吉林省扶余市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

吉林省扶余市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

扶余一中2019～2020学年度第一学期期中考试 高二数学（理科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.‎ ‎3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.‎ ‎4.本卷命题范围：人教版选修2-1，选修2-2第三章.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先化简复数z,再看复数z在复平面内对应的点所在的象限.‎ 详解：由题得，所以复数z在复平面内对应的点为（2,4），故答案为A.‎ 点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.‎ ‎2.焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（　　）‎ A. y2=-4x B. y2=4x C. x2=-4y D. x2=4y ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），结合焦点坐标求得p，则答案可求．‎ ‎【详解】由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），‎ 由焦点坐标为（1，0），得，即p=2．‎ ‎∴抛物的标准方程是y2=4x．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3.关于命题，下列判断正确的是（ ）‎ A. 命题“每个正方形都是矩形”是特称命题 B. 命题“有一个素数不是奇数”是全称命题 C. 命题“，”的否定为“，”‎ D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题，与全称命题的概念，可判断AB；根据全称命题的否定，可判断C，D.‎ ‎【详解】A选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称命题，故A错；‎ B选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是特称命题，故B错；‎ C选项，命题“，”的否定为“，”，故C正确；‎ D选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数不都是有理数”，故D错；‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记全称命题与特称命题的概念，以及含有一个量词的命题的否定即可，属于基础题型.‎ ‎4.椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将椭圆方程化为标准形式，得到，，再由离心率的定义，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为椭圆方程：可化为，‎ 所以，，因此离心率：.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型.‎ ‎5.“”是“直线与圆相切”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用圆心到直线的距离等于半径求得充要条件即可判断．‎ ‎【详解】当直线与圆相切时，，则，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查充分必要条件的判断，属于基础题型．‎ ‎6.点是抛物线上一点，则到的焦点的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由抛物线方程得到准线方程，再由抛物线的定义，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为抛物线的准线方程为，点是抛物线上一点，‎ 由抛物线的定义可得：.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查求抛物线上的点到到焦点的距离，熟记抛物线的定义即可，属于基础题型.‎ ‎7.当复数的实部与虚部的差最小时，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 实部与虚部差为。利用二次函数性质求得最值，再利用复数除法运算即可 ‎【详解】复数z的实部与虚部的差为，‎ 当时，差值最小，此时，∴.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，熟练求解二次函数最值是关键，是基础题．‎ ‎8.双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过抛物线的顶点，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先依题意设出双曲线的方程，再由该双曲线过抛物线的顶点，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为双曲线与双曲线有共同的渐近线，所以设双曲线的方程为：‎ 其中，‎ 又因的顶点为, 且经过抛物线的顶点,‎ 所以有,即，‎ 所以，故即为所求；‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，待定系数法是最常用的一种做法，属于基础题型.‎ ‎9.在空间直角坐标系中，，，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到，，求出平面的一个法向量，设与平面所成角为，由，即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可得：，，设是平面一个法向量，则，即，令，得.‎ 设与平面所成角为，则.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查求直线与平面所成角的正弦值，熟记空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.‎ ‎10.已知，分别为椭圆：的左顶点、下顶点，过点且斜率为1的直线与的另一个公共点为，则（）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过题意，容易求出直线的方程，将直线和椭圆联立，求出交点，通过向量数量积的坐标运算即可求出．‎ ‎【详解】易知，，方程为，联立，得，解得，，则的坐标为，则，，.故选D ‎【点睛】本题时椭圆和向量结合的问题，根据直线和椭圆的位置关系求出需要的向量的坐标，是基础题．‎ ‎11.已知点是抛物线上的动点，则的最小值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意：表示A（3，1）和F（1，0）与在抛物线上的动点P的距离之和，利用抛物线的定义将到F的距离转到到准线的距离即可求解.‎ ‎【详解】由题意知：= 表示A（3，1）和F（1，0）与在抛物线上的动点P的距离之和，又F（1，0）为抛物线的焦点，所以抛物线上的动点P到F（1，0）的距离等于到x=-1的距离，只需要过A作x=-1的垂线交抛物线于P，交准线于M，则AM=4即为所求.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了两点之间的距离公式，属于基础题．‎ ‎12.实轴长为的双曲线上恰有个不同的点满足，其中，分别是双曲线的左、右顶点.则的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到，，，设，根据，得，再与双曲线联立，消去，得到，根据双曲线上存在个不同的点满足，得到只需，求出，进而可求出离心率的范围.‎ ‎【详解】依题意可得，，，设，则由，‎ 得，整理得.‎ 由，得，‎ 因为双曲线上恰有个不同的点满足，‎ 所以方程有两不等实根，‎ 所以只需，解得，‎ 则.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率的范围，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若复数为纯虚数，则________.‎ ‎【答案】5i .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用纯虚数的定义、复数的运算即可得出．‎ ‎【详解】∵为纯虚数，∴，∴，∴.‎ 故答案为：5i ‎【点睛】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算，属于基础题．‎ ‎14.椭圆的焦距的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆方程，得到焦距，进而可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ ‎∴焦距.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查求椭圆焦距的最值问题，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎15.设为曲线上一点，，，若，则__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简曲线方程，得到双曲线的一支，结合双曲线定义求出结果 ‎【详解】由，得，即，故为双曲线右支上一点，且分别为该双曲线的左、右焦点，则，.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的定义，解题时要先化简曲线方程，然后再结合双曲线定义求出结果，较为基础 ‎16.《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，平面平面，梯形，的高分别为，，且，，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过分别作，的高，垂足分别为，，根据题意，得到，，两两垂直；以为坐标原点，，，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，再由向量数量积的坐标表示，即可得出结果.‎ ‎【详解】如图.过分别作，的高，垂足分别为，，‎ 因为平面平面，，平面平面，‎ 所以平面；因此，，，又，‎ 因此，，，两两垂直；‎ 以为坐标原点，，，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系 ‎，则由题意可得：，，，，‎ 所以，，则.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查求空间向量的数量积，熟记空间向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知复数z满足，z的实部、虚部均为整数，且z在复平面内对应的点位于第四象限.‎ ‎（1）求复数z；‎ ‎（2）若，求实数m，n的值.‎ ‎【答案】(1) 或. ‎ ‎(2) ，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件，设出复数z，通过及所对点所在位置求出即可复数z；‎ ‎（2）利用（1），结合复数乘法运算求解m，n的值 详解】（1）设，则，‎ 因为z在复平面内对应的点位于第四象限，所以，，‎ 所以或，‎ 所以或.‎ ‎（2）由（1）知或，‎ 当时，；当时.‎ 因为，所以，解得，.‎ ‎【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题 ‎18.如图，在正四棱柱中，为棱的中点，，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系﹐写出，，，的坐标，并求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(1) ； (2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由空间向量基本定理，得到，再由题中条件，即可求出结果；‎ ‎（2）根据题中条件，得到向量与的坐标，再由向量的夹角公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）因为在正四棱柱中，为棱的中点，‎ 所以， ‎ 又，‎ 所以，；‎ ‎∴. ‎ ‎（2）由题意，以及题中坐标系可得：，，，， ‎ 则，， ‎ 从而， ‎ 故异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查根据基底表示向量求参数，以及求异面直线所成角的余弦值，熟记空间向量的基本定理，以及空间向量的方法求异面直线所成的角即可，属于常考题型.‎ ‎19.已知表示不大于的最大整数，如.现给出下列两个命题：‎ 命題：若，则.‎ 命题：若，则.‎ ‎（1）写出命题的逆否命题；‎ ‎（2）判断命题，，的真假，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）命题的逆否命题为若或，则（2）为假命题，为真命题，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据逆否命题的书写规则书写即可．‎ ‎（2）判断出的真假，从而可以判断，，的真假．‎ ‎【详解】解：（1）命题的逆否命题为若或，则.‎ ‎（2）若，则，‎ 则.故命题为真命题.‎ 若，则，‎ 则.‎ 故命题为假命题.‎ 从而为假命题，为假命题，为真命题.‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题．‎ ‎20.如图，在三棱锥中，平面，且,‎ ‎（1）证明：三棱锥为鳖臑；‎ ‎（2）若为棱的中点，求二面角的余弦值.注：在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的三棱锥.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件已经知道，均为直角三角形，只需证为直角三角形即可得证.‎ ‎（2）利用空间向量求得两个面的法向量，求得即可.‎ ‎【详解】（1）∵，，∴，‎ ‎∴，为直角三角形.‎ ‎∵平面，∴，，，均为直角三角形.‎ ‎∵，∴平面.‎ 又平面，∴，为直角三角形.‎ 故三棱锥为鳖臑.‎ ‎（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ 如图所示，则，，，‎ 则，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则 令，则.‎ 易知平面的一个法向量为，‎ 则.‎ 由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查四面体是否为鳖臑的判断与求法，考查二面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查空间向量的应用，是中档题．‎ ‎21.已知直线l与椭圆交于A，B两点.‎ ‎（1）若线段AB的中点为，求l的方程；‎ ‎（2）若斜率不为0的直线l经过点，证明：为定值.‎ ‎【答案】(1) .(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，由点斜式方程可得直线AB的方程，‎ ‎（2）直线l的方程为，与椭圆联立，结合两点间距离公式并将韦达定理代入整理化简即可 ‎【详解】（1）解：设，，‎ 则， ‎ 两式相减得，整理得. ‎ 因为线段AB的中点为，所以，， ‎ 所以直线l的斜率为. ‎ 故直线l的方程为，即. ‎ ‎（2）证明：设直线l的方程为，由，‎ 得， ‎ 所以，， ‎ 因为， ‎ 同理， ‎ 所以. ‎ 因为，‎ 所以为定值.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在直线方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及距离公式的应用，准确化简变形是关键，属于中档题．‎ ‎22.在直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于，两点，弦的中点的轨迹记为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）已知直线与相交于，两点.‎ ‎（i）求的取值范围；‎ ‎（ii）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.‎ ‎【答案】(1) ； (2) （i）或.（ii）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先设，，，根据，以及题意，得到，再由，两式联立，即可得出结果；‎ ‎（2）（i）先由题意得到方程组有两不同实数解，消去，根据判别式，以及题中条件，列出不等式求解，即可得出结果；‎ ‎（ii）假设存在是符合题意的点；设，，联立直线与曲线方程，根据韦达定理，得到，，计算，只需，即可得.‎ ‎【详解】（1）设，，，由题意可得：，‎ 则，从而， ‎ 因为点为弦的中点，所以，即，‎ 又直线过点，所以，‎ 则，即， ‎ 而必在抛物线的内部，从而，即. ‎ 故的方程为. ‎ ‎（2）（i）因为直线与相交于，两点，‎ 所以方程组有两不同实数解，‎ 由消去，得，‎ 即在上有两个不相等的实数根，‎ 所以，只需且，‎ 即且，解得：或.‎ 所以的取值范围是或；‎ ‎（ii）假设存在是符合题意的点；设，. ‎ 将消去，得，故，，‎ 由（i）知：或；‎ 从而 ‎， ‎ 因此，当，即时，，‎ 又为坐标原点，所以，‎ 即存在点符合题意.‎ ‎【点睛】本题主要考查求抛物线弦中点的轨迹，以及直线与抛物线位置关系的综合，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎ ‎