河北省沧州市献县宏志中学2019—2020高二上学期12月调研考试数学试卷

河北省沧州市献县宏志中学2019—2020高二上学期12月调研考试数学试卷

数学试卷 ‎（满分：150分，测试时间：120分钟）‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 1. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件、400件、300件，用分层抽样方法抽取容量为n的样本，若从丙车间抽取6件，则n的值为（）‎ A. 18 B. 20 C. 24 D. 26‎ 2. 若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. ‎《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：‎ 餐费（元）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎10‎ ‎20‎ ‎20‎ 这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是（）‎ A. , B. , C. 7, D. 7,‎ 5. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 1. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知抛物线y2=4x，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为（）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知动点M（x，y）的坐标满足方程，则M的轨迹方程是（）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知非零向量不共线，如果，， ，则四点A，B，C，D（）‎ A. 一定共线 B. 恰是空间四边形的四个顶点 C. 一定共面 D. 可能不共面 5. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ‎ ‎①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；‎ ‎②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；‎ ‎③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.‎ 其中，所有正确结论的序号是（     ）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上，记，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是（     ） ‎ A. B. C. D. ‎ 2. 设f（x）在x处可导，则等于（）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 3. 若向量=（2，1，-2），∥且||=1，则=______．‎ 4. 如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．‎ 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________. ​‎ 2. 函数在R上不是单调函数,则a的取值范围是                 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72分）‎ 3. 本题满分10分 已知命题p：“曲线C1：=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线C2：表示双曲线”． （1）若命题p是真命题，求m的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围． 18、本题满分12分 ‎20名学生某次数学考试成绩单位：分的频率分布直方图如图：‎ Ⅰ求频率分布直方图中a的值；‎ Ⅱ分别求出成绩落在与中的学生人数；‎ Ⅲ从成绩在的学生任选2人，求此2人的成绩都在中的概率． ‎ ‎19、本题满分12分 如图，已知三棱锥D－ABC中，二面角A－BC－D的大小为90°，且∠BDC＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，．‎ ‎（1）求证：AC⊥平面BCD；‎ ‎（2）二面角B－AC－D为45°，且E为线段BC的中点，求直线AE与平面ACD所成的角的正弦值． 20、本题满分12分 若直线l为曲线C1：y=x2与曲线C2：y=x3的公切线，求直线l的斜率为 ‎ ‎21、本题满分12分 已知椭圆：（a>b>0)过点，且离心率 ​（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线：（）交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由。 22、本题满分12分 已知抛物线C；y2=2px过点A（1，1）． （1）求抛物线C的方程； （2）过点P（3，-1）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值． ​ ‎ ‎ ‎ 答案和解析 ‎1.DAAA.D 6.ACDCC 11.BC 13.（）或（-，-，）． 14.5   8 15. 16.（-∞，-1）∪（1，+∞） ‎ ‎17.【答案】解：（1）若p为真：则， 解得-4＜m＜-2，或m＞4；-------5分 （2）若q为真，则（m-t)(m-t-1)＜0， 即t＜m＜t+1， ∵p是q的必要不充分条件， 则{m|t＜m＜t+1}{m|-4＜m＜-2，或m＞4}， 即或t≥4， ​解得-4≤t≤-3或t≥4.-------10分 ‎ ‎18.【答案】解：Ⅰ根据直方图知组距，由，解得-------3分；Ⅱ成绩落在中的学生人数为，成绩落在中的学生人数为；-------7分Ⅲ记成绩落在中的2人为A，B，成绩落在中的3人为C，D，E， 则成绩在的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个， 其中2人的成绩都在中的基本事件有CD，CE，DE共3个， ​故所求概率为．-------12分 ‎ ‎19.【答案】解：（1）△ABC中，由，‎ 解得，从而AC2+BC2＝AB2，‎ ‎∴AC⊥BC；‎ 又二面角A-BC-D的大小为90°，即平面BCD⊥平面ABC，‎ 而平面BCD∩平面ABC＝BC，AC平面ABC，‎ 故AC⊥平面BCD；-------6分 ‎（2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，故平面ABC的法向量＝(0，0，1)，‎ 设平面ACD的法向量＝(1，m，n)，由，‎ 易知m＝0，‎ 从而＝(1，0，n)，，‎ 解得n＝±1，结合实际图形，可知n取1时，二面角为135°，应舍去 所以＝(1，0，-1)，‎ 易知，B(3，0，0)，‎ 故，‎ 则，设直线AE与平面ACD所成的角为θ，‎ 则，即直线AE与平面ABC所成的角的正弦值为．-------12分 ‎20.【答案】解：【解析】解：曲线C1：y=x2，则y′=2x，曲线C2：y=x3，则y′=3x2，-------3分 直线l与曲线C1的切点坐标为（a，b），则切线方程为y=2ax-a2，-------6分 直线l与曲线C2的切点坐标为（m，n），则切线方程为y=3m2x-2m3，-------9分 ∴2a=3m2，a2=2m3， ∴m=0或m=， ∴直线l的斜率为0或．-------12分 21.【答案】解:（1）由已知得，解得， ∴椭圆E的方程为;-------5分 （2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则, 联立直线AB与椭圆的方程,消去x整理得（m2+2）y2-2my-3=0， ∴， 从而 ‎, ∴，又不共线，  ​∴∠AGB为锐角,故点在以AB为直径的圆外．-------12分 ‎ ‎22.【答案】解：（1）由题意抛物线y2=2px过点A（1，1），所以p=， 所以抛物线的方程为y2=x；-------5分 （2）证明：设过点P（3，-1）的直线l的方程为x-3=m（y+1），即x=my+m+3， 代入y2=x得y2-my-m-3=0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=m，y1y2=-m-3， 所以k1•k2== ==-, ​所以k1•k2为定值．-------12分 ‎