2019-2020学年新疆石河子第一中学高二上学期期末考试数学试题

2019-2020学年新疆石河子第一中学高二上学期期末考试数学试题

石河子一中2019-2020学年高二上学期 期末数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题（共12题；共57分）‎ ‎1.若集合则集合=（  ）‎ A.                B.                C.                D. ‎ ‎2.如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（   ） ‎ A.                                  B.                               C.                                  D. ‎ ‎3.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（  ） ‎ A. 5                                B. 4                                   C. 3                                  D. 2‎ ‎4.设集合,, ， 若动点 ， 则x2+(y-1)2的取值范围是(   )‎ A.                         B.                         C.                         D. ‎ ‎5.已知等差数列的前三项依次为 ，则此数列的第 项为（   ） ‎ A.                                  B.                                  C.                                  D. ‎ ‎6.已知向量 ，若 共线，则 等于（   ） ‎ A. -                                         B.                                         C.                                         D. ‎ ‎7.在等差数列{an}中，a2=3，a5+a7=10，则a1+a10=（   ） ‎ A. 9                                         B. 9.5                                         C. 10                                         D. 11‎ ‎8.将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是（   ） ‎ A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎9. 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若 ，则 （   ） ‎ A.                                   B.                                   C.                                   D. ‎ ‎10.三个数的大小关系为（ ）‎ A.                                            B.  C.                                            D. ‎ ‎11.若是纯虚数，则=（  ）‎ A.                                   B. -1                                        C.                                         D. -7‎ 第Ⅱ卷 主观题 二、填空题（共5题；共21分）‎ ‎12.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则： ①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形； ②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形； ③ ， ，若 ，则△ABC为锐角三角形； ④若O为△ABC的外心， ；⑤若sin‎2A+sin2B=sin‎2C， ， ‎ 以上叙述正确的序号是________． ‎ ‎13.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2= ac，则角B的值是________． ‎ ‎14.已知A，B，C，D四点共面，BC=2，AB2+AC2=20， ，则| |的最大值为________． ‎ ‎15.函数 则f（﹣1）=________，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为________ ‎ ‎16.（2016•上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan ，则该正四棱柱的高等于________． ‎ 三、解答题（共6题；共72分）‎ ‎17.已知函数 （ 为实数常数） ‎ ‎（1）当 时，求函数 在 上的单调区间； ‎ ‎（2）当 时， 成立，求证： ． ‎ ‎18.设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ， ， ‎ ‎（1）求数列 ， 的通项公式； ‎ ‎（2）设数列 的前 项和为 试比较 与6的大小. ‎ ‎19.在△ABC中，∠B=45°，AC= ，cosC= ， ‎ ‎（1）求BC的长； ‎ ‎（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度． ‎ ‎20.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：‎ 年入流量X ‎40＜X＜80‎ ‎80≤X≤120‎ X＞120‎ 发电机最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ ‎21.如图，在长方体 中， 点 是棱 的中点，点  在棱 上，且 （ 为实数）． ‎ ‎（1）求二面角 的余弦值； ‎ ‎（2）当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值的大小； ‎ ‎（3）求证：直线 与直线 不可能垂直． ‎ ‎22.过点P（﹣3，﹣4）作直线l，当l的斜率为何值时 ‎ ‎（1）l将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分？ ‎ ‎（2）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相切？ ‎ ‎（3）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2？ ‎ 答案 一、单选题 ‎1. D ‎ ‎2. C ‎ ‎3. B ‎ ‎4. A ‎ ‎5. B ‎ ‎6. A ‎ ‎7. B ‎ ‎8. B ‎ ‎9. A ‎ ‎10. D ‎ ‎11. D ‎ 二、填空题 ‎12. ①③④⑤ ‎ ‎13. ‎ ‎14. 10 ‎ ‎15. 2﹣；（0，2） ‎ ‎16. ‎ 三、解答题 ‎17. （1）解：因为 ，所以 ， ‎ 当 时，由 得 ，解得 ，‎ 由 得 ，解得 ，‎ 所以函数 在 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．‎ ‎ ‎ ‎（2）解：当 时，由 得 ‎ 即 恒成立（*），‎ 设 ，则 ，由题可知 ‎ ‎①当 时， ，所以 在 上单调递增，‎ ‎ ，可知 且 时， ，使得 ，可知（*）式不成立，则 不符合条件；‎ ‎②当 时， ，所以 在 上单调递减，‎ ‎ ，可知（*）式成立，则 符合条件，所以 成立；‎ ‎③当 时，由 得 ，由 得 ，‎ 所以 在 上单调递增，可知 在 上单调递减，‎ 所以 ，由（*）式得 ，‎ 设 ，则 ，所以 在 上单调递减，‎ 而 ， ，可知 ．‎ 综上所述， ．‎ ‎18. （1）解：设 的公差为 ， 的公比为 ． 则依题意有 且 ，解得 ， 所以 ， ． ‎ ‎（2）解： ， ，① ，② ②-①得： ． ‎ ‎19. （1）解：由 由正弦定理知 （2）解： 由余弦定理知 = ‎ ‎20. 解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，‎ 由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为 ‎=‎ ‎（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）‎ ‎（1）安装1台发电机的情形，‎ 由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，‎ ‎（2）安装2台发电机的情形，‎ 依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，‎ 因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，‎ 当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，‎ 由此得Y的分布列如下 Y ‎4200‎ ‎10000‎ P ‎0.2‎ ‎0.8‎ 所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．‎ ‎（3）安装3台发电机的情形，‎ 依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，‎ 因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，‎ 当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，‎ 当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，‎ 由此得Y的分布列如下 Y ‎3400‎ ‎9200‎ ‎15000‎ P ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎0.1‎ 所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．‎ 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．‎ ‎21. （1）解：如图所示，建立空间直角坐标系 ． 则     ，   设平面 的法向量为 ， 则 ．即 ．令 ，则 ． ∴平面 的一个法向量 ．又平面 的一个法向量为 ． 故 ，即二面角 的余弦值为 （2）解：当λ = 时，E（0，1，2），F（1，4，0）， ． 所以 ． 因为 ，所以 为锐角， 从而直线EF与平面 所成角的正弦值的大小为 （3）证明：假设 ，则 ．    ∵ ， ‎ ‎∴ ， ．  ∴ ．化简得 ． 该方程无解，所以假设不成立，即直线 不可能与直线 不可能垂直． ‎ ‎22. （1）解：当l经过圆心Q（1，﹣2）时，可将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分， ∴直线l的方程为：y+2= （x﹣1），化为x﹣2y﹣5=0 （2）解：设直线l的方程为：y+4=k（x+3），化为kx﹣y+3k﹣4=0， ∵直线l与圆相切， ∴圆心Q（1，﹣2）到直线l的距离d= =2，化为：3k2﹣4k=0， 解得k=0或 ．∴当k=0或 时，直线l与圆相切 （3）解：∵l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2， ∴直线l的距离d= = ，化为13k2﹣16k+1=0， 解得k= ． ∴当k= 时，满足条件 ‎