2017-2018学年江西省上饶市高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 江西省上饶市 2017-2018 学年高二下学期期末考试数学（文） 试题 评卷人 得分 一、单选题 1．若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 等于（ ） A. B. i C. i D. 【答案】C 【解析】分析：根据题意得到 z 的表达式化简即可. 详解:由题可得： 故选 C. 点睛：考查复数的除法运算，属于基础题. 2．已知命题 p:实数 x，y 满足 x>1 且 y>1，命题 q: 实数 x，y 满足 x+y>2，则 p 是 q 的 ( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】分析：根据充分必要条件的定义，结合条件进行推理即可. 详解：由:实数 x，y 满足 x>1 且 y>1，显然可得 x+y>2，即充分性成立，但 x+y>2，则 得不到 x>1 且 y>1，例如 x 取 0，y 取 3，故必要性不成立，故答案为 p 是 q 的充分不必 要条件 故选 B. 点睛：考查充分不必要条件，对定义的和推理关系的了解是解题关键，属于基础题. 3．命题“对任意 R，都有 ”的否定是（ ） A. 存在 R，使得 B. 不存在 R，使得 C. 对任意 R，都有 D. 存在 R，使得 【答案】D 【解析】分析：根据命题的否定格式改写即可. 详解：由命题的否定形式可得：命题“对任意 R，都有 ”的否定是存在 R， 使得 故选 D. 点睛：考查特称命题的否定改写，属于基础题. 4．变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)， 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数， 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：根据 x 取值变化 y 的取值情况即可得出相关系数的正负，从而可以判断 结论. 详解：由题可得：变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)， (12.5,4)，(13,5)；随着 x 的增大 y 值也增大，故为正相关所以 >0, 变量 U 与 V 相对 应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，随着 x 的变大 y 值 在变小，所以为负相关，故 <0,所以 ，故选 A. 点睛：考查相关系数的符号确定，对正负相关的定义的理解是解题关键，属于基础题. 5．执行如图所示的程序框图，如果输入的 的值是 6，那么输出的 的值是（ ） A. 15 B. 105 C. 120 D. 720 【答案】B 【解析】试题分析：第一次进行循环体后， ，满足继续循环的条件，则 ， ；当 时，满足继续循环的条件，则 ， ；当 时，满足继续 循环的条件，则 ， ；当 时，不满足继续循环的条件，故输出的 的值是 ．故答案为 B. 考点：程序框图. 【方法点晴】本题考查的知识点是程序框图，属于高考中的高频考点，当循环的次数不 多时，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，当循环次数较多时，应找到其规律， 按规律求解．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 6．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个大于或等于 60°”时，应假设（　　） A. 三个内角都小于 60° B. 三个内角都大于或等于 60° C. 三个内角至多有一个小于 60° D. 三个内角至多有两个大于或等于 60° 【答案】A 【解析】分析：写出原结论的命题否定即可得出要假设的命题． 详解：原命题的否定为：三角形三个内角都小于 60°，故选 A. 点睛：本题考查了反证法与命题的否定，属于基础题． 7．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为 ， ， ，那么三人中恰有两 人合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有 2 个合格，包 括三种情况，这三种情况是互斥的，写出三个人各有一次合格的概率的积，再求和． 详解：由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率， 三个人中恰有 2 个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的 ∴三人中恰有两人合格的概率 故选 B. 点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是看出事件发生包括的 所有的情况，这里的数字比较多，容易出错． 8．若函数 在 上的最大值为 ，则实数 的值为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 ： , 由 得 ， 或 ． 又 ，得 ． 考点：导数的应用. ( ) 3 23 2f x x x m= + + [ ]2,1− 9 2 m ( ) 23 3f x x x′ = + ( ) 0f x′ = 0x = 1x = − ( ) 51 ,2f m= + ( )0 ,f m= ( ) 1 5 91 ,2 2 2f m m− = + ∴ + = 2m = 9．投掷两粒骰子,得到其向上的点数分别为 m、n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：按多项式乘法运算法则展开，化简为 a+bi（a，b∈R）的形式，虚部为 0，求出 m、n 的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可． 详解：因为（m+ni）（n-mi）=2mn+（n2-m2）i 为实数所以 n2=m2 故 m=n 则可以取 1、2、3、4、5、6，共 6 种可能， 所以 P＝ 故选 B. 点睛：本题考查复数的基本概念，古典概型及其概率计算公式，考查分析问题解决问题 的能力，是基础题． 10．已知三次函数 y=f(x)的图像如下图所示，若 是函数 f(x)的导函数，则关于 x 的不 等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：结合导函数和原函数的关系即可得求得结论. 详解：有图可知 ，所以即解 0，当 时，等价于 0，故满足条件的为 ，当 时,等价于 0,故满足条件的为 ，所以综合可得 的解集 为 故选 A. 点睛：考查导函数与原函数的关系，导函数大于零则原函数递增，导函数小于零则原函 数递减，属于中档题. 11．设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组 样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为 ，0.85 5. 1ˆ 8 7y x= − 则下列结论中不正确的是 A. y 与 x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 C. 若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg D. 若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg 【答案】D 【解析】根据 y 与 x 的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（ ），B 正确； 该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C 正确； 该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为 0.85×170﹣85.71=58.79kg，D 错误． 故选：D． 视频 12．已知双曲线 (b>0)的左、右焦点分别为 ，其一条渐近线方程为 y= x， 点 P 在该双曲线上，且 ，则 =（ ） A. 4 B. 4 C. 8 D. 【答案】D 【 解 析 】 分 析 ： 先 求 出 b ， c ， 设 |PF1|=m ， |PF2|=n ， PF1 ， PF2 的 夹 角 为 α ， 则 mncosα=8，利用余弦定理，计算 mn=20，可得 cosα，求出 sinα，利用 S △PF1F2= mnsinα，即可得出结论． 详解：：∵双曲线 (b>0)的一条渐近线方程为 y= x，∴ ∴c=3，设|PF1|=m，|PF2|=n，PF1，PF2 的夹角为 α，则 mncosα=8， ∴36=m2+n2-2mncosα， ∴m2+n2=52，∵|m-n|=2 ，∴mn=20， ∴cosα= ，∴sinα= ， ( ),x y ,x y ∴S△PF1F2= mnsinα= ×20× = ． 故选：D． 点睛：本题考查双曲线的简单性质，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生 分析解决问题的能力，求出 mn 的值是关键． 第 II 卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．已知函数 f(x)=cosx，则 __________. 【答案】-1 【解析】分析：先求出导函数，然后将 代入原式和导函数求值即可. 详解：由题可得： 故答案为-1. 点睛：考查导数的计算公式和三角特殊值，属于基础题. 14．已知 ， ，若 q 是 p 的必要不充分条件，则实数 的 取值范围是_____________． 【答案】 【解析】分析：利用已知条件求出 p，q，然后通过 q 是 p 的必要不充分条件，列出不 等式组，求出 a 的范围即可． 详解：由题可得： ， q：x2-2x+1-a2≥0，[x-（1-a）]•[x-（1+a）]≥0， ∵a＞0，∴1-a＜1+a． 解得 x≥1+a 或 x≤1-a． 因为 q 是 p 的必要不充分条件，故： 故答案为 点睛：本题考查命题的真假判断，充要条件的判定，考查基本知识的应用．求出命题的 等价条件是解决本题的关键． 15．过椭圆 （ ）的左焦点 作 x 轴的垂线交椭圆于 P， 为右焦 点，若 ,则椭圆的离心率为________ 【答案】 【解析】分析：把 代入椭圆方程得 P 点坐标，进而根据 推断出 ， 整理得出 ，进而求得椭圆的离心率 e 的大小. 详解：由题意知点 P 的坐标为 或 ，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 或 （舍去），故答案是 . 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在解题的过程中，需要应用点在椭圆上 的条件为点的坐标满足椭圆的方程，代入求得 P 点的坐标，根据角的大小，得到边之间 的关系，从而建立关于 a,c 的等量关系式，从而将其转化为关于 e 的方程，求解即可注 意其取值范围，做相应的取舍. 16．已知定义在 R 上的函数 满足 ，且 的导数 在 R 上恒有 ，则不 等式 的解集为____________. 【答案】 【解析】分析：构造函数 g（x），由已知条件，判断 g（x）是单调递减，且 g（1）=0， 得 x2＞1，求得不等式的解集． 详解：令 t=x2，f（x2）＜ ，即 ⇔ ， 令 ，∴ ＜0，∴g（x）在 R 上单调递减， 又∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）﹣ =0， ∴当 t=1 时，f（t）= ， ∴ ⇒t＞1，即 x2＞1，得 x＜﹣1 或 x＞1． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 点睛：本题考查了，不等式求解，函数的单调性，导数，运用了等价转换和 构造思想．属于基础题． 评卷人 得分 三、解答题 17．已知复数 z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z 为纯虚数. （1）求复数 z；（2）若 ＝ ，求复数 的模| |. 【答案】(1)z＝3＋I;(2) . 【解析】分析：（1）利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出． （2）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 详解： (1)(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i， ∵(1＋3i)z 是纯虚数， ∴3－3b＝0 且 9＋b≠0， 则 b＝1，从而 z＝3＋i. (2)ω＝ ∴|ω|＝ . 点睛：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题． 18．已知下列两个命题： 函数 在[2，＋∞)单调递增； 关于 的不等式 的解集为 .若 为真命题， P ( ) ( )2 2 4f x x mx m R= − + ∈ Q x ( ) ( )24 4 2 1 0x m x m R+ − + > ∈ R P Q∨ 为假命题，求 的取值范围． 【答案】{m|m≤1 或 2＜m＜3}． 【解析】试题分析:先根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定 P 为真命 题时 的取值范围，根据二次函数图像确定一元二次不等式恒成立的条件，解得 为 真命题时 的取值范围，再根据 为真命题， 为假命题得 P 与 Q 一真一假， 最后分类讨论真假性确定 的取值范围． 试题解析：函数 f(x)＝x2－2mx＋4(m∈R)的对称轴为 x＝m，故 P 为真命题⇔m≤2 Q 为真命题⇔Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1＜0⇒1＜m＜3. ∵P∨Q 为真，P∧Q 为假，∴P 与 Q 一真一假． 若 P 真 Q 假，则 m≤2，且 m≤1 或 m≥3，∴m≤1； 若 P 假 Q 真，则 m＞2，且 1＜m＜3，∴2＜m＜3. 综上所述，m 的取值范围为{m|m≤1 或 2＜m＜3}． 19．某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看 2018 年足球世界 杯比赛的情况,从全校高三年级 1500 名男生、1000 名女生中按分层抽样的方式抽取 125 名学生进行问卷调查,情况如下表: 打算观看 不打算观看 女生 20 b 男生 c 25 （1）求出表中数据 b，c; （2）判断是否有 99%的把握认为观看 2018 年足球世界杯比赛与性别有关; （3）为了计算“从 10 人中选出 9 人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从 10 人中选出 1 人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看 2018 年 足球世界杯比赛的同学中有 5 名男生、2 名女生来自高三（5）班，从中推选 5 人接受 校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的 5 人中恰有四名男生、一名女生的概 率. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 K0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 P Q∧ m m Q m P Q∨ P Q∧ m 附： 【答案】（1）b=30,c=50（2）有 99%的把握,(3) 【解析】试题分析：（1）由分层抽样的概念得到参数值；（2）根据公式计算得到 ，再下结论；（3）根据古典概型的计算公式，列出事件的所有可能 性，再得到 4 男一女的事件数目，做商即可. 解析： （1）根据分层抽样方法抽得女生 50 人，男生 75 人，所以 b=50-20=30(人)， c=75-25=50(人) （2）因为 ，所以有 99% 的把握认为观看 2018 年足球世界杯比赛与性别有关. （3）设 5 名男生分别为 A、B、C、D、E，2 名女生分别为 a、b，由题意可知从 7 人中 选出 5 人接受电视台采访，相当于从 7 人中挑选 2 人不接受采访，其中一男一女，所有 可 能 的 结 果 有 {A,B}{A,C}{A,D}{A,E}{A,a}{A,b}{B,C}{B,D}{B,E}{B,a}{B,b}{C,D}{C,E}{C,a}{C,b} {D,E}{D,a} {D,b}{E,a}{E,b}{a,b} ， 共 21 种 ， 其 中 恰 为 一 男 一 女 的 包 括 ， {A,a}{A,b}{B,a}{B,b}{C,a}{C,b}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b},共 10 种. 因此所求概率为 20．已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，右焦点为 ， 斜率为 1 的直线 与椭圆 交于 、 两点，以 为底边作等腰三角形，顶点为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）求△ 的面积． 【答案】(1) ；(2) . 【解析】试题分析：（1）根据椭圆的简单几何性质知 ，又 ， 写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线 ，联立方程组，根据直线与圆锥曲 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 ,n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 10 21P = 2 8.66 6.635K ≈ > ( ) ( )( )( )( ) 2 2 125 20 25 30 50 8.66 6.63520 30 50 25 20 50 30 25K × − ×= ≈ >+ + + + 10 21P = G 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 6 3 ( )2 2,0 l G A B AB ( )3,2P − G PAB 2 2 112 4 x y+ = 9 2 2 3a = 2 2 2 4b a c= − = y x m= + 线的位置关系，可得出 中点为 的坐标，再根据△ 为等腰三角形知 ， 从 而 得 的 斜 率 为 ， 求 出 ， 写 出 ： ，并计算 ，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面 积． 试题解析：（1）由已知得 ， ，解得 ，又 ， 所以椭圆 的方程为 ． （2）设直线 的方程为 ， 由 得 ① 设 、 的坐标分别为 ， （ ）， 中点为 ， 则 ， ， 因为 是等腰△ 的底边，所以 ． 所以 的斜率为 ，解得 ，此时方程①为 ． 解得 ， ，所以 ， ，所以 ， 此时，点 到直线 ： 的距离 ， 所以△ 的面积 ． 考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、 点到直线的距离. 【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置 关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得 椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是 等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键． 视频 AB ( )0 0,E x y PAB PE AB⊥ PE 2 4 133 4 m k m − = = − − + 2m = AB 2 0x y− + = 3 2AB = 2 2c = 6 3 c a = 2 3a = 2 2 2 4b a c= − = G 2 2 112 4 x y+ = l y x m= + 2 2 , { 112 4 y x m x y = + + = ， 2 24 6 3 12 0x mx m+ + − = A B ( )1 1,x y ( )2 2,x y 1 2x x< AB ( )0 0,E x y 1 2 0 3 2 4 x x mx += = − 0 0 4 my x m= + = AB PAB PE AB⊥ PE 2 4 133 4 m k m − = = − − + 2m = 24 12 0x x+ = 1 3x = − 2 0x = 1 1y = − 2 2y = 3 2AB = ( )3,2P − AB 2 0x y− + = 3 2 2 3 2 22 d − − += = PAB 1 9 2 2S AB d= ⋅ = 21． 已知函数 ，其中 . （Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）若在区间 上， 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ； 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出 时， ， ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；（Ⅱ）先求出导函数，再 针对 与 进行分类讨论，分别求出 的取值范围，再取并集即可； 试 题 解 析 ： （ Ⅰ ） 当 时 ， ， ； ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． （Ⅱ） ，令 ，解得 或 ， 以下分两种情况讨论： （1）若 ，则 ，当 变化时， 的变化情况如下表： 当 时， 等价于 ，即 ， 解不等式组得 ，因此 ； （2）若 ，则 ， 当 变化时， 的变化情况如下表： ( ) ( )3 23 12f x ax x x R= − + ∈ 0a > 1a = ( )y f x= ( )( )2, 2f 1 1,2 2  −   ( ) 0f x > a 6 9y x= − 0 5a< < 1a = ( )2 3f = ( )2 6f ′ = ( )y f x= ( )( )2, 2f ( )3 6 2y x− = − 6 9y x= − 1 1 2a ≥ 1 10 2a < < a 1a = ( ) 3 23 12f x x x= − + ( )2 3f = ( ) ( )23 3 2 6f x x x f′ ′= − =， ( )y f x= ( )( )2, 2f ( )3 6 2y x− = − 6 9y x= − ( ) ( )23 3 =3 1f x ax x x ax′ = − − ( ) 0f x′ = 0x = 1x a = 0 2a< ≤ 1 1 2a ≥ x ( ) ( )f x f x′， 1 1,2 2x  ∈ −   ( ) 0f x > 1 02 1 02 f f    >      − >    5 08 5 08 a a − > + > 5 5a− < < 0 2a< ≤ 2a > 1 10 2a < < x ( ) ( )f x f x′， 当 时， 等价于 ，即 ， 解不等式组得 或 ，因此 ； 综合（1）和（2），可知 的取值范围为 考点：导数的综合应用；不等式恒成立； 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （α 为参数）． （Ⅰ）求曲线 C 的普通方程； （ Ⅱ ） 在 以 O 为 极 点 ， x 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 直 线 l 方 程 为 ，已知直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，求|AB|． 【答案】(1)见解析;(2) . 【解析】分析：（1）可直接将原式两边同时平方然后由 ，即可消参求 解；（2）先求出直线的普通方程然后根据直线与圆的弦长公式 求解即可. 详解： （1）由已知 ，由 ，消 去 得：普通方程为 ，化简得 （2）由 sin( - )+ =0 知 ， 化为普通方程为 ， 1 1,2 2x  ∈ −   ( ) 0f x > 1 0 1 02 f a f    >      − >    2 5 08 11 02 a a − >  − > 2 52 a< < 2 2a < − 2 5a< < a 0 5a< < 所以圆心到直线 的距离 ，由垂径定理 点睛：考查参数方程，极坐标与普通方程的互化，对公式的熟悉是解题关键，对于第二 问则是常规的直线与圆的弦长问题，直接利用 即可，属于基础题. 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ，不等式 的解集为 ． （Ⅰ）求实数 a 的值； （Ⅱ）若 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围． 【答案】(1) ;(2) . 【解析】分析：（1）去掉绝对值，求出 x 的范围，根据不等式的解集，得到对应关系， 求出 a 的值即可； （2）根据绝对值的性质求出 f（x）+f（x+5）的最小值，得到关于 m 的不等式，解出 即可． 详解： （1）由 ，得 ，∴ ， 又 的解集为 ．解得： ； （2） ． 又 对一切实数 x 恒成立， 点睛：本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值三角不等式的性质，是一道中档 题．