【数学】山东省潍坊市2020届高三6月高考模拟考试试题（解析版）

【数学】山东省潍坊市2020届高三6月高考模拟考试试题（解析版）

山东省潍坊市2020届高三6月高考模拟考试数学试题 一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为 所以，‎ 又因为 所以 故选：D.‎ ‎2.将一直角三角形绕其一直角边旋转一周后所形成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆锥，‎ 如图：‎ 所以圆锥的母线长为，‎ 所以圆锥的侧面积为.‎ 故选：C.‎ ‎3.某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：‎ 本科 研究生 合计 ‎35岁以下 ‎40‎ ‎30‎ ‎70‎ ‎35-50岁 ‎27‎ ‎13‎ ‎40‎ ‎50岁以上 ‎8‎ ‎2‎ ‎10‎ 现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确是（ ）‎ A. 该教职工具有本科学历的概率低于60％‎ B. 该教职工具有研究生学历的概率超过50％‎ C. 该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％‎ D. 该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％‎ ‎【答案】D ‎【解析】A.该教职工具有本科学历的概率 ，故错误；‎ B.该教职工具有研究生学历的概率，故错误；‎ C.该教职工的年龄在50岁以上的概率，故错误；‎ D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率，故正确.‎ ‎4.已知向量，，若，则与夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，，，设与的夹角为，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由于，可得，‎ 故选：B.‎ ‎5.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，‎ 所以是奇函数，故排除A，C；‎ 因为，且，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎6.若，则恒成立的一个充分条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，当且仅当时等号成立，‎ 则恒成立可得，‎ 因为Ü，‎ 则是恒成立的充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎7.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里：良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问相逢时良马比驽马多行（ ）里.‎ A. 540 B. ‎426 ‎C. 963 D. 114‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，两马共同走完两倍的齐至长安的距离，假设两马日相逢，因为良马首日行103里，所以第日行里，故相遇时良马行里，同理驽马行里，两马同行里,‎ 则，‎ 解得或（舍），‎ 此时良马共行走了里，驽马共行走了里，而（里）.‎ 故选：A.‎ ‎8.已知函数的导函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 在处有极大值 B. 在处有极小值 C. 在上单调递减 D. 至少有3个零点 ‎【答案】C ‎【解析】由函数导函数可知，‎ 当和时，，单调递增区间为和，‎ 当时，，单调递减区间为，‎ 故AB错误，C正确，‎ 又，的符号无法确定，‎ 故无法确定的零点个数，故D错误.‎ 故选：C.‎ 二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.‎ ‎9.设复数，则以下结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】，，‎ ‎，，‎ 则，‎ 所以，A选项错误，B选项正确，C选项正确，D选项正确.‎ 故选：BCD.‎ ‎10.已知，是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 ‎【答案】AD ‎【解析】对A：若，，则，又，所以，故正确；‎ 对B：若，，则与可能平行，也可能相交，故错误；‎ 对C：若，，，由于没有强调与相交，故不能推出，故错误；‎ 对D：若，，根据面面垂直的判定定理，可得，故正确.‎ 故选：AD.‎ ‎11.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数为周期函数，且最小正周期为 B. 函数为奇函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的导函数的最大值为 ‎【答案】BCD ‎【解析】，‎ ‎，‎ 所以，不是函数的最小正周期，A选项错误；‎ ‎，‎ 且函数的定义域为，所以，函数为奇函数，B选项正确；‎ ‎，‎ 所以，函数的图象关于直线对称，C选项正确；‎ ‎，‎ ‎，，，，，‎ 则，又，所以，函数的最大值为，D选项正确.‎ 故选：BCD ‎12.已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）‎ A. 的最小值为 B. 椭圆的短轴长可能为2‎ C. 椭圆的离心率的取值范围为 D. 若，则椭圆的长轴长为 ‎【答案】ACD ‎【解析】A. 因为，所以，‎ 所以，‎ 当，三点共线时，取等号，故正确；‎ B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；‎ C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，‎ 所以，即，解得，‎ 所以，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；‎ D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故正确.‎ 故选：ACD.‎ 三、填空题：‎ ‎13.若函数，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】，.‎ 故答案为：2.‎ ‎14.已知双曲线的渐近线与圆相切，且双曲线的一个焦点与圆的圆心重合，则双曲线的方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，圆的圆心是双曲线的右焦点，.‎ 双曲线的渐近线方程为.‎ 双曲线的渐近线与圆相切，‎ 圆心到直线的距离等于半径，‎ 即，又，‎ ‎.‎ 双曲线的方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎15.在中，，点在线段上，且满足，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示：‎ ‎，设，，.‎ 因为，所以.‎ 又因为，所以，，.‎ 因为，，.‎ 在中，，所以.‎ 故答案为：‎ ‎16.如图1.四边形是边长为10的菱形，其对角线，现将沿对角线折起，连接，形成如图2的四面体，则异面直线与所成角的大小为______.在图2中，设棱的中点为，的中点为，若四面体的外接球的球心在四面体的内部，则线段长度的取值范围为______.‎ ‎ ‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】连接、，四边形是菱形，为棱的中点，‎ 所以，，‎ 又，‎ 则平面，‎ 由平面，‎ 则，即异面直线与所成角的大小为.‎ 由四边形是边长为10的菱形，其对角线，‎ 则，，‎ 是的外心，在中线中，‎ 设过点的直线平面，易知平面，‎ 同理是的外心，在中线上，‎ 设过点的直线平面，易知平面，‎ 由对称性易知、的交点在直线上，‎ 根据外接球的性质，点为四面体的外接球的球心，‎ ‎，，‎ ‎，解得，‎ 令，根据题意可知，，且,‎ 则平面，平面，则，‎ 所以，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，，，‎ ‎，即线段长度的取值范围为，‎ 故答案为：；‎ 四、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数的图象如图所示.‎ ‎ ‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，设，求函数在上的最大值.‎ 解：（1）且，.‎ 由图象可知：最小正周期，.‎ 又，，‎ 解得：，又，，‎ ‎.‎ ‎（2）由题意得：，‎ 当时，，‎ 当时，取得最大值，最大值为.‎ ‎18.如图，点是以为直径的圆上的动点（异于，），已知，，平面，四边形为平行四边形.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以.‎ 因为平面，所以平面，所以.‎ 因为是以为直径的圆上的圆周角，所以，‎ 因为，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）解：中，设，，‎ 所以，‎ 因为，，所以，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当，即时，三棱锥体积的最大值为.‎ 法一：以为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系.‎ 则，，，，‎ 所以，，平面的法向量，‎ 设平面的法向量，，‎ 所以，即，‎ 所以.‎ 法二：因为，平面，平面，‎ 所以平面，‎ 设平面平面，则，‎ 又，所以，‎ 又点是平面与平面公共点，所以过点，‎ 过点圆内作交圆于点，则直线与重合，‎ 所以为平面与平面的交线，‎ 因为，，所以，‎ 又因为平面，所以，所以，‎ 所以为两个平面所成的锐二面角的平面角，‎ 在中，‎ 所以，‎ 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎19.为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径（单位：）.根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径服从正态分布.如果加工的零件内径小于或大于均为不合格品，其余为合格品.‎ ‎（1）假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少；‎ ‎（2）若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损.已知每件产品的利润（单位：元）与零件的内径 有如下关系：.求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润.‎ 附：若随机变量服从正态分布，有，，.‎ 解：（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为，‎ 从而抽取一个零件为不合格品的概率为，‎ 因此一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为：.‎ ‎（2）结合正态分布曲线和题意可知：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故随机抽取10000个零件的平均利润：‎ 元.‎ ‎20.设抛物线的焦点为，点是上一点，且线段的中点坐标为.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若，为抛物线上的两个动点（异于点），且，求点的横坐标的取值范围.‎ 解：（1）依题意得，设，由的中点坐标为，得，‎ 即，，所以，得，即，‎ 所以抛物线的标准方程为；‎ ‎（2）由题意知，设，，则，‎ 因为，所以，所在直线方程为，‎ 联立，‎ 因为，得，即，‎ 因为，即，故或.‎ 经检验，当时，不满足题意；‎ 所以点的横坐标的取值范围是.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）若函数在处的切线与直线平行，求；‎ ‎（2）证明：在（1）的条件下，对任意，成立.‎ ‎（1）解：的定义域为，‎ ‎，，‎ 因为在处的切线与直线平行，‎ 所以，‎ 即；‎ ‎（2）证明：在（1）的条件下，，可得，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 所以在时取得最小值，‎ 可知，‎ 由，，‎ 令，，‎ 所以当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 所以，‎ 因为，所以在单调递减，‎ 可知，‎ 所以对任意，.‎ ‎22.设是数列1，，，…，的各项和，，.‎ ‎（1）设，证明：在内有且只有一个零点； ‎ ‎（2）当时，设存在一个与上述数列的首项、项数、末项都相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并说明理由；‎ ‎（3）给出由公式推导出公式的一种方法如下：在公式中两边求导得：‎ ‎，所以成立，请类比该方法，利用上述数列的末项的二项展开式证明：时（其中表示组合数）‎ 解：（1），‎ ‎，‎ 由于，故，‎ 因此，在单调递增，‎ 又，‎ ‎，‎ 所以在内有且只有一个零点.‎ ‎（2）由题意，.‎ 设.‎ 当时，，，‎ 当时，，‎ 此时 ‎，‎ 所以单调递增，，，‎ 当时，，‎ ‎，‎ 所以单调递减，，.‎ 综上，时，；‎ 且时，.‎ ‎（3）数列的末项为，‎ 由二项展开式得，‎ 两边求导：，‎ 取，得，‎ 两边乘以，得，‎ 即.‎