黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

铁人中学2017级高三学年上学期期中考试 数学试题 一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，则中元素的个数为（ ）‎ A. 9 B. 8 C. 7 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据知这个是一个圆,再根据找到圆内满足条件的点即可.‎ ‎【详解】解：,‎ 表示平面内圆心为,半径的圆,‎ 又因为,依题意画图,可得集合中元素的个数为．‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查集合元素的个数,要知道集合是一个点集.‎ ‎2.若a,b∈R，则a＞b＞0是a2＞b2的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】根据不等式的性质，‎ 由a＞b＞0可推出a2＞b2；‎ 但，由a2＞b2无法推出a＞b＞0，如a=-2,b=1，‎ 即a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要条件，‎ 故选A.‎ ‎3.设（是虚数单位），则（ ）‎ A. 0 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先进行复数的商的运算,再进行加法运算,最后用求模公式求解.‎ ‎【详解】解：复数 故选:C ‎【点睛】本题考查复数的模的求法,考查计算能力.‎ ‎4.在平面直角坐标系中，向量，，，若，，则＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出向量的坐标表示,再求出,的坐标表示,再根据向量平行、垂直运算性质进行运算求出即可.‎ ‎【详解】解：,,‎ ‎,‎ 又因为,,‎ 则 解得：‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查向量平行、垂直的坐标运算,属于基础题.‎ ‎5.已知数列满足： ， ，为数列的前项和，则（ ）‎ A. 3 B. 4. C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推公式列举出到,得出数列的周期为6,所以可以求出.‎ ‎【详解】解：,‎ 根据递推公式有：‎ 所以数列的周期为6.‎ 故.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查数列递推公式的应用以及周期数列的前项和.‎ ‎6.为了得到函数的图像,可以将函数的图像（ ）‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，令，解得，‎ 由图像平移知，需要将函数的图像向右平移个单位，‎ 得到函数的图像；‎ 故答案为A.‎ 考点：函数图像平移法则的应用.‎ ‎7.函数在区间的简图是 A. B. C. ‎ ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】将代入到函数解析式中得，可排除C，D;‎ 将x=π代入到函数解析式中求出函数值为负数，可排除B，故选A．‎ ‎8.已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意函数对都有, 可以分离出函数中的参数,转化为 ,只需即可,所以转化为导数的极值来解题.‎ ‎【详解】解：函数,对都有,‎ 当时,即,‎ 即为 可化为 令,‎ 则 当时,,单调递减.‎ 因此 所以 故实数的取值范围是 故选：B ‎【点睛】对于不等式恒成立问题中求参数的取值范围,先分离出参数,转化为求函数的导数,用导数判断出最值,求出最大值与最小值即可求出参数的范围.‎ ‎9.已知函数，则 A. 的最小正周期为，最大值为 B. 最小正周期为，最大值为 C. 的最小正周期为，最大值为 D. 的最小正周期为，最大值为 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.‎ ‎【详解】根据题意有，‎ 所以函数的最小正周期为，‎ 且最大值，故选B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.‎ ‎10.已知函数，若对都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可得,都有的图象在的上方,将题目转化为函数图象来解决.‎ ‎【详解】解：因为,都有,‎ 则可都有图象在的上方.‎ 依题意画图 要使的图象恒在的上方,‎ 则斜率,或者,‎ 实数的取值范围是.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题,可转化为转化为一个图像恒在另一个图像的上方而转为为斜率问题来求解,这类题型考查学生数形结合能力.‎ ‎11.已知函数，如果对任意的n∈N*，定义，那么（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 2020‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数的性质,先代入,然后得出数值之后代入,得出规律,则可求出.‎ ‎【详解】解：,‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意分段函数的性质和函数值的规律.‎ ‎12.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.‎ ‎【详解】因为满足，所以，‎ 所以函数是以8为周期的周期函数，‎ 则.‎ 由是定义在上的奇函数，‎ 且满足，得.‎ 因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，‎ 所以在区间上是增函数，‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.若，且为第三象限角，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据同角三角函数的关系算出再利用两角和的正弦公式，即可算出的值；是第三象限的角，‎ ‎.‎ 考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系 ‎14.，则的最大值为________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合进行求解即可.‎ ‎【详解】解：作出不等式组对应的平面区域,如图：（阴影部分）‎ 由得,‎ 平移直线经过点时,‎ 直线的截距最大,‎ 此时最大.‎ 由,解得,即 将的坐标带入目标函数,‎ 得,‎ 即的最大值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.‎ ‎15.函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 求函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln21，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2．‎ ‎16.已知命题，使；命题，都有.给出下列结论：①命题是真命题；②命题是假命题；③命题是真命题；④命题是假命题，其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断命题和命题的真假,再判断,的真假,最后根据真值表可得出结论.‎ ‎【详解】解： ,所以是假命题.‎ 又,所以是真命题.‎ 是真命题,是假命题,故根据真值表可得②③正确.‎ 故答案为：②③‎ ‎【点睛】本题考查含简单逻辑连接词的命题的真假性的判断问题.‎ 步骤为：①判断和的真假,②根据真值表判断复合命题的真假.‎ 三、解答题（17小题10分，18--22小题每小题12分，共70分）‎ ‎17.已知为等差数列，其前项和为，是首项为2且单调递增的等比数列，其前项和为，，，.‎ ‎(1)求数列和的通项公式；‎ ‎(2)设，，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为,等比数列的公比为,将条件带入通项公式,解方程即可求出.‎ ‎（2）将、的通项公式代入、中,得到的通项公式为,用裂项相消求和.‎ ‎【详解】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,‎ 由已知得,得,而,所以 又因为,解得,所以 由,可得,‎ 由,可得　‎ 解得,由此可得 所以数列的通项公式为,数列的通项公式为 ‎（2）由（1）得,,‎ 所以 所以 ‎【点睛】本题考查求等差等比数列的通项公式,设首项和公差、公比,代入已知条件中即可求解.还考查用裂项相消求数列前项和,需要熟记公式,灵活求解.‎ ‎18.的内角的对边分别为，.‎ ‎(1)求角；‎ ‎(2)若，的面积.求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据正弦定理的边化角公式和三角形内角和等于,将已知条件化简为：,约分之后再用降幂公式即可求出的值.‎ ‎（2）由三角形面积公式可求得,带入余弦定理即可求得.‎ ‎【详解】（1）因为,,‎ 由已知 和正弦定理得：‎ ‎,‎ 又因为,‎ 所以,‎ ‎,,‎ ‎（2）由面积公式得,‎ 由余弦定理,得 ‎【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎19.已知四面体中面，， 垂足为，，为中点，,‎ ‎（1）求证： 面；‎ ‎（2）求点到面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明线面平行,需先证明线线平行,可从三角形的中位线定理证明线线平行,从而再证线面平行.‎ ‎（2）求点到面的距离用等体积法,由,分别算出、,建立体积等式关系即可求到面的距离．‎ ‎【详解】、‎ ‎（1）因为,所以为中点,又因为是中点,所以,‎ 而面,面,所以面.‎ ‎（2）由已知得,,,‎ 所以三角形为直角三角形其面积,‎ 三角形的面积 设点到面的距离为,因为,‎ 即 解得,‎ 所以点到面的距离为.‎ ‎【点睛】（1）线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行,即.‎ ‎（2）用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想,先用简单的方法求出四面体的体积,然后计算出底面三角形的面积,再根据四面体体积公式V=-Sh求出点到平面的距离.‎ ‎20.某班随机抽查了20名学生的数学成绩，分数制成如图的茎叶图，其中A组学生每天学习数学时间不足1个小时，B组学生每天学习数学时间达到一个小时。学校规定90分及90分以上记为优秀，75分及75分以上记为达标，75分以下记为未达标．‎ ‎（1）分别求出A、B两组学生的平均分、并估计全班的数学平均分；‎ ‎（2）现在从成绩优秀的学生中任意抽取2人，求这两人恰好都来自B组的概率；‎ ‎（3）根据成绩得到如下列联表：‎ ‎①直接写出表中的值；‎ ‎②判断是否有 的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关．‎ 参考公式与临界值表：K2＝.‎ ‎【答案】（1），，；（2）P（E）=；（3）①a=6、b=4、c=9、d=1；②没有95%的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据平均分公式分别算出A、B两组的平均分,再根据两组的平均分估算20人的总分,估算出的平均分即为估算的班级的平均分.‎ ‎(2) A组优秀人数有2人,B组优秀人数有3人.列出所有可能的基本情况,利用古典概型,即可求出结果.‎ ‎(3)把数据填入表格中,利用公式求得,与临界值比较即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）A组学生的平均分 B两组学生的平均分 估计全班的数学平均分 ‎（2）设这两人恰好都来自B组为事件,由题意该概型符合古典概型,‎ 成绩优秀共计5人,A组2人设为,B组3人设为,‎ 从5人中抽取两人有如下情况： ‎ 共计包含基本事件10个,事件E包含基本事件3个 两人恰好都来自B组的概率为 ‎（3）①通过茎叶图知；‎ ‎ ②由公式=‎ ‎,而 所以没有的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型、独立性检验知识,考查学生的计算能力和分析解决问题能力.‎ ‎21.已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点.‎ ‎（1）求实数的值及抛物线的准线方程；‎ ‎（2）过点任作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、和、点，求两条弦的弦长之和的最小值．‎ ‎【答案】（1），；（2）最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆方程C:求出右焦点,即为抛物线的焦点,根据抛物线的焦点坐标与的关系式即可求出,最后得抛物线的准线方程.‎ ‎（2）根据题意设、 的直线方程,将直线代入抛物线中,消得,根据韦达韦达定理求得,同理求得,将+用基本不等式不等式即可求出最小值.‎ ‎【详解】（1）由已知椭圆C整理得,‎ 所以焦点F的坐标为, 所以 ‎ 所以抛物线E的准线方程为：‎ ‎（2）由题意知两条直线的斜率存在且不为零 设直线的斜率为,方程为,‎ 则的斜率为,方程为 设、,由得 因为,所以,,‎ 所以同理得,‎ 所以 当且仅当即时取“等号”,所以两条弦的弦长之和的最小值为 ‎【点睛】本题考查抛物线及其标准方程的求法和抛物线的几何性质中的定点定值问题,根据垂直问题设斜率可以减少变量,从而方便求极值.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）当时，求f(x)的单调区间；‎ ‎（2）若对，使成立，求实数的取值范围 (其中是自然对数的底数)．‎ ‎【答案】（1）递增区间为，单调递减区间为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入原函数,求函数的定义域,再对函数求导,最后根据单调递增,单调递减可求出的单调区间 ‎（2）从分离出出常数,设新函数,,求出新函数的最小值即可得到的取值范围 ‎【详解】(1),‎ 的定义域为． ‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以的单调递增区间为,单调递减区间为．‎ ‎(2) ,,‎ 令 ‎,‎ 由 当时,,在[,1]上单调递减 当时,,在[1,e]上单调递增,‎ ‎,,,所以g(x)在[,e]上的最大值为 所以,所以实数取值范围为 ‎【点睛】本题考查利用导数求函数性质的应用,根据已知条件构造辅助函数,考查运算求解能力,推理论证能力；考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,属于难题.‎ ‎ ‎