率公式，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎12．若在x=1处取得极大值10，则的值为（　　）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于，依题意知，，，于是有，代入f（1）=10即可求得，从而可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，‎ 又在x=1处取得极大值10，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴或．‎ 当时，，‎ 当＜x＜1时，，当x＞1时，，‎ ‎∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；‎ 当时，，‎ 当x＜1时，，当＜x＜3时，，‎ ‎∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；则，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数在某点取得极值的条件，求得，利用，f（1）=10求得是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．等差数列中，，，则______．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】由题意，根据推出，又知道，故可以求出公差，进而得到．‎ ‎【详解】‎ 因为数列是等差数列，‎ 且，所以，‎ 又知道，所以公差，‎ 故，‎ 所以．‎ 故答案为：30．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的前n项和，通项公式，属于基础题．‎ ‎14．已知函数f（x）=alnx+x在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】[－2，＋∞)‎ ‎【解析】∵f(x)＝alnx＋x.∴f′(x)＝＋1.‎ 又∵f(x)在[2,3]上单调递增，∴＋1≥0在x∈[2,3]上恒成立，∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈[－2，＋∞)．‎ ‎15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，则椭圆C的标准方程为_．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设椭圆方程．由离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4y的焦点，列方程组求出a，‎ b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线 x2＝4y的焦点．‎ 由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），‎ 则有，解得a，b＝c＝1，‎ ‎∴椭圆C的方程：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，椭圆与抛物线的简单性质的应用，考查运算求解能力，函数与方 程思想，是中档题．‎ ‎16．下列关于直线和平面的四个命题中：‎ ‎（1）若，则；（2）若，则；‎ ‎（3）若，则；（4）若，则．‎ 所有正确命题的序号为______．‎ ‎【答案】（2）（3）‎ ‎【解析】由空间中直线与直线，直线与平面的位置关系逐一核对四个命题得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，则或，故（1）错误； ‎ ‎（2）由，则或，又，则，故（2）正确； ‎ ‎（3）若，由直线与平面平行的判定可得，故（3）正确； ‎ ‎（4）若，则或或与相交，故（4）错误． ‎ ‎∴正确命题的序号为（2），（3）． ‎ 故答案为：（2）（3）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，是中档题．‎ 三、解答题 ‎17．2018年4月全国青少年足球超级联赛火爆开启，这是体育与教育的强强联手，这是培养足球运动员的黄金摇篮，也是全国青少年足球的盛宴．组委会在某场联赛结束后，随机抽取了300名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[64，70），[70，76），[76，82），[82，88），[88，94），[94，100]后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求a的值并估计这300名观众评分的中位数；‎ ‎（2）若评分在“88分及以上”确定为“足球迷”，现从“足球迷”中按区间[88，94）与[94，100]两部分按分层抽样抽取5人，然后再从中任意选取两人作进一步的访谈，求这两人中至少有1人的评分在区间[94，100]的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据所有小矩形的面积和为1，列方程求解可得，利用直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（2）列举出从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件共有10个，以及这两人中至少有1人的评分在区间的基本事件有7个，利用古典概型概率公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为(a+0.025+0.035+0.050+0.030+0.020)×6＝1，‎ 所以．‎ 设y为观众评分的中位数，‎ 由前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.70，知82＜y＜88，‎ 所以0.4+(y-82)×0.05＝0.5，则y＝84．‎ ‎（2）以样本的频率作为概率，评分在“88分及以上”确定为“足球迷”，现从“足球迷”中按分层抽样抽取5人，则从评分在区间[88，94)的“足球迷”中抽取3人，记为A，B，C，从评分在区间[94，100]的“足球迷”中抽取2人，记为a，b．‎ 从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件为AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10个基本事件，这两人中至少有1人的评分在区间[94，100]的基本事件有Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共7个基本事件，‎ 则选取的2人中至少有1人的评分在区间[94，100]上的概率．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直方图与古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1) 枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2) 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎18．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据为等差数列，前项和为，，且成等比数列．利用公式即可求解公差和首项，可得数列的通项公式； ‎ ‎（2）将的带入求解的通项公式，利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据为等差数列，．‎ 前项和为，且，即，…①‎ ‎∵成等比数列．可得：．∴…②‎ 由①②解得：，∴数列的通项公式为 ‎（2）由，‎ 即=．‎ 那么：数列的前项和 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎19．已知函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为．‎ ‎（1）求函数f（x）的对称轴方程及单调递增区间；‎ ‎（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当x∈（，）时，求函数g（x）的值域．‎ ‎【答案】(1) 对称轴方程为得x=+，k∈Z，单调区间见解析;(2) 值域为（﹣，].‎ ‎【解析】（1）根据题意得到=，从而得到ω=1，f（x）=sin（2x+）+，令2x+=kπ+，求得x=+，即对称轴；（2）根据图像的变换得到g（x）=sin（4x﹣）+，当x∈（，）时，4x﹣∈（﹣，），结合函数的性质得到值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵函数 sin2ωx+=sin（2ωx+）+ 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为=，‎ ‎∴ω=1，f（x）=sin（2x+）+．‎ 令2x+=kπ+，求得x=+，‎ 故函数f（x）的对称轴方程为得x=+，k∈Z．‎ ‎（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，‎ 可得y=sin（2x﹣+）+=sin（2x﹣）+的图象；‎ 再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），‎ 得到函数y=g（x）=sin（4x﹣）+的图象．‎ 当x∈（，）时，4x﹣∈（﹣，），‎ ‎∴sin（4x﹣）∈（﹣1，1]，‎ 故函数g（x）的值域为（﹣，]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.‎ ‎20．如图，已知在直三棱柱中，，，点是上的动点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是上的中点，求证：面； ‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6‎ ‎【解析】（1）由余弦定理得，由勾股定理得，由面得到，从而得到面，故； ‎ ‎（2）连接交于点，则为的中位线，，得到，从而得到面； ‎ ‎（3）过作垂足为，面，面积法求，求出三角形的面积，代入体积公式进行运算．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，由，‎ 利用余弦定理得，则，‎ ‎∴为直角三角形，得．‎ 又∵面，∴，‎ 而，∴面，则；‎ ‎（2）设交于点，则为的中点，‎ 连接，则为的中位线，则，‎ 又面，则面；‎ ‎（3）在中，过作垂足为，‎ 由面⊥面，得面，‎ ‎∴.‎ 而，‎ 在中，由等面积法得，‎ ‎∴=．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，考查三棱锥的体积的求法，求点到面的距离是解题的关键，是中档题．‎ ‎21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点P（1，），且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）过定点（0，-）的动直线l，交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（）由题可知，则，椭圆经过点，带入可得，由此可知所求椭圆方程为；(2)分别求出与轴平行时和与轴垂直时得圆得方程，联立可求得两圆得切点，进而推断所求的点如果存在只能是，当直线与轴垂直时，以为直径的圆过点，当直线不垂直于轴时设直线的方程为，与椭圆的方程联立求得，证明出,即以为直径得圆恒过点.‎ 试题解析：（）∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵椭圆经过点，代入可得，‎ ‎∴，故所求椭圆方程为．‎ ‎（）当与轴平行时，以为直径的圆的方程：，‎ 当与轴垂直时，以为直径的圆的方程：，‎ 由，‎ 解得，‎ 即两圆公共点，因此，所求的点如果存在，只能是．‎ ‎（i）当直线斜率不存在时，以为直径的圆过点．‎ ‎（ii）若直线斜率存在时，可设直线．‎ 由，消去得：，‎ 记点、，‎ 则，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎∴，‎ 综合（i）（ii），以为直径的圆恒过点．‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．‎ ‎（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；‎ ‎（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎（3）探讨函数F（x）=lnx-+是否存在零点？若存在，求出函数F（x）的零点，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1)；(2)；(3)函数无零点.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导，由导数确定函数的单调性，从而求得最小值；‎ ‎（2）将原问题转化为，再记，从而转化为函数的最值问题；‎ ‎（3）原问题可转化为）是否有解，只需不等号左边的最小值与右边函数的最大值进行比较即可。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ），‎ 由得，由得，‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 当时，，‎ ‎∴.‎ 当时，在上单调递增，，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）原问题可化为，‎ 设，则，‎ 当时，，在（0,1）上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增：‎ ‎∴.‎ ‎∴的取值范围为.‎ ‎（Ⅲ）令，得，即，‎ 由（Ⅰ）知当且仅当时，的最小值是，‎ 设，则，‎ 易知在（0,1）上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴当且仅当时，取最大值，且，‎ ‎∴对都有，，即恒成立.‎ ‎∴函数无零点.‎ 点睛：函数的零点问题常用的方法和思路：‎ 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ 分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；‎ 数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.‎