数学理卷·2018届河南省郑州一中高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届河南省郑州一中高二下学期期中考试（2017-04）

‎2016-2017学年下期中考 ‎18届 高二数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的虚部为（ ）‎ A．1 B． C． -1 D．‎ ‎2.如果的力能使弹簧压缩，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉倒离平衡位置处，则客服弹力所做的功为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.用反证法证明命题“若，则全为0”，其反设正确的是（ ）‎ A．至少有一个为0 B．至少有一个不为0 ‎ C．全部为0 D．中只有一个为0‎ ‎4.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（ ）‎ A．圆、直线 B．直线、圆 C. 圆、圆 D．直线、直线 ‎5.已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，且，则在复平面中所表示的点在第（ ）象限 A． 一 B． 二 C. 三 D．四 ‎6.在平面直角坐标系中，由直线，，与曲线围成的封闭图形的面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.记为虚数集，设，，则下列类比所得的结论正确的是（ ）‎ A．由，类比得 ‎ B．由，类比得 ‎ C.由，类比得 ‎ D．由，类比得 ‎8.已知函数的导函数为，且满足，则（ ）‎ A． B． -1 C. 1 D．‎ ‎9.利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.在区间上函数和函数在同一点取得相同的最小值，那么在上的最大值是（ ）‎ A． B． C. 8 D．4‎ ‎11.若在曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”.下列方程：①；②；③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）‎ A．①② B．②③ C. ①④ D．③④‎ ‎12.已知，其中，如果存在实数，使，则的值（ ）‎ A．必为正数 B．必为负数 C. 必为非负数 D．必为非正数 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎14.若，，，则从小到大的顺序为 ．‎ ‎15.已知圆的参数方程（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线与圆 的交点的直角坐标为 ．‎ ‎16.已知，且，则的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 复数，，其中.‎ ‎（1）若，求的模；‎ ‎（2）若是实数，求实数的值.‎ ‎18. 设.‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）求不等式的解集.‎ ‎19. 已知曲线（为参数），（为参数）.‎ ‎（1）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.‎ ‎20. 已知两地的距离是，按交通法规规定，两地之间的公路车速应限制在，假设汽油的价格是6元/升，以速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是36元，那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？‎ ‎21. 设正项数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）计算的值，并猜想的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明的通项公式.‎ ‎22.设函数.‎ ‎（1）判断能否为函数的极值点，并说明理由；‎ ‎（2）若存在，使得定义在上的函数在处取得最大值，求实数的最大值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ADBAA 6-10: DCBCD 11、12：BB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 和 16.18‎ 三、解答题 ‎17.（1），则，‎ 则，‎ ‎∴的模为.‎ ‎（2）‎ 因为是实数，所以，解得或 故或.‎ ‎18.（1）‎ 易知当时，的最小值为-3.‎ ‎（2）‎ 如图，函数的图象与直线相交于横坐标为，的两点，‎ 由此得：.‎ ‎19.（1），‎ 为圆心是，半径是1的圆；‎ 为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.‎ ‎（2）当时，，，故 为直线，到的距离 其中，‎ 从而当，时，取得最小值.‎ ‎20.设汽车以行驶时，行车的总费用，‎ 所以 令，解得 容易得到，是函数的极小值点，也是最小值点，即当车速为时，行车总费用最少，‎ 此时最少总费用（元）‎ 答：最经济的车速约为；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约为240元.‎ ‎21.（1）当时，，得；，得 ‎，得 猜想 ‎（2）证明：（ⅰ）当时，显然成立，‎ ‎（ⅱ）假设当时，‎ 则当时，‎ 整理得：，即 结合，解得 于是对于一切的自然数，都有.‎ ‎22.（1）能，理由如下：‎ ‎，，令，得；‎ 当时，，于是在单调递增，在单调递减，在单调递增，‎ 故当时，是的极小值点.‎ ‎（2）‎ 由题意，当时，恒成立，‎ 易得，令 ‎，因为必然在端点处取得最大值，即.‎ 即，即，解得：，‎ 所以的最大值为.‎