四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

‎2020年春四川省宜宾市第四中学高二期中考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知复数，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知命题p：∀x∈R，2x＞0，那么命题¬p为 A．∃x∈R，2x＜0 B．∀x∈R，2x＜0 C．∃x∈R，2x≤0 D．∀x∈R，2x≤0‎ ‎3．下列求导运算正确的是.‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 若向量满足条件与共线，则的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中真命题是 A．若则 B．若 则 C．若，，则 D．若，，则 ‎6. 设在区间内随机取值，则关于的方程有 实根的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，输出的值是 A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎8．设双曲线的离心率为，且它的一个焦 点在抛物线的准线上，则此双曲线的方程为 A． ‎ B． C． D．‎ ‎9．函数的大致图象是 A． B．‎ C． D．‎ ‎10.设偶函数满足，则满足的实数的取值范围为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11．在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球.若，，，，则V的最大值是 A.4π B. C.6π D. ‎ ‎12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数 ‎ ‎14．函数的极值点是_____________________‎ ‎15.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值是 ．‎ ‎16．若函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为__________.‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求在上的最值；‎ ‎（II）对任意，恒有成立，求实数的取位范围.‎ ‎18．（12分）通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下列联表：‎ 男生 女生 合计 挑同桌 ‎30‎ ‎40‎ ‎70‎ 不挑同桌 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎（I）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这名学生中至少有2名要挑同桌的概率；‎ ‎（II）根据以上列联表，是否有95﹪以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．‎ ‎（I）证明平面；‎ ‎（II）求四面体的体积.‎ ‎20．（12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线 上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎21．（12分）已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：；‎ ‎（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（其中e≈2.7183为自然对数的底数）‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线的参数方程是 （是参数， ），直线的参数方程是 （是参数），曲线与直线有一个公共点在轴上，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ‎（I）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（II）若点，，在曲线上，求的值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（II）当 时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2020年春四川省宜宾市第四中学高二期中考试 文科数学参考答案 ‎1．C 2．C 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．C 9．A 10．D 11．B 12．B ‎13．20 14．4 15． 16．‎ ‎17．（1）因为，所以，令，解得或，‎ 因为在上，所以在上单调递减；在上单调递增，‎ 又因为，，，‎ 所以，当时，的最大值为4；当时，的最小值为.………6分 ‎（2）因为，结合的图象：‎ 令，解得，‎ 所以m的取值范围是.………………12分 ‎18．解：（I）由题知分层抽样的方法抽取容量为5的样本中，挑同桌的男生有3人，分别记为,,; 不挑同桌的男生有2人,分别记为,. ……………………………………2分 则基本事件总数为：（,,），（,,），（,,），（,，），（,‎ ‎，），（,,），（,，），（,，），（,,），（，,）共10种……4分 记“这名学生中至少有2名要挑同桌”为事件，则事件包含有：‎ ‎（,,），（,,），（,,），（,，），（,，），‎ ‎（,，），（,，），共7种，‎ 则. …………………………………………………………………………6分 ‎（II）由题得= ………………10分 ‎∴有95﹪以上的把握认为“性别与选择座位时是否挑同桌”有关. ………………………12分 ‎19．（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. ......3分 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.‎ 因为平面，平面，所以平面. ........6分 ‎（Ⅱ）因为平面，为的中点，‎ 所以到平面的距离为. ....9分 取的中点，连结.由得，.‎ 由得到的距离为，故.‎ 所以四面体的体积. .....12分 ‎20．（Ⅰ）由题意知，设，则的中点为，‎ 因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去），‎ 由，解得，所以抛物线的方程为………………4分 ‎(II)由（Ⅰ）知，设，，因为，则，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，‎ 故可设直线的方程为，………………6分 代入抛物线方程得，由题意知，得.‎ 设，则，，当时，，‎ 可得直线的方程为，………………9分 由，整理可得，所以直线恒过点，………………11分 当时，直线的方程为，过点，所以直线恒过定点.……………12分 21． ‎（1）函数的定义域为，………………1分 ‎………………2分 ‎①当时，，所以在上单调递增,‎ ‎②当时，令，解得：‎ 当时，， 所以在上单调递减；‎ 当时，，所以在上单调递增,‎ 综上，当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增;………………5分 ‎（2）当时，，要证明，即证，即,‎ 设则，令得，,‎ 当时，，当时，所以为极大值点，也为最大值点 ‎ 所以，即故当时，; …………9分 ‎（3）由（2）（当且仅当时等号成立）,令， 则 ,‎ 所以,‎ 即所以.………………12分 ‎22．（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得x+y＝2，令y＝0，得x＝2．‎ ‎∵曲线C的参数方程是（为参数，a＞0），消去参数得，‎ 把点（2，0）代入上述方程得a＝2．∴曲线C普通方程为．……………5分 ‎（Ⅱ）∵点在曲线C上，即A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），，在曲线C上，‎ ‎∴‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎=．………………10分 ‎23．（1）由题意得出关于的方程的两根分别为和，则，即，解得；………………4分 ‎（2）当时，由绝对值三角不等式得，‎ 又对一切实数恒成立，所以，………………8分 令，化简得，解得，所以，实数的取 值范围为………………10分