2017-2018学年广东省中山市第一中学高二上学期第三次统测数学（文）试题

2017-2018学年广东省中山市第一中学高二上学期第三次统测数学（文）试题

中山市第一中学 2017~2018 学年第一学期高二年级第三次统测 数学（文） 命题人： 审题人： 本试卷共 4 页，共 150 分，考试时长 120 分钟。 一、选择题（每题有四个选项，只有一个是正确的，请把答案涂在答题卡上，共 12 个小题， 每小题 5 分） 1．已知命题 ： ， ，则 为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2．.数列 通项公式为( ) A. B. C. D. 3.若 ,则一定成立的不等式是( ) A. B. C. D. 4．已知不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是 （ ） A． B． C． D． 5．函数 的单调递增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 6．若实数 满足 ，则曲线 与曲线 的（ ） A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 7．已知等差数列{an}的公差 d＜0，若 a4·a6＝24，a4＋a6＝10，则该数列的前 n 项和 Sn 取 到最大值时 n 为( ) A.8 B.8 或 9 C.10 D. 9 或 10 8． 有下列四个命题: ①命题“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③命题“若 m≤1,则 有实根”的逆否命题; ④命题“若 A∩B=B,则 A ⊆ B”的逆否 命题. 其中是真命题的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③ ④ D. ①②③ 9.函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 10．若 为钝角三角形，三边长分别为 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11．已知变量 ， 满足约束条件 则目标函数 （ ）的最 大值为 16，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 12．在已知过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 , 两点,且 ,抛物线的准线 与 轴交于点 , 于点 ,若四边形 的面积为 ,则准线 的方程为( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．设曲线 在点(3,2)处的切线与直线 垂直,则 a 等于 ___________。 14．已知数列 数列 前 n 项的和 为______。 15．过点 作斜率为 的直线与椭圆 ： 相交于 ，若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率为 。 16．若命题 :方程 有两不等正根； :方程 无 实根.求使 为真， 为假的实数 的取值范围 ____________。 三、解答题（本大题共 6 个小题，满分 70 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步 骤） 17．（本小题满分 10 分） 如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝90°.①若 PB＝ 1 2，求 PA； ②若∠APB＝150°，求 tan∠PBA. 18．（本小题满分 12 分）已知 为偶函数,曲线 过点 ， . (1)若曲线 有斜率为 0 的切线,求实数 a 的取值范围; (2)若当 时函数 取得极值,试确定 的单调区间. 19．（本小题满分 12 分）设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acos C＋1 2c ＝b. (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝1，求△ABC 的周长 l 的取值范围． 20．（本小题满分 12 分）某工艺厂有铜丝 5 万米，铁丝 9 万米，准备用这两种材料编制成 花篮和花盆出售，已知一只花篮需要用铜丝 200 米，铁丝 300 米；编制一只花盆需要 100 米，铁丝 300 米，设该厂用所有原来编制个花篮 ， 个花盆. （Ⅰ）列出 满足的关系 式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）若出售一个花篮可获利 300 元，出售一个花盘可获利 200 元，那么怎样安排花篮与花 盆的编制个数，可使得所得利润最大，最大利润是多少？ 21．（本小题满分 12 分）在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)． (1)求证：数列 1 an是等差数列； (2)若λan＋ 1 an＋1≥λ对任意 n≥2 的整数恒成立，求实数λ 的取值范围． 22．（本小题满分 12 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，以椭圆长、 短轴四个端点为顶点为四边形的面积为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为 、 ，当动点 在定直线 上运动时， 直线 分别交椭圆于两点 、 ，求四边形 面积的最大值. 中山市第一中学 2017-2018 学年第一学期高二年级 满分 150 分，时间 120 分钟 命题人： 审题人： 一、 选择题（每题有四个选项，只有一个是正确的，共 12 个小题，每小题 5 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B A D D D D C D A A 二、 填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13. -2 ；14. 15. ； 16. . 三、解答题（本大题共 6 个小题，满分 70 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步 骤） 17.解：①由已知得∠PBC＝60°， 所以∠PBA＝30°. 2 分 在△PBA 中，由余弦定理得 PA2＝3＋1 4－2××1 2×cos 30°＝7 4，故 PA＝7 2. 5 分 ②设∠PBA＝α，由已知得 PB＝sin α. 7 分 在△PBA 中，由正弦定理得 3 sin 150°＝ sin α sin（30°－α），化简得 cos α＝4sin α， 所以 tan α＝3 4，即 tan ∠PBA＝3 4. 10 分 18. 解:(1)因为 f(x)=x2+bx+c 为偶函数,所以 f(-x)=f(x),即(-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c,从而 b=-b,解得 b=0. 又曲线 y=f(x)过点(2,5),得 22+c=5,故 c=1.所以 f(x)=x2+1. 2 分 又函数 g(x)=(x+a)f(x)=(x+a)(x2+1)=x3+ax2+x+a,从而 g'(x)=3x2+2ax+1. 因为曲线 y=g(x)有斜率为 0 的切线,故 g'(x)=0 有实数解,即 3x2+2ax+1=0 有实数解,此时有 Δ=(2a)2-12≥0,解得 a∈(-∞,- ]∪[ ,+∞). 5 分 (2)因为函数 y=g(x)在 x=-1 处取得极值,故 g'(-1)=0,即 3-2a+1=0,解得 a=2. 7 分 所以 g'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1).令 g'(x)=0,得 x1=-1,x2=-.当 x∈(-∞,-1)时,g'(x)>0,故 g(x)在 (-∞,-1)上是递增的;当 x∈ 时,g'(x)<0,故 g(x)在 上是递减的;当 x∈ 时,g'(x)>0,故 g(x)在 上是递增的. 11 分 所以函数 y=g(x)的递增区间是 ， ，递减区间是 12 分 19. 解：(1)由 acos C＋1 2c＝b 得 sin Acos C＋1 2sin C＝sin B． 又 sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以 1 2sin C＝cos Asin C， 因为 sin C≠0，所以 cos A＝1 2，又因为 0

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