高中数学必修2教案:2_1_1平面

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高中数学必修2教案:2_1_1平面

第一课时 平 面 ‎(一)教学目标 ‎1.知识与技能 ‎(1)利用生活中的实物对平面进行描述;‎ ‎(2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图 ‎(3)掌握平面的基本性质及作用;‎ ‎(4)培养学生的空间想象能力.‎ ‎2.过程与方法 ‎(1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识;‎ ‎(2)让学生归纳整理本节所学知识.‎ ‎3.情感、态度与价值观 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣.‎ ‎(二)教学重点、难点 重点:1、平面的概念及表示;‎ ‎2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.‎ 难点:平面基本性质的掌握与运用.‎ ‎(三)教学方法 师生共同讨论法 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 新课导入 日常生活中有哪些东西给我们以平面的形象?‎ 师:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面,平静的湖面等,都给我们以平面的印象,你们能举出更多的例子吗?引导学生观察、思考、举例和相交交流,教师对学生活动给予评价,点出主题.‎ 培养学生感性认识 探索新知 ‎1.平面的概念 随堂练习 判定下列命题是否正确:‎ ‎①书桌面是平面;‎ ‎②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;‎ ‎③‎ 师:刚才大家所讲的一些物体都给我们以平面的印象,几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是向四周无限伸展的,现在请大家判定下列命题是否正确?‎ 加深学生对平面概念的理解.‎ 有一个平面的长是50m,宽是20m;‎ ‎④平面是绝对的平,无厚度,可以无限延展的抽象的数学概念.‎ 生:平面是没有厚度,无限延展的;所以①②③错误;④正确.‎ 探索新知 ‎2.平面的画法及表示 ‎(1)平面的画法 通常我们把水平的平面画成平行四边形,用平行四边形表示平面,其中平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住. 我们常把被遮挡的部分用垂线画出来.‎ ‎(2)平面的表示 法1:平面,平面.‎ 法2:平面ABCD,平面AC或平面BD.‎ ‎(3)点与平面的关系 平面内有无数个点,平面可看成点的集合. 点A在平面内,记作:A. 点B在平面外,记作:B.‎ 师:在平面几何中,怎样画直线?(一学生上黑板画)‎ 师:这位同学画的实质上是直线的部分,通过想象两端无限延伸而认为是一条直线,仿照直线的画法,我们可以怎样画一个平面?‎ 生:画出平面的一部分,加以想象,四周无限延展,来表示平面.‎ 师:大家画一下.‎ 学生动手画平面,将有代表性的画在黑板上,教师给予点评,并指出一般画法及注意事项(作图)‎ 加深学生对平面概念的理解,培养学生知识迁移能力,空间想象能力和发散思想能力.‎ 探索新知 ‎3.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 ‎(1)公理1的图形如图 ‎(2)符号表示为:‎ ‎(3)公理1的作用:判断直线是否在平面内.‎ 公理2:过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.‎ 师:我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理,就是不必证明而直接被承认的真命题,它们是进一步推理的出发点和根据. 先研究下列问题:将直线上的一点固定在平面上,调整直线上另一点的位置,观察其变化,指出直线在何时落在平面内.‎ 生:当直线上两点在一个平面内时,这条直线落在平面内.‎ 师:这处结论就是我们要讨论的公理1(板书)‎ 通过实验,培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆.‎ ‎(1)公理2的图形如图 ‎(2)符号表示为:C 直线AB 存在惟一的平面,‎ 使得 注意:(1)公理中“有且只有一个”的含义是:“有”,是说图形存在,“只有一个”,是说图形惟一,“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的,而且只有一个”,也即不共线的三点确定一个平面.‎ ‎“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”‎ ‎(2)过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”‎ 师:从集合的角度看,公理1就是说,如果一条直线(点集)中有两个元素(点)属于一个平面(点集),那么这条直线就是这个平面的真子集.‎ 直线是由无数个点组成的集合,点P在直线l上,记作P∈l;点P在直线l外,记作P l;如果直线l上所有的点都在平面内,就说直线l在平面内,或者说平面经过直线l,记作l,否则就说直线l在平面外,记作.‎ 下面请同学们用符号表示公理1.‎ 学生板书,教师点评并完善.‎ 大家回忆一下几点可以确定一条直线 生:两点可确定一条直线.‎ 师:那么几点可以确定上个平面呢?‎ 学生思考,讨论然后回答.‎ 生1:三点可确定一个平面 师:不需要附加条件吗?‎ 生2:还需要三点不共线 师:这个结论就是我们要讨论的公理2‎ 师投影公理2图示与符号表示,分析注意事项.‎ 师:下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁,思考这两个平面的公共点有多少个?它们有什么特点.‎ 加强学生对知识的理解,培养学生语言(符号图形)的表达能力.‎ 学生在观察、实验讨论中得出正确结论,加深了对知识的理解,还培养了他们思维的严谨性.‎ 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.‎ ‎(1)公理3的图形如图 ‎(2)符号表示为:‎ ‎(3)公理3作用:判断两个平面是否相交.‎ 生:这两个平面的无穷多个公共点,且所有这些公共点都在一条直线上.‎ 师:我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.(板书)这就是我们要学的公理3.‎ 典例分析 例1 如图,用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.‎ 分析:根据图形,先判断点、直线、平面之间的位置关系,然后用符号表示出来.‎ 解:在(1)中,,,.‎ 在(2)中,,,,,.‎ 学生先独立完成,让两个学生上黑板,师生给予点评 巩固所学知识 随堂练习 ‎1.下列命题正确的是( )‎ A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 ‎2.(1)不共面的四点可以确定几个平面?‎ ‎(2)共点的三条直线可以确定几个平面?‎ 学生独立完成 答案:‎ ‎1.D ‎2.(1)不共面的四点可确定4个平面.‎ ‎(2)共点的三条直线可确定一个或3个平面.‎ ‎3.(1)×(2)√(3)√(4)√‎ ‎4.(1)A,B.‎ ‎(2)M,M.‎ ‎(3)a,a.‎ 巩固所学知识 ‎3.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.‎ ‎(1)平面与平面相交,它们只有有限个公共点. ( )‎ ‎(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.‎ ‎( )‎ ‎(3)经过两条相交直线,有且只有一个平面. ( )‎ ‎(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合. ( )‎ ‎4.用符号表示下列语句,并画出相应的图形:‎ ‎(1)点A在平面内,但点B在平面外;‎ ‎(2)直线a经过平面外的一点M;‎ ‎(3)直线a既在平面内,又在平面内.‎ 归纳总结 ‎1.平面的概念,画法及表示方法.‎ ‎2.平面的性质及其作用 ‎3.符号表示 ‎4.注意事项 学生归纳、总结教学、补充完善.‎ 回顾、反思、归纳知识,提升自我整合知识的能力,培养思维严谨性固化知识,提升能力.‎ 课后作业 ‎2.1第一课时 习案 学生独立完成 备选例题 例1 已知:a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线,求证:a,b,c,d共面.‎ 证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设a,b,c相交于一点A,‎ 但AÏd,如图1.∴直线d和A确定一个平面α.‎ 又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G,‎ α b a d c G F E A a b c d α H K 图1‎ 图2‎ 则A,E,F,G∈α.‎ ‎∵A,E∈α,A,E∈a,∴aα.‎ 同理可证bα,cα.‎ ‎∴a,b,c,d在同一平面α内.‎ ‎2o当四条直线中任何三条都不共点时,如图2.‎ ‎∵这四条直线两两相交,则设相交直线a,b确定一个平面α.‎ 设直线c与a,b分别交于点H,K,则H,K∈α.‎ 又 H,K∈c,∴c,则cα.‎ 同理可证dα.‎ ‎∴a,b,c,d四条直线在同一平面α内.‎ 说明:证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:首先根据公理3或推论,由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.‎ 例2 正方体ABCD—A1B‎1C1D1中,对角线A‎1C与平面BDC1交于点O,AC、BD交于点M,求证:点C1、O、M共线.‎ M O B1‎ C1‎ D1‎ A1‎ D C B A 分析:要证若干点共线的问题,只需证这些点同在两个相交平面内即可.‎ 解答:如图所示A‎1A∥C1C确定平面A‎1C O∈平面A‎1C A1C平面A‎1C ‎ 又O∈A‎1C 平面BC1D∩直线A‎1C = O ‎ O∈平面BC1D O在平面A1C与平面BC1D的交线上.‎ AC∩BD = MM∈平面BC1D 且M∈平面A‎1C ‎ 平面BC1D∩平面A‎1C = C‎1M ‎ O∈C‎1M,即O、C1、M三点共线.‎ 评析:证明点共线的问题,一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样,可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.‎
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