江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷

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江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试 数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ N Y ‎（第3题）‎ 开始 开始 ‎ 1． 已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎ ‎ ‎2． 设复数满足（是虚数单位），则复数的 ‎ 模为 ▲ ．‎ ‎ ‎ ‎3． 右图是一个算法流程图，则输出的的值是 ▲ ．‎ ‎ ‎ ‎4． “”是“”成立的 ▲ 条件．‎ ‎（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）‎ ‎(第5题)‎ ‎0.0100‎ ‎0.0175‎ ‎0.0025‎ ‎0.0050‎ ‎0.0150‎ ‎ 40 60 80 100 120 140 速度/ km/h ‎ ‎ ‎5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 ‎ 机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布 ‎ 直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动 车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h，则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ ．‎ ‎6． 在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ▲ ．‎ ‎7． 从集合中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ‎ ‎▲ ．‎ O ‎11‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎5‎ x ‎(第9题)‎ y ‎8． 在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点(2，) ‎ ‎ ()，则线段长度的最小值为 ▲ ．‎ ‎9． 函数，，在上 的部分图象如图所示，则的值为 ▲ ．‎ ‎10．各项均为正数的等比数列中，．当取最小值时，数列的通项公式an= ▲ ．‎ ‎ ‎ ‎11．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点，，，．若，则实数的值为 ▲ ．‎ ‎12．过点作曲线：的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，…，依次下去，得到第个切点．则点的坐标为 ▲ ．‎ ‎13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB，，CD．‎ 若，则的值为 ▲ ．‎ ‎14．已知实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a3，则a4的取值范围是 ▲ ．‎ ‎ ‎ 二、解答题 ‎15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，四条侧棱长均相等．‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎ （2）求证：平面平面．‎ ‎（第15题）‎ ‎ ‎ ‎16．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，c．已知．‎ ‎ （1）求角的大小；‎ ‎（2）设，求T的取值范围．‎ ‎17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm，中间留有厚度为的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为的均匀介质，两侧的温度差为，单位时间内，在单位面积上通过的热量，其中为热传导系数．‎ 假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为．）‎ ‎（1）设室内，室外温度均分别为，，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为 ‎，且．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用，及表示）；‎ ‎ （2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计的大小？‎ 图1‎ 图2‎ 墙 墙 ‎8‎ T1‎ T2‎ 室内 室外 墙 墙 x ‎4‎ T1‎ T2‎ 室内 室外 ‎4‎ ‎（第17题）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且．‎ ‎（第18题）‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求证：直线，的斜率之和为定值．‎ ‎ ‎ ‎19．已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为1，公比为的等比数列．‎ ‎ （1）若，，求数列的前项和；‎ ‎（2）若存在正整数，使得．试比较与的大小，并说明理由．‎ ‎20．设是定义在的可导函数，且不恒为0，记．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）．‎ ‎（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围；‎ ‎（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“2阶负函数”？并说明理由．‎ ‎ ‎ 数学附加题 ‎21．【选做题】‎ A．选修4—1：几何证明选讲 ‎（第21—A题）‎ ‎ 如图，⊙的半径为3，两条弦，交于点，且， ，．‎ ‎ 求证：△≌△．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ B．选修4—2：矩阵与变换 ‎ 已知矩阵不存在逆矩阵，求实数的值及矩阵的特征值．‎ ‎ ‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，已知，，，，其中．设直线与的交点为，求动点的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程．‎ ‎ ‎ D．选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知，，．求证：．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22．【必做题】‎ ‎ 设且，证明：‎ ‎．‎ ‎ ‎ ‎23．【必做题】‎ 下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的，，，．游戏规则如下：‎ ‎① 当指针指到Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分； ‎ ‎② （ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；‎ ‎ （ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．‎ Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅳ Ⅲ Ⅲ Ⅳ ‎（第23题）‎ 设某人参加该游戏一次所获积分为．‎ ‎（1）求的概率；‎ ‎ （2）求的概率分布及数学期望．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 南通市2013届高三第三次调研测试 数学参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ N Y ‎（第3题）‎ 开始 开始 ‎ 1． 已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎2． 设复数满足（是虚数单位），则复数的 ‎ 模为 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎3． 右图是一个算法流程图，则输出的的值是 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎4． “”是“”成立的 ▲ 条件．‎ ‎（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）‎ ‎(第5题)‎ ‎0.0100‎ ‎0.0175‎ ‎0.0025‎ ‎0.0050‎ ‎0.0150‎ ‎ 40 60 80 100 120 140 速度/ km/h ‎【答案】必要不充分 ‎5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 ‎ 机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布 ‎ 直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动 车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h，则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎6． 在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦 ‎ 点到准线的距离为 ▲ ．‎ ‎【答案】4‎ ‎7． 从集合中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ‎ ▲ ．‎ ‎【答案】‎ O ‎11‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎5‎ x ‎(第9题)‎ y ‎8． 在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点(2，) ‎ ‎ ()，则线段长度的最小值为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎9． 函数，，在上 的部分图象如图所示，则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎10．各项均为正数的等比数列中，．当取最小值时，数列的通项公式an= ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎11．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交 于四个不同点，，，．若，则实数的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎12．过点作曲线：的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作 曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，…，依次下去，得到第个 切点．则点的坐标为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB，，CD．‎ 若，则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎14．已知实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a3，则a4的取值 范围是 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ 二、解答题 ‎15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，四条侧棱长均相等．‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎ （2）求证：平面平面．‎ ‎（第15题）‎ ‎ 证明：（1）在矩形中，，‎ ‎ 又平面，‎ ‎ 平面，‎ ‎ 所以平面． ………6分 ‎ （2）如图，连结，交于点，连结，‎ ‎ 在矩形中，点为的中点，‎ ‎ 又，‎ ‎ 故，， ………9分 ‎ 又，‎ ‎ 平面，‎ ‎ 所以平面， ………12分 ‎ 又平面，‎ ‎ 所以平面平面． ………14分 ‎16．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，c．已知．‎ ‎ （1）求角的大小；‎ ‎（2）设，求T的取值范围．‎ 解：（1）在△ABC中，‎ ‎ ， ………3分 ‎ ‎ 因为，所以，‎ ‎ 所以， ………5分 ‎ 因为，所以，‎ ‎ 因为，所以． ………7分 ‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ………11分 ‎ 因为，所以，‎ ‎ 故，因此，‎ ‎ 所以． ………14分 ‎17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，‎ 厚度均为4 mm，中间留有厚度为的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为的均匀介质，‎ 两侧的温度差为，单位时间内，在单位面积上通过的热量，其中为热传导系数．‎ 假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系 数为，空气的热传导系数为．）‎ ‎（1）设室内，室外温度均分别为，，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为，‎ ‎ 且．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过 ‎ 的热量（结果用，及表示）；‎ ‎ （2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计 ‎ 的大小？‎ 图1‎ 图2‎ 墙 墙 ‎8‎ T1‎ T2‎ 室内 室外 墙 墙 x ‎4‎ T1‎ T2‎ 室内 室外 ‎4‎ ‎（第17题）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为，，‎ ‎ 则， ………2分 ‎ ………6分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ． ………9分 ‎ （2）由（1）知，‎ ‎ 当4%时，解得（mm）．‎ ‎ 答：当mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． ………14分 ‎ ‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．‎ ‎（第18题）‎ 分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求证：直线，的斜率之和为定值．‎ ‎ （1）解：由题意，得，，故，‎ ‎ 从而，‎ ‎ 所以椭圆的方程为． ① ………5分 ‎ （2）证明：设直线的方程为， ②‎ ‎ 直线的方程为， ③ ………7分 ‎ 由①②得，点，的横坐标为，‎ ‎ 由①③得，点，的横坐标为， ………9分 ‎ 记，，，，‎ ‎ 则直线，的斜率之和为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ………13分 ‎ ‎ ‎ ． ………16分 ‎19．已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为1，公比为的等比 数列．‎ ‎ （1）若，，求数列的前项和；‎ ‎（2）若存在正整数，使得．试比较与的大小，并说明理由．‎ 解：（1）依题意，，‎ ‎ 故，‎ ‎ 所以， ………3分 ‎ 令， ①‎ ‎ 则， ②‎ ‎ ①②得，，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 所以． ………7分 ‎ （2）因为，‎ ‎ 所以，即，‎ ‎ 故，‎ ‎ 又， ………9分 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ………11分 ‎（ⅰ）当时，由知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ， ………13分 ‎ （ⅱ）当时，由知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 综上所述，当时，；当时，；当时，．‎ ‎ ………16分 ‎（注：仅给出“时，；时，”得2分．）‎ ‎20．设是定义在的可导函数，且不恒为0，记．若对定义域内的每 一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，‎ 则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）．‎ ‎（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围；‎ ‎（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是 ‎ 否为“2阶负函数”？并说明理由．‎ ‎ 解：（1）依题意，在上单调递增，‎ ‎ 故 恒成立，得， ………2分 ‎ 因为，所以． ………4分 ‎ 而当时，显然在恒成立，‎ ‎ 所以． ………6分 ‎ （2）①先证：‎ ‎ 若不存在正实数，使得，则恒成立． ………8分 ‎ 假设存在正实数，使得，则有，‎ ‎ 由题意，当时，，可得在上单调递增，‎ ‎ 当时，恒成立，即恒成立，‎ ‎ 故必存在，使得（其中为任意常数），‎ ‎ 这与恒成立（即有上界）矛盾，故假设不成立，‎ ‎ 所以当时，，即； ………13分 ‎ ②再证无解：‎ ‎ 假设存在正实数，使得，‎ ‎ 则对于任意，有，即有，‎ ‎ 这与①矛盾，故假设不成立，‎ ‎ 所以无解，‎ ‎ 综上得，即，‎ ‎ 故所有满足题设的都是“2阶负函数”． ………16分 南通市2013届高三第三次调研测试 数学附加题参考答案及评分建议 ‎21．【选做题】‎ A．选修4—1：几何证明选讲 ‎（第21—A题）‎ ‎ 如图，⊙的半径为3，两条弦，交于点，且， ，．‎ ‎ 求证：△≌△．‎ ‎ 证明：延长交⊙与点，， ………2分 ‎ 由相交弦定理得 ‎ ，‎ ‎ ………6分 ‎ 又，，‎ ‎ 故，， ………8分 ‎ 所以，，‎ ‎ 而，‎ ‎ 所以△≌△． ………10分 ‎ ‎ B．选修4—2：矩阵与变换 ‎ 已知矩阵不存在逆矩阵，求实数的值及矩阵的特征值．‎ ‎ 解：由题意，矩阵的行列式，解得， ………4分 ‎ 矩阵的特征多项式 ‎ ， ………8分 ‎ 令并化简得，‎ ‎ 解得或， ‎ ‎ 所以矩阵的特征值为0和11． ………10分 C．选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，已知，，，，其中．设直线与 ‎ 的交点为，求动点的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程．‎ ‎ 解：直线的方程为， ①‎ ‎ 直线的方程为， ② ………2分 ‎ 由①②解得，动点的轨迹的参数方程为（为参数，且）， ………6分 ‎ 将平方得， ③‎ ‎ 将平方得， ④ ………8分 ‎ 由③④得，． ………10分 ‎ （注：普通方程由①②直接消参可得．漏写“”扣1分．）‎ D．选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知，，．求证：．‎ ‎ 证明：先证，‎ ‎ 只要证，‎ ‎ 即要证，‎ ‎ 即要证， ………5分 ‎ 若，则，，所以，‎ ‎ 若，则，，所以，‎ ‎ 综上，得．‎ ‎ 从而， ………8分 ‎ 因为，‎ ‎ 所以． ………10分 ‎ ‎ ‎22．【必做题】‎ ‎ 设且，证明：‎ ‎．‎ 证明：（1）当时，有，命题成立． ………2分 ‎ （2）假设当时，命题成立，‎ ‎ 即 ‎ 成立， ………4分 ‎ 那么，当时，有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎ +‎ ‎ ．‎ ‎ 所以当时，命题也成立． ………8分 ‎ 根据（1）和（2），可知结论对任意的且都成立． ………10分 ‎ ‎ ‎23．【必做题】‎ 下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的，‎ ‎，，．游戏规则如下：‎ ‎① 当指针指到Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分； ‎ ‎② （ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；‎ ‎ （ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是 ‎ 否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积 ‎ 分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．‎ Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅳ Ⅲ Ⅲ Ⅳ ‎（第23题）‎ 设某人参加该游戏一次所获积分为．‎ ‎（1）求的概率；‎ ‎ （2）求的概率分布及数学期望．‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）事件“”包含：“首次积分为0分”和“首次积分为40分 ‎ 后再转一次的积分不高于40分”，且两者互斥，‎ ‎ 所以； ………4分 ‎ （2）的所有可能取值为0，10，40，100，‎ ‎ 由（1）知，‎ ‎ 又，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ 所以的概率分布为：‎ ‎0‎ ‎10‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎………7分 ‎ 因此，（分）． …10分