2018-2019学年福建省永春县第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版
永春一中高二年级期中考试理科数学科试卷（2019.4）
命题：颜泂沛 校对：林一丁
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
本试卷分第I卷和第II卷两部分
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。
1．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i（i为虚数单位），则z＝（ ）
A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i
2．已知f(x)＝x2＋，则等于（ ）
A．0 B．1 C．－2 D．－4
3．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C
0，则x∈(2π＋2kπ，3π＋2kπ)，k∈Z.
所以当x＝2π＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得极小值，其极小值为f(2π＋2kπ)＝e2kπ＋2π·[sin(2π＋2kπ)－cos(2π＋2kπ)]＝e2kπ＋2π×(0－1)＝－e2kπ＋2π，k∈Z.因为0≤x≤2 012π，又在两个端点的函数值不是极小值，所以k∈[0，1 004]，所以函数f(x)的各极小值构成以－e2π为首项，以e2π为公比的等比数列，共有1 005项，故函数f(x)的各极小值之和为S1 005＝－e2π－e4π－…－e2 010π＝－.
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，
13．-1 14． 15．1225 16．2
15．【解析】 由图可知an＋1＝an＋(n＋1)(n∈N*)．
所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n.
累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，
即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，…时，
an能被5整除，即b2＝a5，b4＝a10，b6＝a15，b8＝a20，…，
所以b2k＝a5k(k∈N*)．则b2k－1＝a5k－1＝×5k(5k－1)＝.b19＝1225
16．【解析】，
令，
综上所述，，即的最大值为 2。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，
17．（本小题满分12分）
解：（1）对应的复数为z2－z1，
则z2－z1=a－1+(a2+2a－1)i－［a2－3+(a+5)i］=(a－a2+2)+(a2+a－6)i
∵z2－z1是纯虚数，
∴
解得a=－1.
（2）=
18．（本小题满分12分）
（1） 证明： 假设、、均小于0，即：
----① ；
----② ；
----③；
①+②+③得，
这与矛盾，
则假设不成立，
∴、、中至少有一个不小于0………6分
（2）证明：i)当n=1时，左式=，右式=， ∴ 左式=右式，等式成立．
ii)假设当n=k(k∈N)时等式成立，
即，
则当n=k+1时，
即n=k+1时，等式也成立，
由i) ii)可知，等式对n∈N*均成立．………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）……………………3分
则不等式
解得………………………………………………5分
故不等式的解集为……………………………6分
（Ⅱ）作出函数的图象，如图.
若的图象与直线围成的图形是三角形，则当时，△ABC的面积取得最大值，
的图象与直线围成图形的面积不小于14，该图形一定是四边形，
即………………………………………………………………………9分
△ABC的面积是6，的面积不小于8.………………… 10分
……………………………11分
又
故实数的取值范围是………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）当时，，定义域
故
令，得
故的单调递增区间为 5分
（Ⅱ）方法1：
令，定义域
则
∴函数在为减函数，由，
∴当时，，
所以 解得 故的值为 12分
（Ⅱ）方法2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在 ，使得，
等价于的最大值为.
， 令，得.所以函数为增函数，
故的最大值为，
即. 12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，函数的定义域为（0，），
因为曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，
∴即
∴……………………………4分
（Ⅱ）
因为在其定义域内有两个不同的极值点，所以的两个根，即
……………6分
因为
…………8分
令，则，由题意知，不等式上恒成立.
令
如果所以上单调递增，又
上恒成立，符合题意.………………………………………10分
如果时，
上单调递增，在上单调递减，又上不能恒小于0，不符合题意，舍去.
综上所述，若不等式恒成立，只须.……12分
22．（本小题满分10分）
