福建省晋江市南侨中学2020届高三上学期第一阶段考试数学（文）试题

福建省晋江市南侨中学2020届高三上学期第一阶段考试数学（文）试题

南侨中学2019—2020学年高三第一学期第一次月考试卷 数学（文）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上. ‎ ‎1.设、是两个非空集合，定义集合且，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可得： ，‎ 结合题中新定义的集合运算可得： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎2.若复数满足,则(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．‎ ‎【详解】解：由，得，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．‎ ‎3.设命题p：函数y＝在定义域上为减函数；命题q：∃a，b∈(0，＋∞)，当a＋b＝1时，‎ ‎＋＝3.以下说法正确的是(　　)‎ A. p∨q为真 B. p∧q为真 C. p真q假 D. p，q均假 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据反比例函数的单调性知，它在定义域上没有单调性，所以命题p是假命题；根据a+b=1得b=1-a，带入＋＝3，看能否解出a，经计算解不出a，所以命题q是假命题，即p，q均假，所以D是正确的．‎ ‎【详解】函数y＝分别在(－∞，0)，(0，＋∞) 上是减函数，在定义域{x|x≠0}上不具有单调性，‎ ‎∴命题p是假命题；‎ 由a＋b＝1得b＝1－a，代入＋＝3并整理得3a2－3a＋1＝0，∴Δ＝9－12<0，∴该方程无解，‎ 即不存在a，b∈(0，＋∞)，当a＋b＝1时，＋＝3，‎ ‎∴命题q是假命题，‎ ‎∴p，q均假，∴p∨q为假，p∧q为假．故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判断与应用，属于基础题.‎ ‎4.设，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用底数的换底公式，指数与对数的运算性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，因为，又由，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要靠考查了指数式与对数式的比较大小问题，其中熟记对数的换底公式和指数与对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理能力与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.设、，向量，，，且，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，，利用平面向量垂直与共线向量坐标表示列方程组解出、的值，可得出的坐标，然后利用平面向量的求模公式得出结果.‎ ‎【详解】由于，，可得，解得，，，‎ ‎，因此，，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算以及平面向量模的坐标表示，将题中的条件利用坐标进行转化，是解题的关键，考查化归与转化思想，属于基础题.‎ ‎6.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为-1为即值点且为极小值点，故在-1的左侧<0，-1的右侧>0,所以当x>0时，‎ 排除AD，当x<-1时，故综合得选C ‎7.的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以先通过解三角形的余弦公式解出、的值，再通过解得三角行面积。‎ ‎【详解】‎ 即，，‎ ‎,‎ 解得，即故选B。‎ ‎【点睛】解三角形余弦公式为，面积公式为。‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出s的值为（ ）‎ A. B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序框图可得程序框图的功能是求s=sin+sin+…+sin的值，观察规律可得 sin的取值以6为周期，且sin+sin+…sin=0，从而可得 s=sin+sin+sinπ+sin+sin=0．‎ ‎【详解】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求s=sin+sin+…+sin的值，‎ 因为：sin取值以6为周期，且sin+sin+…sin=0，‎ 又因为：2015=335*6+5，‎ 所以：s=sin+sin+…+sin=sin+sin+sinπ+sin+sin=0．‎ 故答案为：B．‎ ‎【点睛】本题主要考察了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得 到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．‎ ‎9.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．‎ ‎【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，‎ ‎∴几何体的表面积 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．‎ ‎10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取A1D1的中点N，连结MN，B1D1，易得MN∥BD，故异面直线AM与BD所成角的余弦值为直线AM与MN所成角的余弦值.‎ ‎【详解】如图所示，取A1D1的中点N，连结MN，B1D1，‎ ‎∵M为棱A1B1的中点，∴MN∥B1D1，‎ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD∥B1D1，‎ ‎∴异面直线AM与BD所成角的余弦值为直线AM与MN所成角的余弦值，‎ 连结AN，则∠AMN（或其补角）为异面直线AM与BD所成的角，‎ 设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2a，‎ 则AM=AN=，MN=，‎ ‎△AMN中，由余弦定理得：cos∠AMN==．‎ 故答案为：D ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与计算能力，属于常考题型.‎ ‎11.A4纸是生活中最常用的纸规格．A系列的纸张规格特色在于：①A0、A1、A2…、A5，所有尺寸的纸张长宽比都相同．②在A系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸，1张A1纸对裁可以得到2张A2纸，依此类推．这是因为A系列纸张的长宽比为：1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈，那么A4纸的长度为（　　）‎ A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对折规律可得A4纸的长度.‎ ‎【详解】由题意，A0纸的长与宽分别为118.9厘米，84.1厘米，‎ 则A1纸的长为，A2纸的长为，‎ A3纸的长为，A4纸的长为=29.7（厘米）．‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据题意正确找出图形变化过程中存在的规律是解题的关键.‎ ‎12.已知函数，若实数x0是方程f(x)＝0解，且0＜x1＜x0，则f(x1‎ ‎)的值(　　)‎ A. 恒为负 B. 等于零 C. 恒为正 D. 不大于零 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当x＞0时，f(x)＝x－log3x是减函数，‎ 又x0是方程f(x)＝0的根，即f(x0)＝0.‎ ‎∴当0＜x1＜x0时，f(x1)＞f(x0)＝0.选C.‎ 点睛：由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决 二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）‎ ‎13.若实数满足约束条件，则的最小值等于_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值 ‎【详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，‎ 目标函数化为：，则的最小值即为动直线在 轴上的截距的最大值．通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最大．因为解得，‎ 所以的最小值．‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值 ‎14.对于实数和，定义运算，则式子的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，而，所以．‎ 考点：1、对数运算；2、新定义问题．‎ ‎15.如图，在中，已知，是上一点，若，则实数的值是__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 三点共线，存在实数，使得，又，，解得，故答案为.‎ ‎16.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数具有性质__________．（填入所有正确性质的序号）‎ ‎①最大值为，图象关于直线对称；‎ ‎②图象关于轴对称；‎ ‎③最小正周期为；‎ ‎④图象关于点对称；‎ ‎⑤在上单调递减 ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，对于函数：它的最大值为，由于当时，，不是最值，故图象不关于直线对称，故排除①；由于该函数为偶函数，故它的图象关于轴对称，故②正确；它的最小周期为，故③正确；当时，，故函数的图象关于点对称，故正④确；在上，不是单调函数，故排除⑤，故答案为②③④. ‎ ‎【方法点晴】本题主要考查三角函数 单调性、三角函数的周期性及奇偶性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.已知．‎ ‎（1）求f（f（1）），f（f（1））；‎ ‎（2）画出f（x）的图象；‎ ‎（3）若f（x）=a，问a为何值时，方程没有根？有一个根？两个根？‎ ‎【答案】(1)0，4；(2)见解析；(3)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入可得f（f（﹣1））＝f（2）＝0，f（f（1））＝f（﹣3）＝4；‎ ‎（2）分段作出函数f（x）的图象即可；‎ ‎（3）利用数形结合可判断当a≤﹣4时，f（x）＝a无解；当﹣4＜a≤1，且a≠0时，f（x）＝a只有一个根；当a＞1，或a＝0时，f（x）＝a有两个根．‎ ‎【详解】解：（1）f（f（﹣1））＝f（2）＝0，‎ f（f（1））＝f（﹣3）＝4；‎ ‎（2）作函数f（x）的图象如下，‎ ‎，‎ ‎（3）由图象观察得，‎ 当a≤﹣4时，f（x）＝a无解；‎ 当﹣4＜a≤1，且a≠0时，f（x）＝a只有一个根；‎ 当a＞1，或a＝0时，f（x）＝a有两个根．‎ ‎【点睛】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，注意分段作出函数的图象．‎ ‎18.在数列{an}中，（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）求c的值；‎ ‎（3）设bn=anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）Sn.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用等差数列定义即可证明；‎ ‎(2) 由（1）可知，利用前三项列方程即可；‎ ‎(3) 由（2）可知c=2，bn=anan+1=，利用裂项相消法求和.‎ ‎【详解】解：（1）因为，所以an≠0，‎ 则，又c为常数，‎ ‎∴数列是等差数列；‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎∵a1=1，∴a2=，a5=，‎ ‎∵a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，所以，‎ 解得c=0或c=2，当c=0时，an=an+1，不满足题意，舍去，‎ 所以c的值为2；‎ ‎（3）由（2）可知c=2，∴，‎ bn=anan+1==，‎ 所以数列{bn}的前n项和 Sn==.‎ ‎【点睛】本题是一道数列综合题，考查了等差数列的判断，等比中项，裂项相消法求数列的和，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎19.如图，D是直角斜边BC上一点，．‎ Ⅰ若，求的大小；‎ Ⅱ若，且，求AD的长．‎ ‎【答案】ⅠⅡ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ由已知可求，在中，由正弦定理可得，即可解得．Ⅱ由已知在中，由勾股定理可得，，，令，由余弦定理，即可解得AD的值．‎ ‎【详解】Ⅰ，，‎ ‎， ‎ 在中，由正弦定理可得：， ‎ ‎， ‎ 或， ‎ 又，‎ Ⅱ，‎ ‎，‎ 在中，由勾股定理可得：，可得：，‎ ‎，，， ‎ 令，由余弦定理：‎ 在中，， ‎ 在中，， ‎ 可得：，‎ 解得：，可得：‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎20.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形 ‎(1)求证:PN//平面BCD ‎(2)求证：BD//PN ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用线面平行判定定理可证PN//平面BCD；‎ ‎(2)利用线面平行性质定理可证BD//PN.‎ ‎【详解】证明：（1）∵PQMN是平行四边形，‎ ‎∴PN∥QM，‎ 又PN⊄平面BCD，QM平面BCD，‎ ‎∴PN//平面BCD；‎ ‎（2）证明：由（1）知PN∥平面BCD． ‎ ‎∵PN⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD=BD，‎ ‎∴PN∥BD，‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定定理与性质定理，考查空间想象能力与推理能力，属于基础题.‎ ‎21.已知函数f（x）=（a-）x2-2ax+lnx，a∈R ‎（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；‎ ‎（2）求g（x）=f（x）+ax在x=1处的切线方程；‎ ‎（3）若在区间（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）最大值，最小值．（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出导函数，明确函数的单调性，即可得到f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；‎ ‎(2)利用导数的几何意义可得切线斜率g′（1）=a，结合点斜式得到切线方程；‎ ‎(3)求出导函数f′（x）=．对a分类讨论，明确函数的单调性，求出函数的最值即可得到实数a的取值范围．‎ ‎【详解】（1）当a=1时，，=．‎ 对于∀x∈[1，e]，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在区间[1，e]上单调递增．‎ ‎∴f（x）max=f（e）=，．‎ ‎（2）g（x）=，g（1）=．‎ g′（x）=（2a-1）x-a+，g′（1）=a．‎ ‎∴g（x）=f（x）+ax在x=1处的切线方程是=a（x-1），即；‎ ‎（3）函数f（x）=（a-）x2-2ax+lnx，‎ f′（x）==，x >1，‎ ‎（i）当a时，恒有f′（x）＜0，‎ ‎∴函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．‎ 要满足在区间（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，则f（1）=-a-≤0即可，解得．‎ ‎∴实数a的取值范围是．‎ ‎（ii）当a时，令f′（x）=0，解得x1=1，．‎ ‎①当1=x1＜x2时，即时，在区间（x2，+∞）上有f′（x）＞0，此时f（x）在此区间上单调递增，不合题意，应舍去．‎ ‎②当x2≤x1=1时，即a≥1，在区间（1，+∞）上有f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，不合题意．‎ 综上（i）（ii）可知：实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，不等式恒成立问题，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．‎ ‎22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（为参数，0≤α＜π）．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程．并说明曲线C的形状；‎ ‎（2）若直线l经过点M（1，0）且与曲线C交于A、B两点，求|AB|．‎ ‎【答案】（1）y2=4x，曲线C是抛物线．（2）8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，即可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到斜率，再联立抛物线方程，消去x，得到y的方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到所求值．‎ ‎【详解】解：（1）对于曲线C：可化为，‎ 把互化公式代入，得y=，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x，‎ 曲线C是抛物线．‎ ‎（2）根据条件直线l经过两定点（1，0）和（0，1），‎ ‎∴其方程为x+y=1．‎ 由，消去x并整理得：y2+4y-4=0，‎ 令A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则y1+y2=-4，y1y2=-4，‎ ‎∴|AB|=•==8‎ ‎【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线与抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长的方法，考查运算能力，属于中档题．‎