上海市奉贤中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

上海市奉贤中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

www.ks5u.com ‎2018~2019学年奉贤中学高一下期末试卷 一、填空题（54分）‎ ‎1.一个扇形的半径是，弧长是，则圆心角的弧度数为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据弧长公式，可得。‎ ‎【详解】因为，所以，解得 ‎【点睛】本题主要考查弧长公式的应用。‎ ‎2.已知，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角三角函数基本关系式，联立求解出，由二倍角公式即可算出。‎ ‎【详解】因为，又，解得，‎ 故。‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式及二倍角公式的应用。‎ ‎3.已知，且，则________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正切函数的单调性及周期性，可知在区间与区间内各有一值，从而求出。‎ ‎【详解】因为函数的周期为，而且在 内单调增，‎ 所以有两个解，一个在，一个在，由反正切函数的定义有，‎ 或。‎ ‎【点睛】本题主要考查正切函数的性质及反正切函数的定义的应用。‎ ‎4.函数的单调增区间是________.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用诱导公式化简，即可由正弦函数单调性求出。‎ ‎【详解】因为，所以的单调增区间是，。‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式以及正弦函数的性质——单调性的应用。‎ ‎5.若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察式子特征，直接写出，即可求出。‎ ‎【详解】观察的式子特征，明确各项关系，以及首末两项，即可写出，‎ 所以，相比，增加了后两项，少了第一项，故。‎ ‎【点睛】本题主要考查学生的数学抽象能力，正确弄清式子特征是解题关键。‎ ‎6.设，其中，则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求出的值。‎ ‎【详解】，‎ 所以，因为，故。‎ ‎【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用。‎ ‎7.设数列（）是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2019项的和________‎ ‎【答案】2019‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次方程根与系数的关系得出，再利用等差数列下标和的性质得到，然后利用等差数列求和公式可得出答案.‎ ‎【详解】由二次方程根与系数的关系可得，‎ 由等差数列的性质得出，‎ 因此，等差数列的前项的和为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质与等差数列求和公式的应用，涉及二次方程根与系数的关系，解题的关键在于等差数列性质的应用，属于中等题.‎ ‎8.已知等比数列的递增数列，且，则数列的通项公式 ‎________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的定义以及通项公式，列出关于的方程，利用单调性解出符合题意的，即求得的通项公式。‎ ‎【详解】设等比数列的首项和公比分别是，依题意有，‎ ‎，又等比数列为递增数列，解得 ，‎ 故数列的通项公式为。‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的单调性以及通项公式的求法，待定系数法是解决此类问题的常用方法。‎ ‎9.公比为的无穷等比数列满足：，，则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据等比数列的定义以及无穷等比数列求和公式，列出方程，即可求出的表达式，再利用求值域的方法求出其范围。‎ ‎【详解】由题意有，即，因，‎ 所以。‎ ‎【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用以及基本函数求值域的方法。‎ ‎10.已知函数的最小正周期为，若将该函数的图像向左平移 个单位后，所得图像关于原点对称，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用周期公式求出，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出的表达式，即可求出的最小值。‎ ‎【详解】由得，所以，向左平移个单位后，得到，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有，则，故的最小值为。‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及 型的函数奇偶性判断条件。一般地为奇函数，则；为偶函数，则；为奇函数，则；为偶函数，则。‎ ‎11.设为实数，为不超过实数的最大整数，如，.记，则的取值范围为，现定义无穷数列如下：，当时，；当时，，若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，计算数列的前几项，观察得出无穷数列呈周期性变化，即可求出的值。‎ ‎【详解】当时，，，‎ ‎，，……，无穷数列周期性变化，周期为2，所以。‎ ‎【点睛】本题主要考查学生的数学抽象能力，通过取整函数得到数列，观察数列的特征，求数列中的某项值。‎ ‎12.已知线段上有个确定的点（包括端点与）.现对这些点进行往返标数（从…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）.如图：在点上标，称为点，然后从点开始数到第二个数，标上，称为点，再从点开始数到第三个数，标上，称为点（标上数的点称为点），……，这样一直继续下去，直到，，，…，都被标记到点上，则点上的所有标记的数中，最小的是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将线段上的点考虑为一圆周，所以共有16个位置，利用规则，可知标记2019的是，2039190除以16的余数为6，即线段的第6个点标为2019，则，令，即可得。‎ ‎【详解】依照题意知，标有2的是1+2，标有3的是1+2+3，……，标有2019的是1+2+3+……+2019，将将线段上的点考虑为一圆周，所以共有16个位置，利用规则，可知标记2019的是，2039190除以16的余数为6，即线段的第6个点标为2019，，令，，解得 ‎，故点上的所有标记的数中，最小的是3.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用合情推理，分析解决问题的能力。意在考查学生的逻辑推理能力，‎ 二、选择题（20分）‎ ‎13.在数列中，已知，，则一定（ ）‎ A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 不是等差数列 D. 不是等比数列 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据等差、等比数列的定义或性质进行判断。‎ ‎【详解】因为，，，所以一定不是等差数列，故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查等差、等比数列定义以及性质的应用。‎ ‎14.已知数列的前项和，那么（ ）‎ A. 此数列一定是等差数列 B. 此数列一定是等比数列 C. 此数列不是等差数列，就是等比数列 D. 以上说法都不正确 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用即可求得：，当时， 或，‎ 对赋值2,3，选择不同的递推关系可得数列：1，3,-3，…，问题得解.‎ ‎【详解】因为 ，‎ 当时， ，解得，‎ 当时， ，整理有，‎ ‎ ，所以 或 ‎ 若时，满足，‎ 时，满足，‎ 可得数列：1，3,-3，…‎ 此数列既不是等差数列，也不是等比数列 故选：D ‎【点睛】本题主要考查利用与的关系求，以及等差等比数列的判定。‎ ‎15.数列的通项公式，其前项和为，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据为周期函数， 得到 ，并项求和，即可求出的值。‎ ‎【详解】因为为周期函数，周期为4，所以， ‎ ‎ ‎ ‎，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查数列求和方法——并项求和法的应用，以及三角函数的周期性，分论讨论思想，意在考查学生的推理论证和计算能力。‎ ‎16.设等比数列的公比为，其项的积为，并且满足条件，，.给出下列结论：①；②；③的值是 中最大的；④使成立的最大自然数等于.其中正确的结论是（ ）‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先转化题目条件，再依据等比数列的性质，逐一判断即可。‎ ‎【详解】由，，得， 知，，所以。‎ 由得，或，若，则 ，而则有与其矛盾，故只有，因此，即①正确；因为 ，，②不正确；，③不正确；‎ ‎ ，，④正确。‎ 综上，正确的结论是①④，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用，记牢这些基本性质是解决问题的关键。‎ 三、解答题（76分）‎ ‎17.在中，已知，，且，求.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据三角形面积公式求出角B的正弦值，然后利用平方关系，求出余弦值，再依据余弦定理即可求出。‎ ‎【详解】由得，，所以或，由余弦定理有，，‎ 故或，即或。‎ ‎【点睛】本题主要考三角形面积公式、同角三角函数基本关系的应用，以及利用余弦定理解三角形。‎ ‎18.三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中一些奥秘.请你完成以下问题：‎ ‎（1）计算：,,；‎ ‎（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程.‎ ‎【答案】（1），，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依据诱导公式以及两角和的正弦公式即可计算出；（2）观察（1）中角度的关系，合情推理出一般结论，然后利用两角和的正弦公式即可证明。‎ ‎【详解】（1）‎ 同理可得，，‎ ‎。‎ ‎（2）由（1）知，可以猜出：。‎ 证明如下：‎ ‎。‎ ‎【点睛】本题主要考查学生合情推理论证能力，以及诱导公式和两角和的正弦公式的应用，意在考查学生的数学抽象素养和逻辑推理能力。‎ ‎19.已知集合，数列的首项，且当时，点，数列满足.‎ ‎（1）试判断数列是否是等差数列，并说明理由；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）是；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依据题意，写出递推式，由等差数列得定义即可判断；（2）求出，‎ 利用极限知识，求出，即可求得的值。‎ ‎【详解】（1）当时，点，所以 ，‎ 即 由得，当时，，‎ 将代入，‎ ‎ ，故数列是以为公差的等差数列。‎ ‎（2）因为，所以，，‎ 由得，， ，故 ，‎ ‎。‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式的运用，以及数列极限的运算。‎ ‎20.已知数列的前项和，满足.‎ ‎（1）若，求数列的通项公式；‎ ‎（2）在满足（1）的条件下，求数列的前项和的表达式；‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）已知求，利用即可求出；（2）根据数列 通项公式特征，采取分组求和法和错位相减法求出 ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 当时，，所以；‎ 当时， ，‎ 即，，因为，所以，‎ ‎，即，当时，也符合公式。‎ 综上，数列的通项公式为。‎ ‎（2）因为，所以 ‎ ‎ ‎ （ ）‎ 由得，‎ 两式作差得， ，‎ 即 ，故。‎ ‎【点睛】本题主要考查求数列通项的方法——公式法和构造法的应用， 以及数列的求和方法——分组求和法和错位相减法的应用。‎ ‎21.将边长分别为、、、…、、、…的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第个、第个、……、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足，‎ ‎（1）求的表达式；‎ ‎（2）写出，的值，并求数列的通项公式；‎ ‎（3）定义，记，且恒成立，求取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）， ，；（3）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据题意，分别求出每一个阴影部分图形的面积，即可得到前 个阴影部分图形的面积的平均值；（2）依据递推式，结合分类讨论思想，即可求出数列的通项公式；（3）先求出的表达式，再依题意得到，分类讨论不等式恒成立的条件，取其交集，即得所求范围。‎ ‎【详解】（1）由题意有，第一个阴影部分图形面积是：；第二个阴影部分图形面积是： ；第三个阴影部分图形面积是：；所以第个阴影部分图形面积是：；故；‎ ‎（2）由（1）知，，，所以，‎ ‎， ‎ 当时， ‎ 当时，‎ ‎，‎ 综上，数列的通项公式为，。‎ ‎（3）由（2）知，，，由题意可得，恒成立，‎ ‎①当时，，即，所以，‎ ‎②当时，，即，‎ 所以，‎ ‎③当时，，即，‎ 所以，‎ 综上，。‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项公式求法，数列不等式恒成立问题的解法以及分类讨论思想的运用，意在考查学生逻辑推理能力及运算能力。‎ ‎ ‎