江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷

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江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷

江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试 数学试卷 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.‎ N Y ‎(第3题)‎ 开始 开始 ‎ 1. 已知集合,,则 ▲ .‎ ‎ ‎ ‎2. 设复数满足(是虚数单位),则复数的 ‎ 模为 ▲ .‎ ‎ ‎ ‎3. 右图是一个算法流程图,则输出的的值是 ▲ .‎ ‎ ‎ ‎4. “”是“”成立的 ▲ 条件.‎ ‎(从“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”中选择一个正确的填写)‎ ‎(第5题)‎ ‎0.0100‎ ‎0.0175‎ ‎0.0025‎ ‎0.0050‎ ‎0.0150‎ ‎ 40 60 80 100 120 140 速度/ km/h ‎ ‎ ‎5. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 ‎ 机动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布 ‎ 直方图如右图所示.该路段限速标志牌提示机动 车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h,则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ .‎ ‎6. 在平面直角坐标系中,抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3,则焦点到准线的距离为 ▲ .‎ ‎7. 从集合中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ‎ ‎▲ .‎ O ‎11‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎5‎ x ‎(第9题)‎ y ‎8. 在平面直角坐标系中,设点为圆:上的任意一点,点(2,) ‎ ‎ (),则线段长度的最小值为 ▲ .‎ ‎9. 函数,,在上 的部分图象如图所示,则的值为 ▲ .‎ ‎10.各项均为正数的等比数列中,.当取最小值时,数列的通项公式an= ▲ .‎ ‎ ‎ ‎11.已知函数是偶函数,直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点,,,.若,则实数的值为 ▲ .‎ ‎12.过点作曲线:的切线,切点为,设在轴上的投影是点,过点再作曲线的切线,切点为,设在轴上的投影是点,…,依次下去,得到第个切点.则点的坐标为 ▲ .‎ ‎13.在平面四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,且AB,,CD.‎ 若,则的值为 ▲ .‎ ‎14.已知实数a1,a2,a3,a4满足a1a2a3,a1a42a2a4a2,且a1a2a3,则a4的取值范围是 ▲ .‎ ‎ ‎ 二、解答题 ‎15.如图,在四棱锥中,底面是矩形,四条侧棱长均相等.‎ ‎ (1)求证:平面;‎ ‎ (2)求证:平面平面.‎ ‎(第15题)‎ ‎ ‎ ‎16.在△ABC中,角,,所对的边分别为,,c.已知.‎ ‎ (1)求角的大小;‎ ‎(2)设,求T的取值范围.‎ ‎17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图1是单层玻璃,厚度为8 mm;图2是双层中空玻璃,厚度均为4 mm,中间留有厚度为的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为的均匀介质,两侧的温度差为,单位时间内,在单位面积上通过的热量,其中为热传导系数.‎ 假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.(注:玻璃的热传导系数为,空气的热传导系数为.)‎ ‎(1)设室内,室外温度均分别为,,内层玻璃外侧温度为,外层玻璃内侧温度为 ‎,且.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量(结果用,及表示);‎ ‎ (2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计的大小?‎ 图1‎ 图2‎ 墙 墙 ‎8‎ T1‎ T2‎ 室内 室外 墙 墙 x ‎4‎ T1‎ T2‎ 室内 室外 ‎4‎ ‎(第17题)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为,离心率为.分别过,的两条弦,相交于点(异于,两点),且.‎ ‎(第18题)‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求证:直线,的斜率之和为定值.‎ ‎ ‎ ‎19.已知数列是首项为1,公差为的等差数列,数列是首项为1,公比为的等比数列.‎ ‎ (1)若,,求数列的前项和;‎ ‎(2)若存在正整数,使得.试比较与的大小,并说明理由.‎ ‎20.设是定义在的可导函数,且不恒为0,记.若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶负函数”;若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶不减函数”(为函数的导函数).‎ ‎(1)若既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数的取值范围;‎ ‎(2)对任给的“2阶不减函数”,如果存在常数,使得恒成立,试判断是否为“2阶负函数”?并说明理由.‎ ‎ ‎ 数学附加题 ‎21.【选做题】‎ A.选修4—1:几何证明选讲 ‎(第21—A题)‎ ‎ 如图,⊙的半径为3,两条弦,交于点,且, ,.‎ ‎ 求证:△≌△.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ B.选修4—2:矩阵与变换 ‎ 已知矩阵不存在逆矩阵,求实数的值及矩阵的特征值.‎ ‎ ‎ C.选修4—4:坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中,已知,,,,其中.设直线与的交点为,求动点的轨迹的参数方程(以为参数)及普通方程.‎ ‎ ‎ D.选修4—5:不等式选讲 ‎ 已知,,.求证:.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22.【必做题】‎ ‎ 设且,证明:‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎23.【必做题】‎ 下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘,其中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ部分的面积各占转盘面积的,,,.游戏规则如下:‎ ‎① 当指针指到Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ,Ⅳ部分时,分别获得积分100分,40分,10分,0分; ‎ ‎② (ⅰ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分,则按①获得相应的积分,游戏结束;‎ ‎ (ⅱ)若参加该游戏转一次获得的积分是40分,则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏.正面向上时,游戏结束;反面向上时,再转一次转盘,若再转一次的积分不高于40分,则最终积分为0分,否则最终积分为100分,游戏结束.‎ Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅳ Ⅲ Ⅲ Ⅳ ‎(第23题)‎ 设某人参加该游戏一次所获积分为.‎ ‎(1)求的概率;‎ ‎ (2)求的概率分布及数学期望.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 南通市2013届高三第三次调研测试 数学参考答案及评分建议 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.‎ N Y ‎(第3题)‎ 开始 开始 ‎ 1. 已知集合,,则 ▲ .‎ ‎ 【答案】‎ ‎2. 设复数满足(是虚数单位),则复数的 ‎ 模为 ▲ .‎ ‎ 【答案】‎ ‎3. 右图是一个算法流程图,则输出的的值是 ▲ .‎ ‎ 【答案】‎ ‎4. “”是“”成立的 ▲ 条件.‎ ‎(从“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”中选择一个正确的填写)‎ ‎(第5题)‎ ‎0.0100‎ ‎0.0175‎ ‎0.0025‎ ‎0.0050‎ ‎0.0150‎ ‎ 40 60 80 100 120 140 速度/ km/h ‎【答案】必要不充分 ‎5. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 ‎ 机动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布 ‎ 直方图如右图所示.该路段限速标志牌提示机动 车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h,则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎6. 在平面直角坐标系中,抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3,则焦 ‎ 点到准线的距离为 ▲ .‎ ‎【答案】4‎ ‎7. 从集合中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ‎ ▲ .‎ ‎【答案】‎ O ‎11‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎5‎ x ‎(第9题)‎ y ‎8. 在平面直角坐标系中,设点为圆:上的任意一点,点(2,) ‎ ‎ (),则线段长度的最小值为 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎9. 函数,,在上 的部分图象如图所示,则的值为 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎10.各项均为正数的等比数列中,.当取最小值时,数列的通项公式an= ▲ .‎ ‎ 【答案】‎ ‎11.已知函数是偶函数,直线与函数的图象自左向右依次交 于四个不同点,,,.若,则实数的值为 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎12.过点作曲线:的切线,切点为,设在轴上的投影是点,过点再作 曲线的切线,切点为,设在轴上的投影是点,…,依次下去,得到第个 切点.则点的坐标为 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎13.在平面四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,且AB,,CD.‎ 若,则的值为 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎14.已知实数a1,a2,a3,a4满足a1a2a3,a1a42a2a4a2,且a1a2a3,则a4的取值 范围是 ▲ .‎ ‎ 【答案】‎ 二、解答题 ‎15.如图,在四棱锥中,底面是矩形,四条侧棱长均相等.‎ ‎ (1)求证:平面;‎ ‎ (2)求证:平面平面.‎ ‎(第15题)‎ ‎ 证明:(1)在矩形中,,‎ ‎ 又平面,‎ ‎ 平面,‎ ‎ 所以平面. ………6分 ‎ (2)如图,连结,交于点,连结,‎ ‎ 在矩形中,点为的中点,‎ ‎ 又,‎ ‎ 故,, ………9分 ‎ 又,‎ ‎ 平面,‎ ‎ 所以平面, ………12分 ‎ 又平面,‎ ‎ 所以平面平面. ………14分 ‎16.在△ABC中,角,,所对的边分别为,,c.已知.‎ ‎ (1)求角的大小;‎ ‎(2)设,求T的取值范围.‎ 解:(1)在△ABC中,‎ ‎ , ………3分 ‎ ‎ 因为,所以,‎ ‎ 所以, ………5分 ‎ 因为,所以,‎ ‎ 因为,所以. ………7分 ‎ ‎ (2)‎ ‎ ‎ ‎ ………11分 ‎ 因为,所以,‎ ‎ 故,因此,‎ ‎ 所以. ………14分 ‎17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图1是单层玻璃,厚度为8 mm;图2是双层中空玻璃,‎ 厚度均为4 mm,中间留有厚度为的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为的均匀介质,‎ 两侧的温度差为,单位时间内,在单位面积上通过的热量,其中为热传导系数.‎ 假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.(注:玻璃的热传导系 数为,空气的热传导系数为.)‎ ‎(1)设室内,室外温度均分别为,,内层玻璃外侧温度为,外层玻璃内侧温度为,‎ ‎ 且.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过 ‎ 的热量(结果用,及表示);‎ ‎ (2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计 ‎ 的大小?‎ 图1‎ 图2‎ 墙 墙 ‎8‎ T1‎ T2‎ 室内 室外 墙 墙 x ‎4‎ T1‎ T2‎ 室内 室外 ‎4‎ ‎(第17题)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解:(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为,,‎ ‎ 则, ………2分 ‎ ………6分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ………9分 ‎ (2)由(1)知,‎ ‎ 当4%时,解得(mm).‎ ‎ 答:当mm时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%. ………14分 ‎ ‎ ‎18.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为,离心率为.‎ ‎(第18题)‎ 分别过,的两条弦,相交于点(异于,两点),且.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求证:直线,的斜率之和为定值.‎ ‎ (1)解:由题意,得,,故,‎ ‎ 从而,‎ ‎ 所以椭圆的方程为. ① ………5分 ‎ (2)证明:设直线的方程为, ②‎ ‎ 直线的方程为, ③ ………7分 ‎ 由①②得,点,的横坐标为,‎ ‎ 由①③得,点,的横坐标为, ………9分 ‎ 记,,,,‎ ‎ 则直线,的斜率之和为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ………13分 ‎ ‎ ‎ . ………16分 ‎19.已知数列是首项为1,公差为的等差数列,数列是首项为1,公比为的等比 数列.‎ ‎ (1)若,,求数列的前项和;‎ ‎(2)若存在正整数,使得.试比较与的大小,并说明理由.‎ 解:(1)依题意,,‎ ‎ 故,‎ ‎ 所以, ………3分 ‎ 令, ①‎ ‎ 则, ②‎ ‎ ①②得,,‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ 所以. ………7分 ‎ (2)因为,‎ ‎ 所以,即,‎ ‎ 故,‎ ‎ 又, ………9分 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ………11分 ‎(ⅰ)当时,由知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ , ………13分 ‎ (ⅱ)当时,由知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ 综上所述,当时,;当时,;当时,.‎ ‎ ………16分 ‎(注:仅给出“时,;时,”得2分.)‎ ‎20.设是定义在的可导函数,且不恒为0,记.若对定义域内的每 一个,总有,则称为“阶负函数”;若对定义域内的每一个,总有,‎ 则称为“阶不减函数”(为函数的导函数).‎ ‎(1)若既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数的取值范围;‎ ‎(2)对任给的“2阶不减函数”,如果存在常数,使得恒成立,试判断是 ‎ 否为“2阶负函数”?并说明理由.‎ ‎ 解:(1)依题意,在上单调递增,‎ ‎ 故 恒成立,得, ………2分 ‎ 因为,所以. ………4分 ‎ 而当时,显然在恒成立,‎ ‎ 所以. ………6分 ‎ (2)①先证:‎ ‎ 若不存在正实数,使得,则恒成立. ………8分 ‎ 假设存在正实数,使得,则有,‎ ‎ 由题意,当时,,可得在上单调递增,‎ ‎ 当时,恒成立,即恒成立,‎ ‎ 故必存在,使得(其中为任意常数),‎ ‎ 这与恒成立(即有上界)矛盾,故假设不成立,‎ ‎ 所以当时,,即; ………13分 ‎ ②再证无解:‎ ‎ 假设存在正实数,使得,‎ ‎ 则对于任意,有,即有,‎ ‎ 这与①矛盾,故假设不成立,‎ ‎ 所以无解,‎ ‎ 综上得,即,‎ ‎ 故所有满足题设的都是“2阶负函数”. ………16分 南通市2013届高三第三次调研测试 数学附加题参考答案及评分建议 ‎21.【选做题】‎ A.选修4—1:几何证明选讲 ‎(第21—A题)‎ ‎ 如图,⊙的半径为3,两条弦,交于点,且, ,.‎ ‎ 求证:△≌△.‎ ‎ 证明:延长交⊙与点,, ………2分 ‎ 由相交弦定理得 ‎ ,‎ ‎ ………6分 ‎ 又,,‎ ‎ 故,, ………8分 ‎ 所以,,‎ ‎ 而,‎ ‎ 所以△≌△. ………10分 ‎ ‎ B.选修4—2:矩阵与变换 ‎ 已知矩阵不存在逆矩阵,求实数的值及矩阵的特征值.‎ ‎ 解:由题意,矩阵的行列式,解得, ………4分 ‎ 矩阵的特征多项式 ‎ , ………8分 ‎ 令并化简得,‎ ‎ 解得或, ‎ ‎ 所以矩阵的特征值为0和11. ………10分 C.选修4—4:坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中,已知,,,,其中.设直线与 ‎ 的交点为,求动点的轨迹的参数方程(以为参数)及普通方程.‎ ‎ 解:直线的方程为, ①‎ ‎ 直线的方程为, ② ………2分 ‎ 由①②解得,动点的轨迹的参数方程为(为参数,且), ………6分 ‎ 将平方得, ③‎ ‎ 将平方得, ④ ………8分 ‎ 由③④得,. ………10分 ‎ (注:普通方程由①②直接消参可得.漏写“”扣1分.)‎ D.选修4—5:不等式选讲 ‎ 已知,,.求证:.‎ ‎ 证明:先证,‎ ‎ 只要证,‎ ‎ 即要证,‎ ‎ 即要证, ………5分 ‎ 若,则,,所以,‎ ‎ 若,则,,所以,‎ ‎ 综上,得.‎ ‎ 从而, ………8分 ‎ 因为,‎ ‎ 所以. ………10分 ‎ ‎ ‎22.【必做题】‎ ‎ 设且,证明:‎ ‎.‎ 证明:(1)当时,有,命题成立. ………2分 ‎ (2)假设当时,命题成立,‎ ‎ 即 ‎ 成立, ………4分 ‎ 那么,当时,有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ +‎ ‎ .‎ ‎ 所以当时,命题也成立. ………8分 ‎ 根据(1)和(2),可知结论对任意的且都成立. ………10分 ‎ ‎ ‎23.【必做题】‎ 下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘,其中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ部分的面积各占转盘面积的,‎ ‎,,.游戏规则如下:‎ ‎① 当指针指到Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ,Ⅳ部分时,分别获得积分100分,40分,10分,0分; ‎ ‎② (ⅰ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分,则按①获得相应的积分,游戏结束;‎ ‎ (ⅱ)若参加该游戏转一次获得的积分是40分,则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是 ‎ 否继续游戏.正面向上时,游戏结束;反面向上时,再转一次转盘,若再转一次的积 ‎ 分不高于40分,则最终积分为0分,否则最终积分为100分,游戏结束.‎ Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅳ Ⅲ Ⅲ Ⅳ ‎(第23题)‎ 设某人参加该游戏一次所获积分为.‎ ‎(1)求的概率;‎ ‎ (2)求的概率分布及数学期望.‎ ‎ ‎ ‎ 解:(1)事件“”包含:“首次积分为0分”和“首次积分为40分 ‎ 后再转一次的积分不高于40分”,且两者互斥,‎ ‎ 所以; ………4分 ‎ (2)的所有可能取值为0,10,40,100,‎ ‎ 由(1)知,‎ ‎ 又,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 所以的概率分布为:‎ ‎0‎ ‎10‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎………7分 ‎ 因此,(分). …10分
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